题型48 一类貌似神离的不等式求最值

1、题型48一类貌饵神离的系等式求景值【方法点拨】.以+ by =孙，求znr+y的最值型（其中。、b m 均为正数）.此类问题应归结为“知和求和”型，解决的策略是利用常数代换，即将“1”将与所求 进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解；也可用“权方和 不等式”求解.依+ y + c孙+ d = 0,求+4的最值型.此类问题应采取“强分”的方法，即将以+ /?y + cxy + d = 0分解为（ex+/）（gy + /z） = 然后直接使用基本不等式求解为最简单途径.说明:关键要分清题设的条件的不同，根据不同的“结构特征”寻找解题的突破口，决不 要张冠李戴【典型题例如】

2、例1 x0,y0,x+y =冲，求2x+y的最小值.【答案】3 + 2攻【解析一】对x+y =冲两边同时除以孙得 + = 1 x y2x+y =（2x+y - + - U + + 32 U+3 = 272 + 3 （等号成立条件略） yJ x y y即2x + y的最小值3 + 2/5.【解析二】（权方和不等式）对x+y =肛两边同时除以盯得一+工=1112x y2x+ y所以1=% y所以2尤+yZ3 + 20 （等号成立条件略） 即2x + y的最小值3 + 2，.说明:1.,w R+,那么有： +（当且仅当尤：y = G：扬时，等x y x+y号成立）.上式称为二元变量的权方和不等式，用

3、于“知和求和型”求最值.X2.此类问题还可以通过消元以到达减元的目的来求解，由丁 = ，再代入到所求表 x 达式，求出最值即可，但要注意X的范围需由y0缩定.例2 x0,y 0,2x + y +孙=4 ,求2x+ y的最小值.【解析】因为 2x+y + p =（2x+A7）+ y =（2 + y）x+y =（2+y）x+（y + 2）-2= （x+l）（y + 2）-2所以 2x+y + q = 4=（x+l）（y + 2）= 6所以 2x+y = 2（x + l） + （y + 2） 42 2j2（x+l）（y + 2）4 = 4V5 4,即（2%+认尸6-4说明：4 . 2x此类问题还可以

4、通过消元以到达减元的目的来求解，由2x+y +盯= 4ny =,x + 14 2x再代入到所求表达式2%+y = 2% + F求出最值即可，但要注意X的范围需由y0缩定工（0,2）.【巩固训练】.正实数满足盯+ 2x+y = 4,那么x+）的最小值为714.。2/?0, a+b = ,那么+ 的最小值为.a-2b b的三等分点的三等分点.如图，三角形ABC中，AB =1, AC = 2 9假设点M为线段AMAM（靠近B点），那么16K?的最小值为J.l/ DC1X V.0, b3 且x+y = l那么+ 的最小值是x+2 y+1X V.0, b3 且x+y = l那么+ 的最小值是x+2 y+

5、1x v5,xl, y 1,那么1的最小值是.y-1 11 a.0, /?0,且 + = 那么1的最小值是2a b + 114.xl, y 1, xy= 10,那么1的最小值是.Igx lg y.正数满足x + 2y = 2,那么上处的最小值为孙,X（0,3）,贝|y =生R + -L的最小值为.v 7x-3 2x1 9y.正实数x, y满足x+y=xy,那么;+;的最小值是1 y-121.。0, /?0,且1= 1,那么a + b的最小值是。+ 2 a + 2b【答案与提示】.【答案】23【提示】由孙+ 2+=4强分(+1)(丁 + 2)= 6即可.25.【答案】18【提示】权方和不等式【提

6、示】权方和不等式+ 一 +二5)2b a-2b 3b (a-2b) + 3b14112a-2b立得，或换元等.253.【答案】18 2 1 【解析】AM =-AB + -AB , 332 8 8=一+ cosa9 992_= 5 - 4cosa2114.【答案】-4255 4cosa 1 + cos a1+4cos a49【解析】9【解析】.(+ ，当 x+2 y+1 x+y+3 42 I,即 = , =时，等号成立.33.【答案】8【解析】令x+y-2 = /(/0)x【解析】y=2X* * * S *+ = 2 + x-3 2xx【解析】y=2X* * * S *+ = 2 + x-3 2

7、x y2 (工+才(z + 2)24y-l x-1 x+ y-2 t tx+y-2=2当 = 2,两个等号同时成立.y-1 x-1.【答案】-4. l a 11-h12-(l + Z?)14,角半析 1= 1=1= 112a b + 1 la b + l 2ab + la 2b+ 2(l + 2.52。+ 2b + 22a 2 +2b12a + 1人访7.【答案】：9【解析】Vxl,yl,盯=10,A lgx+lgy = l,且lgxO,lgy。L+.f(1 + V4)Igx Igy Igx + lgy- = 9,当且仅当尤=1。3时取“=力8.【答案】9【解析】 = + J_ = =一十回应)=9xy x y xx + 2y41 c+ 2 +6-2x 2x(6 - 2x) + 2x 2，+牝=上+牝_1 x-1 y- x-1 y-J- +1 1 1 1% y1 1(1)+(1)41当且仅当了 = ,y = ,等号成立.3379.【答案】一211.【答案】- + V2 221解