集合知识框架

1、刖浙匡 模块框架4集含的概念弓表示怜集0的性质 集合的表示法 集合侦元素的美系.子集与真子案4 _ 一0箜鲤五色问孚栗的列举与个数 集合集合基本遂算 贫合的运算徒 集合元素的个数耳集吾家r题1或案合定义型目岫 高考要求内容基本要求集合的含义会使用符号“6 ”或“W ”表示元素与集合之间的关系；集合的表示能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常 用数集，方程或不等式的解集等集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念.在具体情景中， 了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与

2、 并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集 的补集集合的基本运算掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算.能 使用维恩图表达集合之间的关系和运算.IL知识内容集合：某些指定的对象集在一起成为集合。集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a 6 A ；若b不是集合A的元素，记作b史A ；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者 不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

3、无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：1,2, 3, 4, 5，1,2, 3, 4, 5, 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。例如：大于3的所有整数表示为：x e Zl x3方程x2 - 2x - 5 = 0的所有实数根表示为：x e R | x2 - 2x - 5 = 0 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再 画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应

4、该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一 般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。教师备案集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他的概念给它下定义，所以集合是 不定义的概念，只能做描述性的说明.构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何 对象.例：小明，机器猫，哈里波特正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征.任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素这是集合中元素的最 基本的特征一一确定性，反例：“很小的数，“个子较

5、高的同学;集合中的任何两个元素都是不同的对象即在同一集合里不能重复出现相 同元素一一互异性，事实告诉我们，集合中元素的互异性常被忽略，从而 导致解题出错例：方程（x-1）2（x-2） = 0的解集不能写成1,1,2，而应写 成1,2在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序一一无序性 例：集合a,b, c与集合b, c, a是相同集合用描述法表示集合，对其元素的属性要准确理解.例如：集合Lly = x2表示自变量x值的全体，即tx|x e R ；集合yly = x2 表示函数值y的全体，即y|y N 0；集合lx，y）|y = x2表示抛物线y = x2上 的点的全体，是点的集合（一条抛物线）；而

6、集合y = x2 则是用列举法表示的单元素集.关于集合的表示方法之间的转换例如：A = X GZ,x en)，用列举法表示为A = 0,1,2,4,5, 6 9)3 - x JA = |xx = U + U, a, b是非零实数 )，用列举法表示为A = -2,0, 2)a b集合的包含关系：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A), 记作A G B (或A u B)；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A G B且B目A，则称A等于B，记作A=B； 若A G B且ANB,则称A是B的真子集，记作AB；简单性质：1) A GA； 2) GA； 3)若 AGB,

7、BGC,则 A G C； 4)若集合 A 是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集)；全集与补集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；若S是一个集合，A GS,则，Cs = x I x e S且x任A称S中子集A的补集；简单性质：1) % (CJ=A； 2) % S=，%中=SO教师备案强调说明，加深印象：表示元素和集合之间的关系：属于“ e ”和不属于“ W ”表示集合与集合之间的关系：包含关系：如果对于任意a e A n a e B，则集合A是集合B的子集，记为AgB或BmA ；注意提示：AgA , 0gA真子集关系：对于两个集合A与B，若A

8、g B且A。B，则集合A是集合B的 真子集，记作A B (或B A)相等关系：对于两个集合A与B剖果A g B，且B g A，那么集合A与B相 等，记作A = B注意提示：如果A g B ，那么有A = B或A B，两种情况二者必居其一； 而A B是不允许A = B，所以即使A g B , A B不一定成立； 反之,A B可以说A g B ； A = B也可说A g B不包含关系：如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么集合A不包含 于B ,或B不包含A .分别记作A B，或B A0 , 0 , 0 , 0之间的区别与联系幺 更0与0是不同的，0只是一个数字，而0则表示集合，这个集合中含有一

9、 个元素0 ,它们的关系是0e00与0是不同的，0中没有任何元素，0则表示含有一个元素0的集合， 它们的关系是两个集合之间的关系（0 。）0与0是不同的，0中没有任何元素，0则表示含有一个元素0的集 合，它们的关系是0G 0或0C 0或0 0显然，0任0，0史0C集合中的计数问题当研究有限集合问题时，常有一些计数问题.在计数时常用下列结论：设集 合A中元素个数为n，则子集的个数为2n ,真子集的个数为2 -1 , 非空真子集的个数为2n - 2交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交 集。交集 A c B = x I x g A且x g B。（2

10、）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B 的并集。并集人u B = x I x g A或x g B。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集 的关键是“且”与“或”在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。教师备案1 .理解两个集合的并集、交集、补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 能使用Venn图表示集合的并集、交集、补集；能使用数轴表示不等式或不等式组的解集和表示集合A的补集a TOC o 1-5 h z 2.基础知识点

11、拨：/交集的概念：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合， 称为A与B的交集，记作A B （读作 A交B” ），即 A B = x I x g A,且 x g Bn数学符号表示:：A B = x I x g A,且x g BVenn图反映：n并集的概念：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集，记作A B （读作 A并B ”），即A B =x I x e A,或 x e B数学符号表示：A B=x I x e A,或x e BVenn图反映：补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素， 那么就称这个集合为全集，通常

12、记作U补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作a，即A=x I x e U,且x 冬 AU U数学符号表示：A = x I x e U,且x冬AUVenn图反映：公式定理小结：n A ( A)二 U ； A ( A) = 0 ；( A)二 AAgA；0gA；若AgB,BgC ，则AgC ；若A B ,B C，则A C； A B = B A ； A g A。A B g B ；AP0 = 0 ； nAp|B = B A ；u；a ( A) = U ；rU A g AB|J B g A B ； A 0= AAU(A) = 0 ； H A) =

