2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第六章 6.1数列的概念及简单表示法（word含答案解析）

1、61数列的概念及简单表示法(教师独具内容)1能通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法).2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式3重点提升逻辑推理和数学运算素养(教师独具内容)本考点在高考中一般以选择题、填空题形式进行考查，难度较低，以考查an与Sn的关系为主(教师独具内容)(教师独具内容)1数列的有关概念概念含义数列按照 eq o(,sup3(01)确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的 eq o(,sup3(02)每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关

2、系可以用一个式子来表示，这个式子叫做这个数列的通项公式数列an的前n项和数列an中，Sn eq o(,sup3(03)a1a2an叫做数列的前n项和2数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点 eq o(,sup3(01)(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用 eq o(,sup3(02)一个式子表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法3an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an eq blc(avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)4数列的分类1在数列an中，a1 e

3、q f(1,2)，an1 eq f(1,an1)(n2，nN*)，则a2022()A eq f(1,2) B1C1 D2答案D解析a21 eq f(1,a1)121，a31 eq f(1,a2)112，a41 eq f(1,a3)1 eq f(1,2) eq f(1,2)，可得数列an是以3为周期的周期数列，所以a2022a36733a32.2根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an 答案5n4解析由a11514，a26524，a311534，可得an5n4.3数列an中，ann211n(nN*)，则此数列最大项的值是 答案30解析ann211n eq blc(rc)(

4、avs4alco1(nf(11,2) eq sup15(2) eq f(121,4)，因为nN*，所以当n5或n6时，an取最大值30.4在数列an中，已知a11，an14an1，则a3 答案21解析由题意，知a24a115，a34a2121.5已知数列an的前n项和Snn21，则an 答案 eq blc(avs4alco1(2，n1，,2n1，n2.)解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，a12不满足上式，所以an eq blc(avs4alco1(2，n1，,2n1，n2.)1(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak10

5、21525，则k()A2 B3 C4 D5答案C解析在等式amnaman中，令m1，可得an1ana12an， eq f(an1,an)2，数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，an22n12n.ak1ak2ak10 eq f(ak1（1210）,12) eq f(2k1（1210）,12)2k1(2101)25(2101)，2k125，则k15，解得k4.故选C.2(2021全国乙卷)记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积已知 eq f(2,Sn) eq f(1,bn)2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式解(1)证明：当n1时，b1S1，易得b1 eq

6、 f(3,2).当n2时， eq f(bn,bn1)Sn，代入 eq f(2,Sn) eq f(1,bn)2消去Sn，得 eq f(2bn1,bn) eq f(1,bn)2.化简，得bnbn1 eq f(1,2).所以数列bn是以 eq f(3,2)为首项， eq f(1,2)为公差的等差数列(2)由题意可知a1S1b1 eq f(3,2).由(1)可得bn eq f(n2,2)，由 eq f(2,Sn) eq f(1,bn)2可得Sn eq f(n2,n1).当n2时，anSnSn1 eq f(n2,n1) eq f(n1,n) eq f(1,n（n1）)，显然a1不满足该式，所以an eq

7、 blc(avs4alco1(f(3,2)，n1，,f(1,n（n1）)，n2.)3(2020全国卷)设数列an满足a13，an13an4n.(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn.解(1)a25，a37.猜想an2n1，证明如下：由已知可得an1(2n3)3an(2n1)，an(2n1)3an1(2n1)，a253(a13).因为a13，所以an2n1.(2)由(1)得2nan(2n1)2n，所以Sn32522723(2n1)2n.从而2Sn322523724(2n1)2n1.得Sn3222222322n(2n1)2n1.所以Sn(2n1)2n

8、12.一、基础知识巩固考点数列的有关概念及通项公式例1(2022长沙一中模拟)数列0， eq f(2,3)， eq f(4,5)， eq f(6,7)，的一个通项公式为()Aan eq f(n1,n2)(nN*)Ban eq f(n1,2n1)(nN*)Can eq f(2（n1）,2n1)(nN*)Dan eq f(2n,2n1)(nN*)答案C解析数列0， eq f(2,3)， eq f(4,5)， eq f(6,7)，的各项的分子是从0开始的偶数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式可以为an eq f(2（n1）,2n1)(nN*)，故选C.例2(2021唐山模拟)已知数列an的前n项

