2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第二章 2.1相等关系与不等关系（word版）

1、21相等关系与不等关系(教师独具内容)1通过具体情境，能从现实世界和日常生活中的实例抽象出不等式的概念，能从等式的性质类比出不等式的性质理解实数比较大小的基本事实，会比较两个实数的大小，掌握不等式的性质及其成立的条件，会利用不等式的性质解决问题2感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景3不等式是刻画现实世界，日常生产、生活，科学研究不等关系的数学模型，其核心内容是解不等式与证明不等式4重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养(教师独具内容)1用不等式表示不等关系，是研究不等关系的必备基础，要结合实际问题，找出描述不等关系的关键词，不等式的性质是不等式变形的依据

2、，要记牢性质，尤其是使用条件2掌握不等式的性质及成立的条件，灵活运用不等式的基本性质解决求范围的问题或判断、证明不等式3不等式的性质多与常用逻辑用语知识相结合；与集合基本运算相结合；该部分常与其他模块知识相结合，命题的关注点在于作为其他模块知识的基础，与函数、集合等问题相结合较多(教师独具内容)(教师独具内容)1比较两个实数大小的方法关系方法作差法作商法abab0 eq f(a,b)1(a0，b0)或 eq f(a,b)1(a0，b0)abab0 eq f(a,b)1(b0)abab0 eq f(a,b)0，b0)或 eq f(a,b)1(a0，bbbb，bcac.(3)可加性：abac eq

3、 o(,sup3(01)bc；ab，cdac eq o(,sup3(02)bd.(4)可乘性：ab，c0ac eq o(,sup3(03)bc；ab，c0acb0，cd0ac eq o(,sup3(04)bd.(5)可乘方：ab0an eq o(,sup3(05)bn(nN，n2).(6)可开方：ab0 eq r(n,a) eq o(,sup3(06) eq r(n,b)(nN，n2).注：在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变4倒数性质的几个必备结论(1)ab，ab0 eq f(1,a) eq f(1,b).(2)a0b eq f(1,a)b0，0c e

4、q f(b,d).(4)0axb或axb0 eq f(1,b) eq f(1,x)b0，m0，则(1) eq f(b,a) eq f(bm,am)(bm0).(2) eq f(a,b) eq f(am,bm)； eq f(a,b)0).(理解小技巧借用糖水模型：如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，则其浓度为 eq f(a,b).若在上述溶液中再添加m kg白糖，此时溶液浓度增加到 eq f(am,bm).显然，a，b，m是正数，且abac2bc2.()(2)abacbc.()(3)若 eq f(a,b)1，则ab.()(4)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，ab0，cd eq f(b,

5、c) B eq f(a,d) eq f(b,d) D eq f(a,c) eq f(b,d)答案B解析因为cd eq f(1,c) eq f(1,d)，两边同乘1，得 eq f(1,d) eq f(1,c)0，又ab0，故由不等式的性质可知 eq f(a,d) eq f(b,c)0.两边同乘1，得 eq f(a,d)b，则下列不等式一定成立的是()Aacbc B(ab)c20Cacbc D eq f(b,a) eq f(bc,ac)答案B解析由a，b，cR，且ab，得ab0，又c20，所以(ab)c20.故选B.4比较两数的大小： eq r(7) eq r(10)_ eq r(3) eq r(

6、14).答案解析( eq r(7) eq r(10)2172 eq r(70)，( eq r(3) eq r(14)2172 eq r(42)，( eq r(7) eq r(10)2( eq r(3) eq r(14)2， eq r(7) eq r(10) eq r(3) eq r(14).5已知实数a(3，1)，b eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)，f(1,4)，则 eq f(a,b)的取值范围是_答案(24，8)解析当3a0时， eq f(a,b)(24，0；当0a1时， eq f(a,b)(0，8).综上可知， eq f(a,b)的取值范围是(24，8).1(202

7、1新高考卷)已知alog52，blog83，c eq f(1,2)，则下列判断正确的是()Acba BbacCacb Dabc答案C解析alog52log5 eq r(5) eq f(1,2)clog82 eq r(2)log83b，即acb.故选C.2(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0ab答案B解析alog0.20.3，blog20.3， eq f(1,a)log0.30.2， eq f(1,b)log0.32， eq f(1,a) eq f(1,b)log0.30.4，0 eq f(1,a) eq f(1,b)

8、1，即0 eq f(ab,ab)0，b0，ab0，abab0.故选B.一、基础知识巩固考点比较数(式)的大小例1若a eq f(ln 3,3)，b eq f(ln 4,4)，c eq f(ln 5,5)，则()Aabc BcbaCcab Dbac答案B解析解法一：易知a，b，c都是正数， eq f(b,a) eq f(3ln 4,4ln 3)log81641，所以ab； eq f(b,c) eq f(5ln 4,4ln 5)log62510241，所以bc，即cba.解法二：构造函数f(x) eq f(ln x,x)，则f(x) eq f(1ln x,x2)，易知当xe时，函数f(x)单调递减

