七年级思维探究之多边形的边与角

1、泰勒斯(公元前624前547),古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称.他 不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯 在天文学方面也有不同凡响的工彳相传他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳25.多边形的边与角解读课标大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状(呈多边形)的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面.一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称多边形.边、角、

2、对角线是多边形中最基本的概念.多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角 形问题来解决的基本策略.多边形的内角和性质反映出一定的规律性：n 2 180随n的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是 360的一个常数.把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相 关问题的常用技巧.问题解决例 1 如图， A B C D E F .试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中.例2凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是().A. 4 B. 5C. 6 D. 7试一试把凸多边形内角问题

3、转化为外角问题.例3 凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570 ,求n的值.试一试 设除去的角为x ,可建立关于x, n的不定方程；又0 x 180 ,又可得到关于n的不等 式，故有两种解题途径，注意n为自然数的隐含条件.例4 如图，四边形 ABCD中，已知 AB/CD , AD / BC , AE，BC于E , AF，CD于F.证明: BAD EAF 180 .试一试 从四边形AECF内角和入手. n角星例5 (1)如图，任意画一个五角星，求 A(2)如图，用“一笔画”方法画成的七角形，求B C D E F度数.A B C D E F G 度数.(3)如图，用“一笔画”方法画成的2n 1

4、 角形 n 2，且 B1B2L B2nB2n1 是凸 2n 1 边形,A2A3LA2nAn 1 度数.分析 从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示.解（1） 180540A1A2 LA2n &1（2n1 个三角形 ABB?。-A2B2 B1, A3B3B2,，%B2nB加1 ,A2n iB2n 1B2n的内角总和减去多边形 B1B2 L B2nB2n1外角和的2倍）2n1 18036022n 3 180 .完全多边形把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图.如图，这样的图有6个点，每两点之间都有一条线，称为完全六边形.一个完全n边形共有n n 1条

5、连线.2例6 证明：任何6个人中，必有3个人互相认识，或者有 3个人互相不认识.分析与解借助图表示这一抽象的思想.用点A, A2,，A6代表6个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边， 问题转化为图中必有三边同色的三角形.考虑A与5条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有 3条同色，不妨设 AA2, A As, AA4同 为红色；若A2A3 , A3A4 , A4 A2中有红边，则有红色 AAA 2Wi, jW4 ；若七八，A3A4, A4A2无 红边，则4A2AA为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形.数学冲浪知识技能广场.如图，1、 2、3、 4是五边形

6、ABCDE的4个外角，若 A 120,则1234 .如图，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图中的四边形AGAH ,那么 GAH的度数为567的度数为.用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个 正方形，如图，用 n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图，若围成一圈后中间也形成一个正 多边形，则n的值为.图图.将五边形纸片 ABCDE按如图所示的方式折叠，折痕为 AF ,点E、D分别落在E、D上，已知AFC 76 ,则 CFD等于（）.A. 31 B. 28 C.

7、 24D. 22CDF-D TOC o 1-5 h z .如图，已知正五边形 ABCDE中，12,34,则x ().A. 30 B. 45 C. 40 D. 36.一个凸多边形的每一内角都等于140，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）. HYPERLINK l bookmark20 o Current Document A. 9条 B. 8条 C. 7条D. 6条一个凸n边形，除一个内角外，其余 n 1个内角的和是2400 ,则n的值是（）.A. 15 B. 16 C. 17 D,不能确定.如图，已知 DC/AB, BAE BCD, AE，DE , D 130 ,求 B 的度

8、数.如图，在四边形 ABCD中，B D 90 , AE、CF分别平分 BAD和 BCD .求证：AE/CF .思维方法天地.从凸n边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸n边形分成了 m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的 4,那么此n边形的内角和为.9. 一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是3060 ,则原多边形是边形.如图，设 CGE 120 ,则 A B C D E F .如图，ABCDEFGH I K的度数为.如图，ABC DE F G的度数等于（）.A. 360B.450 C. 540 D. 720.在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为 2

9、002 ,则这个多边形的边数为().A. 12 B. 12 或 13C. 14 D. 14 或 15.有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满， 则需要这种瓷砖().A. 216块 B. 288块C. 384块 D. 512块. 一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转0180 ,被称为一次操作，若5次操作后发现赛车回到出发点，则 角为().A. 720 B. 108 或 144 C. 144D. 720 或 144.如图，在凸六边形 ABCDEF中，已知 A B C D E F成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的.已知凸四边形 ABCD中

10、， A C 90 .(1)如图，若 DE平分 ADC, BF平分 ABC的邻补角，判断 DE与BF的位置关系并证明；(2)如图，若BF、DE分别平分 ABC、 ADC的邻补角，判断 DE与BF的位置关系并证明.应用探究乐园. (1)如图，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去 掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是 ;(2)如图，在5 5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向 外作正方形，并去掉居中的那条线段.请你把得到的图形画在图中，并写出这个图形的边数；(3)现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居

