奥数专题练习-盈亏问题

1、- - -复杂盈亏问题【专题知识点概述】盈亏问题是一类生活中很常见的问题.按不同的方法分配物品时，经常发 生不能均分的情况.如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈 亏问题的含义. TOC o 1-5 h z 1【授课批注】本节与实际生活练习较为紧密，生活中经常遇到此类问题，学生较感兴趣。合理提炼分配的总量和份数（单位量），能够在多个条件下，统一关系。口诀：同相减，异相加，除以分配差，每后是单位。J解题步骤：四部曲广【授课批注】、注意总量与份数（单位量）是恒定不变的，能够将多个条件统一到统一条件关系下，利用【重点难点解析】1.理解掌握并运用直接计算型盈亏问题;.理解掌握条件转换型盈亏

2、问题;.理解掌握关系互换型盈亏问题.【习题精讲】【题型一】基本盈亏条件的转化2张信纸，乙每封甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用20张信纸，乙用完所有信信用3张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下纸还剩下10个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【分析与解】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30张信纸.这是盈方问题，盈方总额为（20 +30） 张信纸，两次分配的差为（3 2）张信纸，所以有信封（20 + 30） + （3 2） = 50（个），有信纸 2X 50+20= 120（张）.小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2分币比5分币多22个；按钱数算，5分 币

3、却比2分币多4角；另外，还有36个1分币.小同共存了多少钱 ？【分析与解】假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3分，所以5分币有：84 +（5 2）=28（个）2 分币有：28 + 22=50（个）5X 28+2 X 50+1 X 36= 140 + 100 + 36= 276（分）.、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【分析与解】每辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐 60+5=65人，则多出一辆车，也就是差 65人.因此车辆数目为：（65+15）

4、+ 5=80+5=16 （辆）.学生人数为：60 X （ 16-1 ） +15=60 X 15+15=900+15=915 （人）.答：一共有16辆车，915名学生.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.【分析与解】井的深度为：（5X 2+4X 3） + （ 3-2 ） =22+1=22 （米）.绳子长度为：（22+5） X 2=27X 2=54 （米），或者 （22-4） X 3=18X3=54 （米）王老师由家里到学校，如果每分钟骑车 500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车 600米，就可以比上课时间提前 2分钟到校.王老师家到学

5、校的路程是多少米？【解析】 迟到3分钟转化成米数：500X 3=1500 （米），提前两分钟到校转化成米数：600X2=1200 （米）王老师家到学校需要（1500+ 1200） + （ 60-50 ） =270 （分钟），王老 师家到学校的路程：500 X （270+3） = 136500 （米）学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？【解析】 小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60X 10= 600 （米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到

6、校，即到校后还可多走50X8=400 （米），第一种情况比第二种情况每分钟多走6050= 10（米），就可以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间.10分种走多少米？ 60X10=600 （米），8分种走多少米？ 50X 8=400 （米），（3）需要时间：（600400） + （ 6050） = 20 （分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校.（4）由家到校的路程：60 X （2010） =600 （米）或：50 X （208） = 600 （米）.【题型二】分配方案要统一！ ！ ！小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分4个，其余每人分2个

7、，还多出4个，如果小胖1人分6个，其余每人分4个，又差12个.问小胖家有多 少人？这筐梨子有多少个？【分析与解】第一次分法是小胖、小妹各4个，其余每人2个，多余4个.假设小胖、小妹也分 2个，那么会多多少个梨呢？很容易想，那就会多出：2X 2+4=8 （个）.第二次分法是小胖一人得 6个，其余每人4个，差12个，假如小胖也只分 4个呢，那么就 只差：12-2=10 （个）.这样一想，就变成和前面讲的例子一样了解小胖家的人数为：2X2+4+ （12-2） + 2= （8+10） + 2=9 （人）.梨子数为：4X2+2X （9-2） +4=8+14+4=26 （个）,或者 6+4 X （ 9-1

8、 ） -12=6+32-12=26 （个）.答：小胖家有9人，这筐梨有26个.实验小学少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中 2人各种4棵，其余的人各种 6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？【分析与解】这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵,其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况一一 2人各种4棵，其 余的人各种6棵.如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6 4） X2=4（棵）.因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种； 如果每人种6棵树苗