9、因为e345，所以f(3)f(4)f(5)，即cba.例2若a0，b0，则p eq f(b2,a) eq f(a2,b)与qab的大小关系为()Apq Dpq答案B解析解法一(作差法)：pq eq f(b2,a) eq f(a2,b)ab eq f(b2a2,a) eq f(a2b2,b)(b2a2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b) eq f(（b2a2）（ba）,ab) eq f(（ba）2（ba）,ab)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pq.综上，pq.故选B.解法二(特殊值排除法)：令ab1，则pq2，排除A

10、，C；令a1，b2，则pq，排除D.故选B.1.设a，b0，)，A eq r(a) eq r(b)，B eq r(ab)，则A，B的大小关系是()AAB BABCAB答案B解析A0，B0，A2B2a2 eq r(ab)b(ab)2 eq r(ab)0，AB.2已知x0，y0，M eq f(x2,x2y)，N eq f(4（xy）,5)，则M和N的大小关系为()AM N BM0，y0，所以MN eq f(x2,x2y) eq f(4（xy）,5) eq f(x24xy8y2,5（x2y）) eq f(（x2y）24y2,5（x2y）)0，即M N.3若a1816，b1618，则a与b的大小关系为

11、_答案ab解析 eq f(a,b) eq f(1816,1618) eq blc(rc)(avs4alco1(f(18,16) eq sup15(16) eq f(1,162) eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,8) eq sup15(16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(2) eq sup15(16) eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,8r(2) eq sup15(16)， eq f(9,8r(2)(0，1)， eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,8r(2) eq sup15(16)0，16180，18161618，即aN

12、解析解法一：MN eq f(e20201,e20211) eq f(e20211,e20221) eq f(（e20201）（e20221）（e20211）2,（e20211）（e20221）) eq f(e2020e20222e2021,（e20211）（e20221）) eq f(e2020（e1）2,（e20211）（e20221）)0.M N.解法二：令f(x) eq f(ex1,ex11) eq f(f(1,e)（ex11）1f(1,e),ex11) eq f(1,e) eq f(1f(1,e),ex11)，显然f(x)是R上的减函数，f(2020)f(2021)，即MN.比较大小的

13、五种常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论注意两式的符号(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较(4)不等式的性质法(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论考点不等式的性质例3已知a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb20答案A解析由cba且ac0，知c0.由bc，得abac一定成立例4设ab1，c eq f(c,b)

14、；acloga(bc).其中所有正确结论的序号是()A BC D答案D解析由不等式的性质及ab1，知 eq f(1,a) eq f(1,b)，又c eq f(c,b)，正确；构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确5.设ab0，则下列不等式中不成立的是()A eq f(c,a) eq f(c,b) B eq f(c,ab) eq f(c,a)C|a|cbc D eq f(r(a),c) eq f(r(b),c)答案B解析由题设得aab0，所以 eq f(1,ab) eq f(1,a)，又c0，所以 eq f(c,ab)b，则下列不等式恒

15、成立的是()A(ac)4(bc)4Bac2bc2Clg |bc| eq f(1,3)(bc)答案D解析当ab，ac与bc为负数时，由0acbc，得0(ac)(bc).所以0(ac)4(bc)4，即(ac)4b，得acbc，当ac，bc均为负数时，|ac|bc|，即lg |ac|xyz.(1)若教师人数为4，则4yx8，当x7时，y取得最大值6.(2)当z1时，1zyx2，不满足条件；当z2时，2zyx4，不满足条件；当z3时，3zyx6，y4，x5，满足条件所以该小组人数的最小值为34512.例6(1)已知1x4，2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_答案(4，2)(1，18)解

16、析1x4，2y3，3y2，4xy2.由1x4，2y3，得33x12，42y6，13x2y18.(2)将本例(1)中的条件改为1xy4，2xy3，求3x2y的取值范围解设3x2ym(xy)n(xy)，则 eq blc(avs4alco1(mn3，,mn2，) eq blc(avs4alco1(mf(5,2)，,nf(1,2)即3x2y eq f(5,2)(xy) eq f(1,2)(xy)，又1xy4，2xy3， eq f(5,2) eq f(5,2)(xy)10，1 eq f(1,2)(xy) eq f(3,2)， eq f(3,2) eq f(5,2)(xy) eq f(1,2)(xy) e

17、q f(23,2)，即 eq f(3,2)3x2ybc，2abc0，则 eq f(c,a)的取值范围是()A3 eq f(c,a)1 B1 eq f(c,a) eq f(1,3)C2 eq f(c,a)1 D1 eq f(c,a)bc，2abc0，所以a0，cbc，所以2acc，解得 eq f(c,a)3，将b2ac代入bc中，得2acc，即ac，得 eq f(c,a)1，所以3 eq f(c,a)1.8已知0 eq f(,2)，则的取值范围是_答案 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)解析0 eq f(,2)， eq f(,2)0，又0 eq f(,2)， eq f(,2

