新高考新教材一轮复习人教B版 第五章 第四节　复数 学案

1、第四节复数课程标准解读1.通过方程的解，认识复数2结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、 虚部，共施复数，复数的模等概念的认识3结合复数的运算法那么，考查复数的加、减、乘、 除运算.：必备知识新学法基础落实:知识排查微点淘金知识点一复数的有关概念1.复数的概念1) 一般地，当与b都是实数时，称，十万为复数.复数一般用小写字母Z表示，即Z =+Z?i3，R),其中称为z的实部，人称为z的虚部，分别记作Re=4 Im=0(2)所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因止匕C=z|z= +bi, a, Z?R(3)复数的分类：虚部为。的复数称为实数；虚部不为。的复数称为虚

2、数；实部为。的 虚数称为纯虚数.复数相等： 4+bi = c+且 , b, c, de R).共辗复数：+Z?i 与 c+di 共辄b=d(a, b, c, dR).复数的模：向量应的模叫做复数z=a+历(a, bR)的模,记作|z|或|a+矶即|z| = a-bi yjc+b2.知识点二复数的几何意义*对应.复数z=a+i复平面内的点Z(a, b).一*一*对应.复数z=a+b平面向量0Z.知识点三复数的计算.复数的加、减、乘、除运算法那么设 zi=+/?i, Z2=c+di(。，b, c, dR),那么(1)加法：zi +z2=(Q+bi) + (c+di) = (+c) + (/?+6Q

3、i；(2)减法：z Z2 = (。+bi) (c+di) = (一(?) + (/?mi；(3)乘法：zZ2g+Oi)(c+di) (c力G + (ad+Oc)i；(4)除法:(4)除法:zi a+Z?i (+)(一泊)ac+bd . bc-a包Z2 c+di (c+di)(c-di) 寸+片-c2cC 龙.复数加法的运算定律设Z1, Z2, 23C,那么复数加法满足以下运算律:(1)交换律：Z1+Z2 Zg + zi；(2)结合律： + Z2)+ Z3 = Z + + Z).复数乘法的运算律设Z1, Z2, Z3C,那么复数乘法满足以下运算律:(1)交换律：Z1Z2 = Z2Z1；(2)结合

4、律：(ZIZ2)23 = Z1(Z2Z3)；(3)乘法对加法的分配律：Z1(Z2 + Z3)= ZZz + zZ3.微思考复数 +历的实部为，虚部为人吗？提示：不一定.只有当m bR时，才是实部，6才是虚部.常用结论1.1.1 +i1 -iHH=i, T+i=(li)2=2i,2.4+2= ii4+3 = _ i( N*), i4,z+i4,z+1 + i+2+j4+3=0( w N*). O CZ1 |zi I3. z z =|z|2 = | z |2, |zrz2| = |zi|-|z2|, -=冒,I力= |z|.小试牛刀泊我诊断.思维辨析(在括号内打“ J ”或“ X ”)(1)方程x

5、2+x+1=0没有解.()(2)复数z=a+/?i(m 凶R)中,虚部为洌.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量 的模()答案：(l)x (2)X (3)X (4) J.(对复数的几何意义理解不清)设i是虚数单位，假设z=cosO+isin仇且其对应的点位于复平面内的第二象限，那么。位于()B.第二象限A.第一象限C.第三象限C.第三象限D.第四象限解析：选B .z=cos 8+isin。对应的点的坐标为(cos仇sin。)，且点(cos仇sin。)位于第二象限,于第二象限,cos 00,。为

6、第二象限角，应选B.(链接人B必修第四册P30例1)在复平面内，向量赢对应的复数是2+i,向量无对应的复数是一13i,那么向量CA对应的复数是.解析： 之=无+或= l3i + (2 i)=-34i.答案：一3一4i.(链接人B必修第四册P41BT3)(l+2i) z =4+3i,那么2=. 4+3i (4+3i)(l-2i) 10-5i.解析： (l+2i) z =4+3i, . z = _|-2i = (l +2i)(l2i)= 5 =2 - .z=2 + i答案：2 + i关键能力 新探究思维拓展至连数注三言一、基础探究点复数的概念(题组练透).复数不片的虚部是() TOC o 1-5

7、h z A二BA.10Wc-LdAJo,io砧、上 c _Jl+3il + 3i_1_ _3_. 的 / 由金 义二解析:选 D 1-3i-(i+3i)(l-3i)- 10 -10+10b 所以虚部为行.qR,假设q1+(。一2)i(i为虚数单位)是实数，那么q =()A. 1B. -1C. 2D. -2解析：选C因为q1 + 32)i是实数，所以。-2=0,所以。=2,应选C.1 - i.a+/?i(a, /?R)是宙的共辗复数，那么。+人等于()A. 1C.TC.TD. 1融矫、葬 n 山i (1i)(Li) 一 解析：选D由+(+及_。 b从而a+b=.得+bi = i,由复数相等得a=