9、，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数：3 + （64） X 2 + （65） =7 （人），棵数：5X7+3=38 （棵）或 6X74=38 （棵）.【巩固】 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖 6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名 少先队员？共挖了多少树坑？【解析】 这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖6个树坑，形成统一的标准。 那么它就相当于每人挖 6个树坑，就要差（6-4） *2=4 个树坑。这样，

10、盈亏总数就是3+4=7,所以，有少先队员 7/ （6-5） =7名，共挖了5*7+3=38个坑。 盈亏总数等于3+ （6-4） *2=7 ,少先队员有7/ （6-5） =7名，共 挖了 5*7+3=38个树坑。国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆.如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆 6盆，这些花盆正好摆完.问有多少少先队员参加 摆花盆活动，一共摆多少花盆？【解析】这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完， 这组条件中包含着两种摆花 盆的情况一一2人各摆4盆，其余的人各摆 6盆.如

11、果我们把它统一成一种情况， 让每人都摆6盆，那么，就可以多摆 （6-4区2 =4（盆）.因此，原问题就转化为： 如果每人各摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人摆6盆花，还缺4盆.问有多少 少先队员，一共摆多少花盆？人数：3+（64）尺 子（6-5）=7（人），盆数：5 M7 +3 =38（盆）或 6 M7 -4 =38（盆）.【题型二】总量和单位量是不变的数，题目中有两个总量或单位量 时要转化为一个。两个单位量：食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？【分析与解】这里有两种肉，思考起来比

12、较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉18千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每千克贵8角，如果18千克牛肉换成18千克猪肉，就要少花8X18=144 （角）=14元 4 角.这样就会多出14元4角-4元=10元4角.因此问题就可变为：“小李买猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价和钱数虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价= 两次钱的差+两次千克量差 .解 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵8X18=144 （角）=14元 4 角.因此小李若买18千克猪肉就会多余14元4角-4元=10元4角.

13、由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉每千克价格为（104-20 ） + （ 20-18 ） =84 + 2=42 （角）=4元 2 角.所以牛肉每千克价格为：4元2角+8角=5元.小李带的钱为：4.2 X 20+2=86 （元）.李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为 8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱.问：李妈妈带了多少钱？【分析与解】（法1） “李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花 8X3=24 （元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而 碧浪比雕牌每袋贵 2元，所

14、以要买碧浪洗衣粉袋数24+2=12 （件）.这样李妈妈带的钱数是 10X 12= 120 （元）.（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3X8= 24 （元），根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24+ （ 108） =24+ 2= 12 （件），所以李妈妈带的钱数是：12X10=120 （元）.四班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果.如果买芒果13千克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元.已知每千克芒果比奶糖贵 2元，那么，辅导员老 师带了 元钱.这笔钱买13千克芒果还差4元，若把这13千克芒果换成奶糖就会多出 13M 2 = 26元

15、，所以这 笔钱买13千克奶糖会多出26 -4 = 22元.而这笔钱买15千克奶糖会多出2元，所以每千克 奶糖的价格为：（22-2）+（15-13）=10 （元）.辅导老师共带了 10父15+2=152元两个总量：、总量之间是和差幼儿园把一袋糖果分给小朋友.如果分给大班的小朋友，每人 5粒就缺6粒.如果分给小班的小朋友，每人 4粒就余4粒.已知大班比小班少 2个小朋友，这袋糖果共有多少粒？【分析与解】如果大班增加2个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人 5粒缺16粒，每人4粒 多4粒” 的盈亏问题.小班有（16+4） + （54） =20（人）.这袋糖果有 4X20+ 4= 84（粒）. 总

16、量之间是倍数 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 【分析与解】因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知 苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5） + （6-5） =13 （人）.苹果个数为13X7-5=86 （个）.桔子数为13X3+4=43 （个）.答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍 14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球

