2022年上海高二数学教案直线点法向式方程教案1500字

1、上海高二数学教案：直线点法向式方程 教案 1500 字 ok3w_ads “s004 ”;ok3w_ads “s005 ”;111 （）直线方程 一、教学内容分析本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上,通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程 .引导同学发觉直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于 x、y 的一次方程 ax.by.c.0（a、b 不全为零）的形式 . 本节的难点是通过对直线与二元一 次方程关系的分析,初步熟悉曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培育同学用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的争论才

2、能. 二、教学目标设计在懂得直线方程的意义,把握直线的 点方向式方程的基础上,进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类争论、数形结合等数学思想,形成探究能力. 三、教学重点及难点直线的点法向式方程以及一般式方程； 四、教学流程设计二、讲授新课（一）点法向式方程 1、概念引入从上一堂课的教学中,我们知道,在平面上过一已知点P,且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的同样在平面上过一已知点P,且与某一方向垂直的直线 l 也是惟一确定的2、概念形成直线的点法向式方程在平面上过一已知点 P,且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的 .建立直角坐标平面,设 P 的坐标是x0,y0 . n,方向用非零向

3、量.a,b表示 . 直线的点法向式方程的推导.Q.n.依据 PQ.n 的设直线 l上任意一点 Q 的坐标为 x,y ,由直线垂直于非零向量 n,故P 充要条件知 .0,即：一解,即ax.x0.by.y0.0 ,记；反之,如x1,y1 为方程的任意,即ax1.x0.by1.y0.0 x1,y1 为坐标的点为Q1 ,可知. PQ1.n Q1 在直线 l 上.综上,依据直线方程的定义知,方程是直线l 的方程,直线 l 是方程的直线. 我们把方程ax.x0.by.y0.0 . ln 叫做直线的点法向式方程,非零向量叫做直线 l 的法向量 . 3、概念深化从上面的推导看,法向量 n 是不唯独的,与直线垂

4、直的非零向量都可以作为法向量 . 如直线的一个方向向量是 u,v,就它的一个法向量是v,.u. 4、例题解析,2.,B.3,4.,求 AB 的垂直平分线l 的点法向式方程. 例 1 已知点 A.1 AB 的中解由中点公式,可以得到点坐标为 .1,3.,. AB.4,2.是直线 l 的法向量,所以,AB 的垂直平分线 l 的点法向式方程 .4.x.1.2.y.3.0 说明 关键在于找点和法向量！例 2已知点 A1,6,B.1,.2 和点 C6,3是三角形的三个顶点,求（1）BC 边所在直线方程；（2）BC 边上的高 AD 所在直线方程 . 解（1）由于 BC 边所在直线的一个方向向量（ 7,5）

5、,且该直线经过点 在直线的点方向式方程为x.1y.2 B.1,.2,所以 BC 边所. 5 7 （2）由于 BC 边上的高 AD 所在的直线的一个法向量为BC（ 7,5）,且该直线经过点A1,6 ,所以高 AD 所在直线的点法向式方程为7x.1.5y.6.0 、巩固练习练习 11.1（ 2） （二） 一般式方程 1、概念引入由直线的点方向式方程和点法向式方程,我们可以发觉,平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程表示；那么每一个关于 x,y 的二元一次方程ax.by.c.0（a,b 不同时为 0）是否都表示一条直线呢？2、概念形成直线的一般式方程的定义直线的点方向式方

6、程和直线的点法向式方程经过整理,成为x,y 的二元一次方程ax.by.c.0. 反 之 , 任 意 二 元 一 次 方 程ax.by.c.0a,b 不全为 0都是直线方程么？回答是确定的 .首c ax.by.0 b 先,当 b.0 时,方程可化为,依据直线点法向式方程可知,这是过点 c 0,. b,以 a,b为一个法向量的直线；当 b.0 时,方程为 ax.c.0,由于 a.0,方程x. 化为cc .,0 a,表示过点 a 且垂直于 x 轴的直线 . 所以二元一次方程ax.by.c.0a,b 不全为 0是直线的方程,叫做直线的一般式方程 . 、例题解析例 1 .ABC 中,已知 A.1,2 、

7、B3,4 ,求 AB 边的中垂线的一般式方程 . . 解直 线 过AB中 点D1,3 ,n.AB.4,2 ,就其点法向式方程为4x.1.2y.3.0,整理为一般式方程2x.y.5.0. 说明 点法向式方程化为一般式方程 . 例 2（1）求过点 A.2,5 且平行于直线（ 2）求过点 B3,.4 且垂直于直线解（1）解一：l1:4x.3y.9.0 的直线方程；l2:3x.7y.6.0 3,4 的直线方程 . .n.4.,3d,. ,又直线过点 A.2,5 ,故直线的方程为4x.2.3y.5化简得 4x.3y.23.0. . 解二： n.4,.3,又直线过点 A.2,5 ,故直线的点法向式方程为4