9、和Sn满足：SnSmSnm，且a110，那么a10()A1 B9 C10 D55答案C解析数列an的前n项和Sn满足：SnSmSnm，a110，令n1，m9，代入可得S1S9S10，即S1S10S9，故a1a1010，故选C.1.(2021保定模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为()A193 B192C174 D173答案A解析根据题意，由三角形数阵可得，每一行的第一个数字依次为1，2，4，7，则第n行的第一个数字为 eq f(n（n1）,2)1，则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193.故选A.2(2022武汉模

10、拟)如图，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，第n层，若第n层的小正方体的个数记为Sn，则S7()A20 B28 C32 D36答案B解析由所给图形知，S11，S212，S3123，按此规律可得Sn123n，所以第n层小正方体的个数Sn eq f(n（n1）,2)，于是得S7 eq f(7（71）,2)28.故选B.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略分式中分子、分母的特征；相邻项的

11、变化特征；各项的符号特征和绝对值特征；对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理(3)由数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否为摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一考点an与Sn的关系及其应用例3(2022咸宁模拟)数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则an等于()A34n B34n1C eq blc(avs4alco1(1，n1，,34n2，n2) D eq blc(avs4

12、alco1(1，n1，,34n21，n2)答案C解析由an13Sn，得an3Sn1(n2).两式相减，得an1an3an(n2)，即an14an(n2)，又由a11，得a23a13，a24a1，所以当n2时，ana24n234n2.所以an eq blc(avs4alco1(1，n1，,34n2，n2.)故选C.例4(2021三明模拟)已知数列an的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn eq f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(n) eq f(1,2)an eq f(3,4)，则数列an的通项公式为()Aan2n1 Ban2n1Can4n1 Dan4n1答案B解析当n1

13、时，a1S1 eq f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(1) eq f(1,2)a1 eq f(3,4)，整理，得a eq oal(sup3(2),sdo1(1)2a130，解得a13或a11，因为an0，所以a13，当n2时，anSnSn1 eq f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(n) eq f(1,2)an eq f(3,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(n1)f(1,2)an1f(3,4) eq f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(n) eq f(1,4)a

14、 eq oal(sup3(2),sdo1(n1) eq f(1,2)an eq f(1,2)an1，整理，得a eq oal(sup3(2),sdo1(n)a eq oal(sup3(2),sdo1(n1)2an2an10，即(anan1)(anan12)0，因为anan10，所以anan12，所以数列an是以a13为首项，2为公差的等差数列，所以an32(n1)2n1，故选B.3.(2022河北高三三模)已知数列an的前n项和为Sn，若Snnan，且S2S4S6S603720，则a1()A8 B6 C4 D2答案C解析因为Snnan，所以Snn(SnSn1)，n2.所以nSn1(n1)Sn，

15、n2.变形，得 eq f(Sn1,n1) eq f(Sn,n)，n2.所以数列 eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)是每项均为S1的常数列所以 eq f(Sn,n)S1，即SnnS1na1.又因为S2S4S6S603720，所以2a14a16a160a1(24660)a1 eq f(3062,2)a13720.解得a14，故选C.4(2021广东高三模拟)设数列an的前n项和为Sn，若2Sn3an2(nN*)，则 eq f(2S10,a62)()A243 B244 C245 D246答案B解析由题意得2Sn3an2，2Sn13an12(n2)，2a13a12，a12.所以2an

16、3an3an1.所以an3an1.所以数列an是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S10 eq f(2（1310）,13)3101(351)(351)，a6223522(351)，所以 eq f(2S10,a62)351244.故选B.对含有an与Sn的递推式的两种处理思路(1)转化为项项关系：先写出一个对应的等式，如将递推式中的“n”都换成“n1”，再利用anSnSn1(n2)转化为“项项递推式”，以便构造等差数列或等比数列来解决问题(2)转化为和和关系：借助an1Sn1Sn或anSnSn1(n2)转化为“和和递推式”，以便构造等差数列或等比数列，最后活用等差数列或等比数列的性质求解考点由

17、递推关系研究数列的周期性例5(2021沈阳模拟)已知数列an中，a11，an1 eq f(1,1an)，则a2021()A1 B eq f(1,2) C2 D1答案B解析当n1时，a2 eq f(1,1a1) eq f(1,2)，当n2时，a3 eq f(1,1a2)2，当n3时，a4 eq f(1,1a3)1，当n4时，a5 eq f(1,1a4) eq f(1,2)，所以数列an的周期为3，因为202136732，所以a2021a2 eq f(1,2).故选B.例6(2021河北衡水中学第二次联考)若P(n)表示正整数n的个位数字，anP(n2)P(2n)，数列an的前n项和为Sn，则S2

