2022年三角函数解题技巧与公式技巧归纳以与练习题

1、浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积存了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会；下面尝试进行探讨一下：一、关于sincos与sincos或sin2的关系的推广应用：故知道sincos,必可推出sincos或sin2,例如：1、由于sincos2sin2cos22sincos12sincos例 1 已知sincos3,求sin3cos3；,求3分析：由于sin3cos3sincossin2sincoscos 2的题型；sincossincos23sincos其中,sincos已知,只要求出sincos即可,此题是典型的知解：sincos

2、212sincos故：12sincos321sincos1333sin3cos3sincossincos23sincos3323131433333392、关于与,的关系应用：1 / 19 由于sincossin2cos2sin12进行运算；由于sin12cossinsincoscos故：,sincos,三者中知其一可推出其余式子的值；例 2 如2,且,就 m2 n 的关系为（）；Am 2 Bm 2=21 Cm22 Dnnnm2分析：观看与的关系：sincos21m2122而：tgctgsin1ncos故：m211m221,选 B；2nn的式子,就即可依据已知例 3 已知：4,就 2的值为（）；

3、 A1 B 21 C 21 D 414分析：sin14sincos1cos4故：sin22sincossin21；答案选 A；2例 4 已知：2,求sin4cos4分析：由上面例子已知,只要sin4cos4能化出含或cos2 / 19 sin cos 1,此题只要将 sin 4cos 4化成含 的式子即可：2解：sin 4cos 4sin 4cos 42 2 2-2 2 22 2 2 2 =（）- 22 =1-2 =1-2 1 22 = 1 12 = 12通过以上例子,可以得出以下结论：由于 sin cos,及 三者之间可以互化,知其一就必可知其余二；这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的运算

4、；但有一点要留意的；假如通过已知,求含 sin cos 的式子,必需争论其象限才能得出其结果的正、负号；这是由于（sin cos）2=1 2,要进行开方运算才能求出 sin cos二、关于“ 托底” 方法的应用：在三角函数的化简运算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含（或）与含（或）的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“ 托底” 法；方法如下：例 5 已知：3,求sin3cos的值；,“ 造出”,即托出底：；2sincos分析：由于tgsin,带有分母,因此,可把原式分子、分母各项除以cos解：由于3k2cos0故,原式 =sin3costgcos 2 sin cosco

5、s cos32333102 tg1cos3 / 19 例 6 已知： -3 ,求2=. 4 有所不同,式子本身没有分母,为了使原式先显现分母,利分析：由于ctgcos,故必将式子化成含有cos的形式,而此题与例sinsin用公式：sin2cos 21及托底法托出其分母,然后再分子、分母分别除以,造出：解：sin2cos21sincoscos2sincoscos2sin2cos2分子,分母同除以sin2coscos sincos sin22ctgctg2sinctg2133 26113 25例 7 （95 年全国成人高考理、工科数学试卷）设0 x2, 0y2,且sinxsinysin3x sin

6、6y ,由于0 x20,y2,故sinx0,siny0,求：ctgx3ctgy3的值3分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“ 托底法”在等式两边同除以sinxsiny,托出分母sinxsiny为底,得：解：由已知等式两边同除以sinxsiny得：4 / 19 sin3xsin6y1sin3coscos3sinxsin6cosycos6siny1tgsin,ctgcos,即正切、余切sinxsinysinxsiny13cosxxsinxcosysin3siny14siny13 ctgx1 ctgy3143ctgx3ctgy3 143 ctgx3 ctgy3 4333“

7、 托底” 适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的运算；由于cossin与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互化需“ 托底”,通过保持式子数值不变的情形下添加分母的方法,使它们之间可以相互转化,达到依据已知求值的目的；而添加分母的方法主要有两种：一种利用sin2cos21,把sin2cos2作为分母,并不转变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母；三、关于形如：a cos x b sin x 的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式 sin A cos x cos A sin x sin A x 中得到启示：式子 a cos

8、x b sin x 与上述公式有点相像,假如把 a,b 部分变成含,的式子,就形如 a cos x b sin x 的式子都可以变成含 sin A x 的式子,由于 -1 sin A x 1,所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要留意一点：不能直接把 a 当成, b 当成,如式子：3 cos x 4 sin x 中,不能设 3,4,考虑：-1 1,-1 1,可以如下处理式子：acosxbsinxa2b2a2ab2cosxa2bb2sinx5 / 19 由于a2ab22a2bb221；1sinA,即：2cosAsinAabb2故可设：sinAa2ab2,就cosA2acosxbsinxa2b