8、09 b=l,.假设 z=l+i,那么|z22z| = ()A. 0C.6 D. 2解析：选 D 法一：Vz=l+i,忆22z| = |(l+i)22(l+i)| = |2i 2i 2| = | 2| = 2.故 选D.法二：Vz=l+i,忆22z| = |z|z2|=也X|l+i|=也义也=2.应选 D.解思反后解决复数概念问题的方法及考前须知(1)求一个复数的实部与虚部，只需将的复数化为代数形式z=+Ai(m 8R), 那么该复数的实部为m虚部为。；(2)求一个复数的共轲复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变 为相反数，即得原复数的共扼复数，复数zi = + Z?i与Z2

9、 = c+di共轲今q=c, h=d(a9 b, c, dR).二、综合探究点复数的四那么运算(师生共研)典例剖析 TOC o 1-5 h z 例1(2021新高考卷I )z=2i,那么z(7 +i) = ()A. 6-2iB. 4-2iC. 6 + 2iD. 4+2i解析选 C 因为 z=2 i,所以 z(；+i) = (2 i)(2+2i) = 6+2i,应选 C.(2)(2021 全国甲卷)(li)2z=3 + 2i,那么 z=()A. 1 1 一寺B. - 1 + 争33C. j+iD-i解析选B3 + 2i 3 + 2i 3i-2 (l-i)2=-2i= 2 =(3)(2021全国乙

10、卷)设 2(z+ z ) + 3(z- z )=4+6i,那么 z=()A. l-2iB. l+2iC. 1+iC. 1-i解析 选 C 设 z=a+bi(a,贝I z =a-b,代入 2(z+ z ) + 3(z z )=4+6i,可得 4+6bi=4+6i,所以 q=1, Z?=L 故 z=l+i.应选 C.方法规律复数代数形式运算问题的解题策略在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法那么(实部与实部相 复数的加减法加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同 复数的乘法类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法复

11、数除法的关键是分子分母同乘以分母的共躯复数，解题中要注意把i的学会用活号写成最简形式(多项选择题)对于两个复数Q=li,夕=l+i,以下四个结论中正确的选项是()aA. o0= B./= -iC.1=1D. +42=。解析：选BCD 对于两个复数a=l i,夕=l+i,A项，磔=(1i)(l+i) = 2,故A不正确；a 1i (1i)(li) 2i . L, ,B =T+i=(l +i)(l -i)= -i,故 B 正确；aC 项，/ =| i|=l,故 C 正确；D 项，a2+y?2=(l -i)2+(l +i)2= 1 -2i- 1 + 1 +2i- 1 =0,故 D 正确.应选 BCD

12、.三、应用探究点复数的几何意义(思维拓展)典例剖析例2 (1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),那么iz=()A. l+2iB. -2+iC. 1 2iD. -2 i解析选B由复数的几何意义可知，z=l+2i,所以i.z=i.(l+2i)=2+i,应选 B.(2)一题多蝌设复数z满足|zi|=l, z在复平面内对应的点为(x, y),那么()A. (x+l)2+y2=lB. (xl)2+y2=lC.+。-1)2=1D. f + Q+l)2=l解析选C 法一：Tz在复平面内对应的点为(x, y),.z=x+yi(x, yR).:忆一i| =1, /.|x+(yl)i|=l, ，A2+

13、(y1)2= 1.法二：i|=l表示复数z在复平面内对应的点(x, y)到点(0,1)的距离为1,f+。 1)2=1.(3) 一题多蝌设复数 Z1，Z2 满足 |Z| = |Z2| = 2, Zl+z2=V3 + i,那么 Z2=.解析法一：设Zl，Z2在复平面内对应的向量为历1，OZ2,以龙1，12为邻边作平行 四边形(图略).那么 |Z1+Z2/ + |Z1Z1|2 = 2(|Z1F + |Z2|2),A |zi-z2|2 = 2(22+22)-4=12,?. |zi221=23.法二：设复数 za-b, Z2 = c+di(。，b, c, dR),那么 / + 店=4, c2-rd24,又 z+z2 = (a+c) + S+J)i=W + i, .a+c=小，b-Vd= 1, 那么(。+0)2 + (+)2 = /+，+ /?2 + “2 + lac+2bd= 4,8+2qc+2bd=4,艮|1 2oc+2bd=4,/. zZ2= yj(ac)2+(bd)2=/2+/?2 + ?2+/2 (2tzc+2Z?(f)=(4) = 25,答案2小拓展变式变设问假设本例条件不变，那么复数ZI+Z2对应向量与复数Z1对应向量的夹角等于解析：.|zi| = |z2| = |zi+z2| = 2,由平行四边形法那么知，复数Z1与复数Z1+Z2对