18、021()A1 B0 C1009 D1011答案C解析由题意得a11，a20，a33，a42，a55，a64，a75，a82，a97，a100，a111，a120，所以数列an为周期数列，且周期为10，因为S105，所以S20215202(1)1009，故选C.5.(2022广东佛山一中模拟)设数列an的前n项和为Sn，已知a1 eq f(4,5)，an1 eq blc(avs4alco1(2an，0anf(1,2)，,2an1，f(1,2)an1，)则S2022等于()A eq f(5054,5) B eq f(5057,5)C eq f(5058,5) D eq f(5059,5)答案B解

19、析因为a1 eq f(4,5)，an1 eq blc(avs4alco1(2an，0anf(1,2)，,2an1，f(1,2)an1，)所以a22a11 eq f(3,5)，a32a21 eq f(1,5)，a42a3 eq f(2,5)，a52a4 eq f(4,5)，各项值以4为周期重复出现，所以an4an.因为a1a2a3a4 eq f(4,5) eq f(3,5) eq f(1,5) eq f(2,5)2，202250542，所以S20225052 eq f(4,5) eq f(3,5) eq f(5057,5).故选B.6(2021内蒙古呼和浩特一模)若数列an满足a12，an1 e

20、q f(1an,1an)(nN*)，则该数列的前2021项的乘积是()A2 B1 C2 D1答案C解析由递推关系式，得an2 eq f(1an1,1an1) eq f(1f(1an,1an),1f(1an,1an) eq f(1,an)，则an4 eq f(1,an2)an，an是以4为周期的一个周期数列计算可得a12，a23，a3 eq f(1,2)，a4 eq f(1,3)，a52，a1a2a3a41，a1a2a2020a2021a2021a12.故选C.(1)求数列中的某一项的值，当该项的序号较大时，应考虑数列是否具有周期性，利用周期性即可求出该数列中的某一项，具体求解过程为：先根据已知

21、条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(2)由递推关系可以找到相邻项之间的关系，从而确定数列是否具有周期性考点数列的单调性及数列的最大(小)项例7(2021龙岩模拟)若an2n2tn3(t为常数)，nN*，且数列an为递增数列，则实数t的取值范围为()At2Ct6答案D解析因为数列an为递增数列，所以an1an，在nN*时恒成立所以an1an2(n1)2t(n1)3(2n2tn3)4n2t0，即t4n2在nN*时恒成立，而n1时，(4n2)max6，所以t6.故选D.7.(2021衡阳模拟)已知数列an的通项公式为an eq f(9n（n1）,10n)，则数列中的最大项为 答案

22、 eq f(99,108)解析设数列an中的第n项最大，则 eq blc(avs4alco1(anan1，,anan1，)即 eq blc(avs4alco1(f(9n（n1）,10n)f(9n1n,10n1)，,f(9n（n1）,10n)f(9n1（n2）,10n1)，)解得8n9.又nN*，则n8或n9.故数列an中的最大项为第8项和第9项，且a8a9 eq f(99,108).(1)求参数的范围问题，常常与已知数列的单调性有关，因此解决这类问题，需要先判断该数列的单调性(2)求数列最大项的方法：设数列an中的第n项最大，建立不等式组求解即可得出结果二、核心素养提升例1(2021张家界模拟

23、)已知数列an满足an1 eq f(an,2an1)，a11，数列bn满足b11，bnbn1 eq f(1,an)(n2)，则数列 eq blcrc(avs4alco1(f(bn13,n)的最小值为()A eq f(29,4) B eq f(22,3)C2 eq r(13) D eq f(43,6)答案A解析因为an1 eq f(an,2an1)，a11，所以 eq f(1,an1) eq f(1,an)2，即 eq f(1,an1) eq f(1,an)2， eq f(1,a1)1，所以数列 eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 eq f

24、(1,an)12(n1)2n1，因为数列bn满足b11，bnbn1 eq f(1,an)2n1(n2)，所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(2n1)(2n3)31 eq f(n（2n11）,2)n2，当n1时也成立，所以 eq f(bn13,n) eq f(n213,n)n eq f(13,n).设f(x)x eq f(13,x)，x1，)，则f(x)1 eq f(13,x2) eq f(x213,x2).所以函数f(x)在(1， eq r(13)上单调递减；在( eq r(13)，)上单调递增而f(3)3 eq f(13,3)7 eq f(1,3)，f(4)4 eq f(

