立体几何中的探索性问题

1、PAGE PAGE 5立体几何中的探索性问题那洪源一 问题的提出（1）立体几何中的探索性问题，在98，99，00，02年全国高考题以及上海高考题中作为创新题型出现。（2）这种试题较好地体现考查学生的思维能力和创新能力。在高考数学测量研究与实践一书中有这样一段论述，“这种试题的解答过程，体现了研究性学习的发展性和生成性的特点，考查了创新能力和应用意识，02年这道题起到了很好的示范作用，是今后应用问题考查的改革方向”。（3）我个人观点：在日常学习中，解决这类问题能够培养我们良好的思维品质与思维能力，使我们学会学习，学会研究。凡新问题的解决（不限于数学问题）都有一个探索的过程，这正是解决问题的关键。

2、那么如何探索呢？本讲就从几个立体几何问题着眼，作一点尝试，供叁考。那么，什么是立体几何探索性问题呢？先看一个例题。引例：在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中， 当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1 （只填上一个正确条件即可）（98年高考题） 或ABCD是菱形寻求结论成立的充分条件就是探索性问题。还有条件已知，结论未知，或结论不唯一以及结论不知是否存在，还有部分条件、结论未知，都被称为探索性问题。在这里不给出严格定义。下面研究两类问题。二 投影问题在正方体A1C中，E、F分别为面ADD1A1面BCC1B1中心， 则四边形BFD1E在该正方体面上的射影可能是_（2000年高考题） 是

3、在上、下底面及前、后侧面 是在左、右侧面的投影 故选 2、正四面体ABCD中，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任意一点，则SQD在四个面上的射影不可能是_B是在面上的投影 C是在面上的投影 D是在面上的投影 故选A3、一个不透明的正四面体，被一束垂直于桌面的平行光线照射时，此正四面体在桌面上的射影可能是（把可能的序号都填上）_是面与桌面平行时的投影可构造正方体 将正四面体ABCD沿棱BC转动在桌面上的投影就出现，当B在桌面上，A，C，D三点都不在桌面上 使AD，BC在桌面上的射影平行，而AB，CD在桌面上的射影不平行，就出现故填三 构造几何体 4、若一个三棱锥的三个侧面中有两个等腰直

4、角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求满足上述条件的三棱锥的体积。（，）第一种情况 第二种情况 第三种情况 仔细观察第一，第三种情况会发现一个重要的结论：即两个四面体满足一定条件可以叠放成一个四面体。5、图1是棱长为a的正四面体，图2是棱长均为b的正四棱锥，问a、b满足什么条件时，可将两个几何体适当叠放构成新的几何体，使面数最少？是多少？为什么？并求出这个几何体的体积。 由上一题启发，需要考虑相邻两个侧面所成的二面角正四面体相邻两个面所成的二面角为，则，棱长相等的正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角为，则，所以 故当时，叠放成一个新的几何体（三棱柱）面数不增加。（五面体）6、如果一个F面体共有

5、M个面是直角三角形，则称这个F面体的直度为（1）、请构造一个直度为的四面体。（2）、是否存在直度为1的四面体？（3）、若一个F面体的直度为1，棱数为E，将E表示为F的函数。（4）、是否存在直度为1的五面体？分析（1）四个面有三个是直角三角形另一个面不是直角三角形，如图（2）存在，四个面都是直角三角形，如图（3）由一个面体的直度为1，则共有个直角三角形的面（没有其它多边形作为面）又每一条棱均在两个面上，每一个面都有3条棱，所以即（4）假设存在直度为1的五面体，由（3）可知棱数矛盾，故不存在。7、给出两块相同的正三角形纸片（如图1，2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块拼成一个正三棱柱

6、模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等。（1）请设计一种剪拼方法，并做简要说明。（2）比较你设计的正三棱锥和正三棱柱的体积大小。（3）如果给出一个任意三角形纸片，(如图3)能否剪拼一个直三棱柱，使其全面积与原三角形面积相等。作简要说明。（2002年高考题）分析：（1）对图（1）D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，沿虚线剪拼可作正三棱锥。对图（2）O为内心，D为OB的中点E为AO中点，F为OC的中点沿虚线剪拼可作正三棱柱 剪掉的三个四边形恰好构成上底（2）设正三角形边长为2，正三棱锥和正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，面积为，棱锥的高为 棱柱的高为 （3）O为内心，D为OB的中点E为AO中点，F为OC的中点，沿虚线剪拼可作正三棱柱，剪掉的三个四边形恰好构成上底。 关于用三角形剪拼成直三棱柱还有很多方法。列如对图（2）有 对图（3）有 分别为中点 分别为内心 可拼成 平行四边形，进而拼成矩形作成侧面，其余同理。三个平行四边形的高显然相等。8、若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_（只需写出一个可能值。）（1999年上海高考题）分析：只有三条棱长为2或四条棱长为2或五条棱长为2三种情况 9、四面体的三对相对棱长相等，分别是、5。求这个四面体的体积，并作以推广。 分析：构造长方体使