9、2sinAcosxcosAsinx ab2xb2无论Ax取何值, -1 A x 1,a2b2a2b2sinAx a2即：a2b2acosxbsinxa2b 2下面观看此式在解决实际极值问题时的应用：例 1（98 年全国成人高考数学考试卷）求：函数y3cos2xsinxcosx的最大值为（）31变成含cso2 的式子：cos2x2cos2x1cos2xcos2x1 A13 B31 C13 D22分析：sinxcos12sinxcosx1sin2x,再想方法把cos2x222于是：y3cos2x11sin2x223cos2x31sin2x2223cos2x1sin2x32226 / 19 由于这里

10、：a3,b1,就a2b23212132222y13cos2x1sin2x 3222A1 y 13设：sinAa2ab223, 就cos122ysinAcos2xcosAsin2x3213sinA2x32无论 2x 取何值,都有 -1 2x 1,故22 y 的最大值为13,即答案选 A；2例 2 （96 年全国成人高考理工科数学试卷）在 中,已知： 2,1,3 ,分别在边、上任取点 D、E、F,使 为正三角形,记 ,问： 取何值时, 的边长最短？并求此最 短边长；分析：第一,由于BC2CA212324AB2,可知 为 ,其中为斜边,所对角C为直角,又由于sinABC1,故A30,AB27 / 1

11、9 就90 60 ,由于此题要运算 的最短边长,故必要设正 的边长为 l ,且要列出有关 l 为未知数的方程,对 l 进行求解；观看 ,已知：60 , l ,再想方法找出另两个量,即可依据正弦定理列出等式,从而产生关于 l 的方程；在图中,由于 l ,就 1- l ；而 1=180 + 1=18060 , 60在 中,依据正弦定理：sinBFlDEBl1lcos3lcoslsinBDEsinsinsinsin603 2 13 2lcos23l3cos2sin3 2cossin有最大值,观看：3cossin,a3,b1a22 b322 172在这里,要使 l 有最小值,必需分母：22223cos

12、sin721cos277sin227设：sin A21,就cosA277cosAsin7故：3cossin7sinAcos228 / 19 7sinA23cossin的最大值为7 ；223即： l 的最小值为：221772而 sin A 取最大值为 1 时,A 2 k 2 k A2 2sin sin 2 k A cos A 2 72 7即：sin 2 7时, 的边长最短,最短边长为 21 ；7 7从以上例子可知,形如 a cos x b sin x 适合于运算三角形函数的极值问题；运算极值时与式子的加、减是无关,与 a 2b 2的最值有关；其中最大值为 a 2b 2,最小值为 a 2b 2；在

13、运算三角函数的极值应用题时,只要找出形如 a cos x b sin x 的关系式,即能依据题意,求出相关的极值；三角函数学问点解题方法总结9 / 19 一、见“ 给角求值” 问题,运用“ 新兴” 诱导公式 一步到位转换到区间（ - 90o,90o）的公式 . 1k + = - 1 k Z；2. k + = - 1 k Z；3. k + = - 1 k Z；4. k + = - 1 k Z.二、见“ ” 问题,运用三角“ 八卦图”1 0或 0或 | 的终边在、的区域内 ; 4 |“ 化弦为一” ：已知 , 求 与 的齐次式,有些整式情形仍可以视其分母为1,转化为22 .六、见“ 正弦值或角的平

14、方差” 形式,启用“ 平方差” 公式：1 + - = 22 ;2. + - = 22 .七、见“ 与 ” 问题,起用平方法就： 2=1 2 =1 2 , 故10 / 19 1. 如 , 且 t 22, 就 2 2- 12 ;2. 如 , 且 t 22, 就 2 =1 22 .八、见“ 与 ” 问题,启用变形公式 : + 1 . 摸索： =？九、见三角函数“ 对称” 问题,启用图象特点代数关系：A 01. 函数 和函数 的图象,关于过最值点且平行于 y 轴的直线分别成轴对称；2. 函数 和函数 的图象,关于其中间零点分别成中心对称；3. 同样,利用图象也可以得到函数 和函数 的对称性质；十、见“ 求最值、值域” 问题,启用有界性,或者帮助角公式：111;2. 2=a 222 a 22; 3 有解的充要条件是 a 22c 2. 十一、见“ 高次” ,用降幂,见“ 复角” ,用转化 . 121-2 22 21. 2.2+;2- 等角函数公式11 / 19 两角和公式 =/1 =/1 =1/ =1/ 倍角公式221-2 22-2=22 -1=1-2