25、13,4)7 eq f(1,4)，所以数列 eq blcrc(avs4alco1(f(bn13,n)的最小值为 eq f(29,4).故选A.例2(2022南昌模拟)设函数f(x) eq blc(avs4alco1(（3a）x3，x7，,ax6，x7，)数列an满足anf(n)，nN*，且数列an是递增数列，则实数a的取值范围是()A(2，3 B(1，3)C(2，3) D eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)答案C解析因为anf(n)，f(x) eq blc(avs4alco1(（3a）x3，x7，,ax6，x7，)所以an eq blc(avs4alco1(（3a）n3

26、，n7，,an6，n7.)因为数列an是递增数列，所以 eq blc(avs4alco1(3a0，,a1，,a2187a.)解得 eq blc(avs4alco1(a1，,a2或a9，)即2a3.故选C.课时作业一、单项选择题1(2022桂林模拟)下列说法错误的是()A递推公式也是数列的一种表示方法Banan1(n2)，a11是递推公式C表示数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法Dan2an1(n2)，a12是递推公式答案C解析根据递推公式和数列的第一项，我们也可以确定数列，故A正确；anan1(n2)与an2an1(n2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意相邻两项间的关系

27、，所以都是递推公式，故B，D正确；通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，但是还可以有其他形式，比如列举法，故C错误故选C.2由1，3，5，2n1，构成数列an，数列bn满足b12，当n2时，bnabn1，则b6的值是()A9 B17 C33 D65答案C解析因为数列an的通项公式为an2n1，而n2时，bnabn1，又b12，则b2ab1a23，b3ab2a35，b4ab3a59，b5ab4a917，b6ab5a1733.故选C.3(2022合肥模拟)若(1)na2 eq f(（1）n1,n)对任意nN*恒成立，则实数a的取值范围是()A eq blcrc)(avs4alco1(2，f

28、(3,2) B eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2)C eq blcrc(avs4alco1(2，f(3,2) D eq blc(rc(avs4alco1(2，f(3,2)答案A解析当n为偶数时，(1)na2 eq f(（1）n1,n)恒成立，即a2 eq f(1,n)恒成立，令an2 eq f(1,n)，则数列an是递增数列，且其最小项为a2 eq f(3,2)，故a eq f(3,2)；当n为奇数时，(1)na2 eq f(（1）n1,n)恒成立，即a2 eq f(1,n)恒成立，令bn2 eq f(1,n)，则数列bn是递增数列，且bn3，2)，故a2.综上可得，实

29、数a的取值范围是 eq blcrc)(avs4alco1(2，f(3,2).故选A.4把1，3，6，10，15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示).则第7个三角形数是()A27 B28 C29 D30答案B解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即anan1n(n2).所以第7个三角形数是a7a67a567156728.故选B.5已知数列an的通项公式为ann22n(nN*)，则“0，即2n12，即 eq f(2n1,2)对任意的nN*都成立，于是 eq f(3,2).由1可推得 eq f(3,2)，但反过来，由

30、eq f(3,2)不能得到1，因此“a2，所以B，C不正确故选AD.三、填空题11(2021盐城模拟)在数列an中，a11，an eq f(2S eq oal(sup3(2),sdo1(n),2Sn1)(n2)，则an的通项公式为 答案an eq blc(avs4alco1(1，n1，,f(1,2n1)f(1,2n3)，n2)解析因为当n2时，anSnSn1，所以SnSn1 eq f(2S eq oal(sup3(2),sdo1(n),2Sn1).所以2S eq oal(sup3(2),sdo1(n)Sn2SnSn1Sn12S eq oal(sup3(2),sdo1(n).整理，得Sn1Sn2

31、SnSn1.所以 eq f(1,Sn) eq f(1,Sn1)2.所以数列 eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是首项为 eq f(1,S1)1，公差为2的等差数列所以 eq f(1,Sn) eq f(1,S1)(n1)22n1.所以Sn eq f(1,2n1).所以当n2时，anSnSn1 eq f(1,2n1) eq f(1,2（n1）1) eq f(1,2n1) eq f(1,2n3)，但当n1时，a11不满足上式，所以an eq blc(avs4alco1(1，n1，,f(1,2n1)f(1,2n3)，n2.)12设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列 eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)的前10项和为 答案 eq f(20,11)解析由题意，可知ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n eq f(n