18、) eq f(,2)，又0，即00，y0，z0，证明：1 eq f(x,xy) eq f(y,yz) eq f(z,zx)b，则 eq f(1,a)b，则a2b2C若ab，cbdD若ab，cd，则acbd答案C解析对于A，若ab，则 eq f(1,a)b，则a2b2，取a0，b1不成立；对于C，若ab，cbd，正确；对于D，若ab，cd，则acbd，取a1，b1，c1，d2不成立故选C.2已知a，b，c均为实数，且ab，则下列不等式一定成立的是()Aa2b2 B eq f(1,a)ln 2b Dac2bc2答案C解析a，b，cR，且ab，不妨令a1，b1，则12(1)2，可排除A； eq f(

19、1,1) eq f(1,1)1，可排除B；102(1)020，可排除D；当ab时，由指数函数y2x单调递增可知，2a2b0，又因为对数函数yln x在(0，)上单调递增，所以ln 2aln 2b成立故选C.3(2021重庆南开中学月考)已知a，b均为实数，则下列说法一定成立的是()A若ab，cd，则abcdB若 eq f(1,a) eq f(1,b)，则abC若cba，且ac0，则ac2bc2D若|a|0答案D解析对于A，不妨令a1，b2，c4，d1，显然满足ab，cd，但不满足abcd，故A不成立；对于B，不妨令a1，b1，显然满足 eq f(1,a) eq f(1,b)，但不满足ab，故B

20、不成立；对于C，因为ac0，又因为ba，所以bc2ac2，故C不成立；对于D，若|a|0，即ba，所以ab0，故D一定成立故选D.4(2021安徽六安省示范高中质量检测)已知实数a，b，c满足abc，且ab eq f(a,c) Ba(cb)bc2 Dab(ba)0答案B解析因为abc，且ab0，所以a0b0，a0，可得a(cb)0，B正确；取a1，b1，c2，则 eq f(a,b) eq f(a,c)，ac2bc2，ab(ba)0，即A，C，D都不正确故选B.5已知aR，pa24a5，q(a2)2，则p与q的大小关系为()Apq BpqCpq答案D解析因为pqa24a5(a2)210，所以pq

21、.故选D.6若11，则下列各式中恒成立的是()A20 B21C10 D11答案A解析11，11，11，0，20.7(2022陕西西安中学月考)若bc，则()A|b|2cClg (cb)0 Db3c30答案D解析对于A，当b|c|，A错误；对于B，因为bc，且y2x在R上单调递增，所以2b2c，B错误；对于C，当b10，C错误；对于D，因为bc，所以b3c3，即b3c30，D正确故选D.8(2021辽宁丹东阶段测试)已知a，b都是正数，则“loga33b3”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由loga3logb3，得0ba1或0a1b1，由3a3b3

22、，得ab1，“loga33b3”的必要不充分条件故选B.二、多项选择题9已知a1，0cb1，则下列不等式正确的是()Aabac B eq f(c,b) eq f(ca,ba)Clogbalogca D eq f(b,ba) eq f(c,ca)答案ACD解析由a1，0cb1，可得abac，故A正确；由a1，0cb1，可得 eq f(c,b) eq f(ca,ba) eq f(cbcabcba,b（ba）) eq f(a（cb）,b（ba）)0，则 eq f(c,b) eq f(ca,ba)，故B错误；由a1，0cb1，得logaclogab0，则 eq f(1,logab) eq f(1,lo

23、gac)0，所以logbalogca，故C正确；由a1，0cb1，得 eq f(b,ba) eq f(c,ca) eq f(bcbacbca,（ba）（ca）) eq f(a（bc）,（ba）（ca）)0，所以 eq f(b,ba) eq f(c,ca)，故D正确故选ACD.10已知a，b为正实数，则下列命题正确的是()A若a2b21，则ab1B若 eq f(1,b) eq f(1,a)1，则ab1C若eaeb1，则ab1D若ln aln b1，则ab1答案AC解析对于A，当a2b21，即(ab)(ab)1时，a0，b0，0abab，ab1，故A正确；对于B，当 eq f(1,b) eq f(1,a)1时，不妨取a3，b eq f(3,4)，则ab eq f(9,4)1，故B错误；对于C，由eaeb1，可得eabbebeb(eab1)1，b0，eb1，eab11，即eab2，abln 2ln e1，故C正确；对于D，不妨取ae2，be，则abe2e1，故D错误故选AC.三、填空题11给出下列四个条件：b0a；0ab；a0b；ab0，其中能推得 eq f(1,a) eq f(1,b)成立的是_答案解析 eq f(1,a) eq f(1,b