13、 AC7 C7集合的简单性质:A c A = A, A 8 =,A c B = B c A;A uO = A, A uB = B u A;(A c B) q (A u B)；A q B = A c B = A; A q B = A u B = B ；Cs (AHB) = ( Cs A)U( Cs B), Cs (AUB) = ( C A)C( C B)。6.集合元素个数公式：n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).un目上雌 竞赛知识.集合的概念集合是一个原始的概念，是数学中一个不定义的概念.尽管如此，对于一个具体的集合 而言，很多情况下我们可以通过采用列举或者描述的方法给

14、出它的一个准确而清晰的表示.集合的描述法对任给的一个性质P，存在一个集合S，它由恰好是具有性质P的所有对象构成，即S = x I P(x)，其中P(x)表示“ x具有性质P ”.元素与集合的关系一个集合的元素是完全确定的，同时其包含的元素之间具有无序性和互异性.对于一个 确定的对象x和一个确定的集合A，“ x E A 与“ x史A ”有且仅有一个成立.如果对象x满 足描述集合A的性质，则有“ x e A，此时称对象x为集合A的元素.集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限的集合称为无限集.空集 0不含任何元素.思考：0是不是空集，它的元素是什么4集合与集合的关系集合A包含于集合B

15、，即“ A q B” o “ Vx e A，有x e B . ”(“ V ”：任给，“寸x e A ” 即“任给集合A中的元素x ”)集合A真包含于集合B，即A B ”o Vx e A，有x e B . ”且3x e B，使得x W A . ” (“ 3 ”：存在，“ 3x e B ”即“存在集合B中的元素x ”)集合A与集合B相等，即A =B o A q B ”且“ B q A ”.思考：如何利用“ V ”和“3通过数学语言叙述命题“对任何自然数。，都存在整数 b，使得a + b是质数.集合与集合的运算集合的交集、并集、补集三种基本运算是通过元素与集合的关系来定义的.有时，我们 还要用到集合

16、的差集的概念.下面给出这四种运算的定义：交集：A B = x I x e A，且 x e B ，n并集：A B =x I x e A，或 x e B ,补集：如果有A o B，则A对B的补集A = x I x e B，且x史A .(注意前提条件，如 果A o B不成立，就A对B的补集运算就无从谈起.)，当给定全集U时，A常记做A .差集：A B =x e A，且 x 史 B .V利用维恩图可以直观的理解集合与集合的运算，例如交集和并集：思考：补集运算与差集运算的联系，画出补集和差集的维恩图表示.子集以及摩根定律如果集合A与集合M间满足关系：A o M，那么称集合A是集合M的子集.特别的， 规定

17、空集0是任何集合的子集.摩根定律：如果集合A、B都是集合M的子集，那么(A B) = A B，(A B) = A B .另外，如果集合A、B都是集合M的子集u那么A料AB .给定一个有限集，写出其所有子集的方法写出给定有限集的所有子集的方法有很多种，在这里我们通过一个实际的例子介绍通过 添加给定集合元素得到给定集合所有子集的添加元素法：例：对给定集合1，2，3写出其所有子集.写出空集将前一步得到的所有集合照抄，然后将给定集合中第一个元素添加到那些集合 中，得到一些新的集合.把照抄的集合和新的集合放在一起，作为该步得到的集 合与类似，不过这次添加的元素为集合中的第二个元素.重复操作，直到将给定

18、集合的所有元素都添加完毕，就得到了给定集合的所有子集.00，1 0，1， 2，1，2 0，1，2，1，2 T0，1， 2，1，2，3，1，3，2，3，1，2，3 .思考：写出集合1,0的所有子集.有限集的阶如果集合A为有限集，那么集合A的元素的数目叫做这个集合的阶，记做IAI .特别的， 定义空集0的阶为0 .思考：如果使用维恩图表示集合，那么可以用面积表示有限集的阶.子集族某些集合的元素是集合，例如A=0，1，1，2，2就是一个含有4个元素(每 个元素都是集合)的集合.特别的，将集合M的若干子集作为元素构成的集合M*叫做集合 M的一个子集族.最简单的子集族是由有限集M的全体子集所构成的子集族

19、，简称为C 族.知识提要7给出的方法，其实就是得到有限集M的C族M*中所有元素的方法.C族的基本性质：如果集合M的阶为n，那么集合M的C族M*的阶为2n.思考：通过写出给定有限集的所有子集的添加元素法的步骤理解C族的基本性质.覆盖和集合的分划A，A是集合M的一个覆盖.2集合的分划：如果A1，A2， 交集为空集，即“V1 i j n n -分划.集合M的覆盖A，A，A = 1,2,3,4,5可以写成1，A =3，4.所以 A，A子3集族，但不是集合A的一个分划.思考：集合A的子集族0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中的元素是否构成集合A的一个 分划，给出集合A的一个5-分划.覆盖：如果对于一个集合M，n个非空集合A，A，A满足n A=M，则称A， 12ni1，A是集合M的一个覆盖，若A，A，A两两间 n12n，A. A. =0 .”，那么这些集合的全体叫做集合M的一个，A构成的集合M *一定是集合M的一个子集族.例如集合 2 2，4，5 3，4，记 A =（1，2，A =