11、中那条线段为一边向外作正五边形，并 去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.C图(1)如图，若角，故 BODAB / CD ,点 P 在 AB , BPD D ,得 BPD否成立？若成立，说明理由；若不成立，则CD外部，则有 B BOD ,又因为 BOD是APOD的外B D .将点P移到AB, CD内部，如图，以上结论是BPD , B , D之间有何数量关系？请证明你的结论;(2)如图中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线 CD于点Q,如图，则 BPD, B,D , BQD之间有何数量关系？(不需证明)(3)根据(2)的结论，求图中 A

12、 B C D E F的度数. 微探究 平面镶嵌平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面.我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形 的公共点.镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为360 ,镶嵌图案有下列多种方式：.任意三角形和任意四边形都能镶嵌；.用同一种正多边形进行镶嵌；.用几种正多边形组合镶嵌.对于(2)、(3),可以证明：能镶嵌整个平面的只有11种.如图：例1用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面， 设正多边形的边 TOC o 1-5 h z 一,，11 1数为

13、x、y、z ,则一 一 一的值为.x y z试一试 从建立x、y、z的等式入手.例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）.A. 2种 B. 3种C. 4种 D. 5种试一试假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形，则60m 90n 360 ,即2m 3n 12,将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式.例3问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们

14、把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点， 提出其中几个问题，共同来探究.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内角.问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案? 问题解决猜想1:是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在 于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地说，就是在镶嵌平

15、面时，一个顶 点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角.验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题 意，可得方程：8 2 18090 x y 360,整理得：2x 3y 8 ,8x 1我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为y 2结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由.验证2： 结论2: 上面

16、，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案.问题拓展请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程.猜想3： 验证3: 结论3： 拼图的背后 例4同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？分析 要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组.解 设可以拼成凸n边形，n边形的内角只可能是 60 , 90 , 120 ,150 .并设其个数分别为 x, y, z, w （x, y, z, w为大于等于零的整数）.则60

17、x 90y120z 150wn 2180由得2x 3y4z 5w 6n126得4x3y 2z w12n x y zw 4x 3y2z w12 .由此可见，拼得的多边形最大边数为12.下面我们分情况探讨x y z w n x y z w 12(1)当 n 2时，由 4x 3y 2z w 12,得3x 2yz ，x , y , z, w 0,0,0,12 .150 ,如图.z 1 ,120 ,其余各内角均为150 ,如图.这说明可以拼成十二边形，目这十二边形的每个内角均为11w 12,得 2yx y z w，当n 11时，由4x 3y 2zx , y , z, w 0,0,1,10 .这说明，可以

18、拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为x y z w 10 x , y , z, w 0 , 0, 2 , 8 .这说明可以拼成十边形，且这十边形中有x y z w 9（4）当n 9时，由4x 3y 2z w当n 10时,由4x 3y 2z w 12得标2yz2个内角为120 ,有8个内角为150 ,如图.12,得 3x 2yz 3，x , y , z, w 0 , 0 , 3 , 6 .这说明可以拼成九边形，且这九边形中有3个内角为120 ,有6个内角为150 ,如图.同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图、.图（十二边形）图（十一边形）图（十边形）AQO图（五边形）练一练

19、.用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A,定义为第一组；在它的周围铺上 6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的 正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满组，还剩 块瓷砖.花团锦簇有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺 10圈, 共需醇 块，其中正三角形醇 块.若铺n圈，则共需醇 块.有下列五种正多边形地砖：正三角形；正方形；正五边形；正六边形；正八边形，现要同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不

20、重叠地铺设 的地砖有（）.A. 4种 B. 3种C. 2种 D. 1种.如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则 n等于（）.A. 4 B. 6C. 8 D. 10.在日常生活中，观察各种建筑物的地板， 就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360 ）时，就拼成了一个平面图形.（1）请根据下列图形，填写表中空格；正多边形边数3456n正多边形每个内角的度数609

21、0（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由.微探究三角形三边关系三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础.例1不等边三角形 ABC的两条高的长度分别为 4和12,若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于.试一试 设 ABC的面积为S、第三条高的长为h ,则 ABC三边都可用S的代数式表示，由三边关 系建立关于h的

22、不等式组.例2 已知三角形的三边 a、b、c的长都是整数，且ab c ,如果b 7,则这样的三角形共有（）.A. 21 个 B. 8 个C. 9 个 D. 4 个试一试a的取值范围是明确的， 依三角形三边关系， 可确定c的取值范围，列表枚举出所有的可能性.例3 如图，已知P为4ABC内任一点.AB BC CA与2 PA PB PC哪个大？证明你的结论；AB BC CA与PA PB PC哪个大？证明你的结论.试一试 对于(2),解题的关键是先证明：BP PC AB AC, PA PC AB BC ,PA PB AC BC .例4 现有长为150cm的铁丝，要截成n n 2小段，每段的长为不小于1

23、cm的整数.如果其中任意3 小段都不能拼成三角形，试求 n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段？试一试 因n段之和为定值150cm ,故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可 构造一个数列.整边三角形例5 将长度为24的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记 a, b, c为三边分别为a, b, c且 a b c的一个三角形.试尽可能多地写出满足题意的a, b, c ；你能否提出一些进一步的问题？ a b c 分析与解(1)由题意可知a b c 24,且，由此得8c11 ,a b7的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围；将长度为n n 4的线段折成