17、拍、乒乓球拍各多少副？【分析与解】因为羽毛球拍是乒乓球拍的 2倍，如果每次分羽毛球拍 5X 2=10（副）,最后应余下15X2=30 （副），因为14-5X2=4 （副），分到最后还差 30副，所以比每次分 10副总共差30+30=60 （副）,所以有小组：60+4=15 （组），乒乓球拍有：5X 15+15=90 （副），羽毛球拍90X 2=180 （副）.体育队将一些羽毛球分2若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分 2个羽毛球还缺少 8个，问有羽毛球多少个？【分析与解】考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给 2X3=6 （个），每人给5个与给6个，总数 相差

18、10+8=18 （个），所以原有人数 18 +（ 65） = 18 （人），乒乓球总数是 5X18+10 = 100 （个）.卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到 3倍还少5只，那么每只大熊猫分 2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大 熊猫多少只，竹子多少棵？使同学们感到困难的是条件“ 3倍还少5只大熊猫”.先要转化这一条件，假设还有10棵竹子，10 =2父5 ,就可以多有 5个大熊猫，把“少 5只大熊猫”这一条件暂时搁置一边, 只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给 2父3 = 6（棵）竹子，每只大熊猫 给5棵与给6棵，总

19、数相差10+10+8 =28（棵），所以原有大熊猫数 28-（65） =28（只）， 竹子总数是 5x28 +10 =150 （棵）.【题型四】放堆堆 固定一个不动 把谁分给谁有若干个苹果和梨，如果按 1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩 2个梨；如 果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？【分析与解】1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配 2个梨，即1个苹果配4个梨，剩半个苹果，即 少2个梨.苹果有（2+2） + （4-3） =4 （个），梨有 3 X 4+2=14 （个）.有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；

20、如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个？【解析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1个苹果“搭配” 2个梨，第二种方案是 3个苹果“搭配” 5个梨.如果将这两种方案统一为 1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/ 3个梨，多1个梨”， 此时盈亏总额为4+1=5（个）梨，两次分配数之差为 25/3 =1/3（个）梨.所以有苹 果（4 +1）+（2 -5/ 3） =15（个），有梨 15x24 =26（个）.四（2）班在这次的班级评比中，获得了

21、 “全优班”的称号.为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮.刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生.如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有 3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩 5支铅笔.那么，刘老师一共买了多少块橡皮？多少支铅笔？【解析】如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔 分，则剩下10+5=15（支）铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可 以分成：15+（65）=15（堆），所以，橡皮数为：15X3=45（块），铅笔数为：15X6 10=80（支）.小白兔和小灰兔各有若干只.如果5只小白

22、兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多 12只.那么小白兔和小灰兔共有多少只？【分析与解】“7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了 12+3X7 = 28 （只），这样原来笼子数有：（28 + 4） + （75） = 16 （个），所以小白兔有16X5+4 = 84 （只），小灰兔有16X3=48 （只），合起来有 84 + 48= 132 （只）.四（2）班在这次的班级评比中，获得了 “全优班”的称号.为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮.刘老师把

23、这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生.如果每堆有 1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔.那么，刘老师一共买了多少块橡皮？多少支铅笔？【分析与解】如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按 3块橡皮、5支铅笔分，则 剩下10+5=15（支）铅笔，但如果按 3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成： 15+（65）=15（堆），所以，橡皮数为：15X3=45（块），铅笔数为：15X 610=80（支）.二、训练营地.一些橘子分给若干人，每人5个余10个橘子。如果人数增加到3倍还少5人, 那么每人分2个还缺8个，有橘子多少个？.有一些苹果和梨，苹果的数量是梨的4倍少2个，如果每次吃掉5个苹果和2个梨，当梨吃完还剩下40个苹果。有多少个苹果？.小明花19元买了 10本练习本和10支铅笔，他还有余钱。如果要买1支铅笔, 就多0.3元；如果再买一本练习本就少 o. 2元。小明原有多少元？.小明从家到校，如果每分钟走 120米，则早到3分钟；如果每分钟走90米, 则迟到2分钟。小明家到学校多少米？.学校园林科有一批树苗，交给若干名学生去栽，一次一次往下分，每次分一棵, 最后剩下12棵，不够分了。如果再拿来8棵，那么每个学生正好栽10棵。参加