8、x.2.3y.5.0 化简得 4x.3y.23.0. 解三：设与l1:4x.3y.9.0 线过点 A.2,5 故平行的直线方程为 4x.3y.c.0,又直4.2.3.5.c.0, c.23,所以直线的方程是 4x.3y.23.0. （2）解一： 1 的法向量l . n1.3,7 为所求直线的方向向量,又直线过点B3,.4,故直线的方程 为7x.3.3y.4化简得7x.3y.33.0. 解二：设与l2:3x.7y.6.0 线过点 B3,.4故垂直的直线方程为 7x.3y.c.0,又直7.3.3.4.c.0, c.33,所以直线的方程是 7x.3y.33.0. 说明 一般地,与直线 ax.by.c

9、.0 平行的直线可设为ax.by.c.0其中 c.c ；而与.直线 ax.by.c.0 垂直的直线可设为bx.ay.c.0. 例 3 能否把直线方程 2x.3y.5.0 化为点方向式方程？点法向式方程？如能,它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯独？并观看 和法向量有什么联系？x、y 的系数与方向向量x.1y.1x.1y.1x.2 .323.2.3解：、 、2x.1.3y.1.0、4（x+4）+6y- 1=0 能够化成点方向式的形式,并且有无数个！y.2 1 x.4y.1 .64 、全部的方向向量之间存在：一个非零 实数 .,使得易得点法向式方程也是不唯独的,并且有很多个！d1.d2.3,.2

10、.；. 全部的法向量之间存在：一个非零实 数.,使得n1.n2.2,3. . 变式：直线 ax.by.c.0 的方向向量可 以表示为 .b,.a. 直线 ax.by.c.0 的法向量可以表示为 .a,b. 说明 留意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系. 三、巩固练习练习11.1（3） 补充练习1、（1）如直线过两点 Aa,0,B0,b ,就 a,b 分别叫做该直线在 AB 的方程；x,y 轴上的截距 .当 ab.0 时,求直线（2）如过点 P4,.3的直线 l 在两坐标轴上截距相等, 求直线 l 的方程 . 2、 已知直线 l 过点 P.2,3 且与 x,y 轴分别交于 A,B

11、 两点 . .（1）如 P 为 AB 中点,求直线 l的方程；（2）如 P 分 AB 所成的比为 .2,求 l 的方程 . 3、已知直线 l 的方程为：a.2x.1.2ay.4.3a.0常数 a.R （1）求证 :不论 a 取何值,直线 l 恒过定点；（2）记（ 1）中的定点为 P,如 l.OP（O 为原点）,求实数 a 的值 . 4、.ABCD 中,三个顶点坐标依次为A2,.3 、B.2,4、C.6,.1,求（ 1）直线 AD 与直线 CD 的方程；（2）D 点坐标 . 5、过点 P.5,.4作始终线 l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 个单位面积,求直线 l 的方程 .

12、 6、已知两直线a1x.b1y.1.0 和a2x.b2y.1.0 都通过 P2,3,求证：经过两点Q1a1,b1 ,Q2a2,b2 的直线方程是 2x.3y.1.0. 四、课堂小结 .直线的点法向式方程和一般方程 的推导；直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的相互之间的联系 . 、确定直线方程的几个要素五、课后作业习题 11.1 A 组 5,6,7；B 组 3,4 习题 11.1 A 组 8 补充作业：直 线 3x.y.2.0 的 单 位 法 向 量 是_. 直线 l 的一般式方程为 2x.3y.7.0,就其点方向式方程可以是 _. _. _；点法向式方程可以是过 P4,.3且垂直 y 轴的直线方程是如直线 2.mx.my.3.0 的法向量恰为直线 x.my.3.0 的方向向量,求实数 m 的值 . 已知点 P2,.1及直线 l:3x.2y.5.0,求：（1）过点 P 且与 l 平行的直线方程；（2）过点 P 且与 l 垂直的直线方程. 的顶点A 的坐标为正方形ABCD.4,0,它的中心 M 的坐标为 0,3 ,求正方形两条对角线AC,BD 所在的直线方程 . 已 知 A,B,C 的 坐 标 分 别 为1,3,b,0,0,c ,其中b,c 均为正整数,问过这三点的直