24、各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？练一练.现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三 角形的个数是.若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5,则这个三角形是 三角形(按边分类).如图，加油站A和商店B在马路MN的同一侧，A到MN的距离大于B到MN的距离，AB 7m , 一个行人P在马路MN上行走.问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于 .将长度为25cm的细铁丝折成边长都是质数(单位：厘米)的三角形，若这样的三角形的三边的长 分别是a、b、c ,且满足abc,则a,b,c有 组解，所构成的三角形都是 三角形. T

25、OC o 1-5 h z .三角形的三边长为 3, 4, x 1,那么x的取值范围是（）.A. 0 x8 B. 2x8C. 0 x6 D. 2x6.三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10,这样的三角形有（）.A. 55种B. 45种 C. 40种D. 30种7. 7条长度均为整数的线段 a, a2,，a7满足ai a7 L a7,且这7条线段中的任意三条都不能 构成三角形，若a 1 , a7 21 ,则%（）.A. 18 B. 13C. 8 D. 5.已知 ABC的两条高线的长分别为 5、20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大 值为（）A. 5 B. 6 C. 7 D.

26、8.在平面内，分别用 3根，5根，6根，火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝（2） 8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图.有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9 （单位：cm ）的细木棒各1根，利用它们（允许 连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？.周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？25.多边形的边与角问题解决例 1 连 BC , A B C D例2 c 设凸多边形的边数为 n , 角，而外角中钝角或直角的个数不超过E F 四边形EFBC的内角和 n个内角中恰有三个是锐角，则其余3 ,即 n 3 3 ,解得

27、 n w 6 .360 .n 3个外角中将是钝角或直例3设除去的角为180 x2570 ,得 nx 2570 360例4数学冲浪30EAF C故 BADEAF180180 .605406得到的正多边形的一个内角为B 6.DABAE / CF .D 7, D 8. BDCB 180 , EAB3609.FCB2 120120 .B 4090 ,又 FCBCFB 90EAB13.D1113 -90C72024012.十八边形，或十九边形或二十边形14. 1080 连 KF15. C设这个多边形为n边形（n为正整数），由20022 1802002360(1)(1)1115. DDE BF ;14 或

28、 15.可以证明(2) DE II BF12; （2）这个图形的边数是CD II AF（证明略）20 （如图所示）；（3）得到的图形的边数是I1 rIL22. （1）不成立，结论是 BPD(2)结论：(3) A BBPDCBQDD平面镶嵌（微探究）例1依题意有:工180 x180 2 180 360,z例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正 八边形，共3种.例3 问题再现：3验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：60a 120b 360 .整理得：a 2b 6 ,可以找到两组

29、适合方程的正整数解为结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？验证3:在镶嵌平面时，设围绕某一点有 m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：60m 90n 120c 360 ,整理得：2m 3n 4c 12 ,可以找到唯一一组适合方程的正整数解为n 2 .c 1结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和

30、1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.练一练1.铺满n组时，所用瓷砖总数为1 3n n 11951 2005,当 n 27 时，1 3n n 12107 2005 ,故最多能完整地铺满 26组，还剩1 6 1 6 2 L 6 n 11 3n n 1 .当 n 26 时,2005 1951 54 (块)瓷砖.2. 660； 600； 6n2 6n 3.c H n 2180/口4. C 由135,得 nn5. (1) 108 ; 120 ;2 180(2)正三角形、正四边形(或正方形) 、正六边形.假定在接合处一共有 k块正n边形

31、地砖.由于正n边形的所有内角都相等，则2n 4k q- 2因 k为整数，故 n 2|4 , n 2 1, 2, 4,得 n 3n 2 n 24或6 ,由此可见,只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如：正方形和正八边形，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角,那么,n应是方程m 90 n 135.这个方程的整数解只有360的整数解，即2m 3n 8的整数解.m 10 一组，：符合条件的图形只有一种.n 2三角形三边关系(微探究)例1设长度为4和12的高分别是边a、b上的，边c上的高为h/ABC的面积为S,则a2S2S12，2S2S2S2S2S2

32、Sc ,由,得 3h，412h4126 ,又h为整数且 ABC为不等边三角形,b c,列表如下:例2 A分a 1,2,，7情形讨论，又abc17不存在27:8378 , 9478, 9 , 105：7p, 9 , 10, 11678, 9 , 10, 11, 12778, 9 , 10, 11, 12, 13例 3 (1) AB PA +PB, BC PB PC, (2)如图，延长BP交AC于D .ACPC PA ,相加得：AB BC CA 2 PAPBPCA在 4ABD 中，AB AD 在 4PDC 中，PD DC+，得AB AD PDBD BP PD ，PC，DC BP PD PC即 AB AC PB PC ,同理 AB BC PA 相加得：2 AB AC BC 2 PA PB PC这些小段的长度只可能分别是3