高光谱遥感数据处理基础

1、泛函分析概括高光谱遥感应用中，如何度量光谱间的相似性一直高光谱图象处理的核心问 题，因而我们有必要先交代下度量空间的一些概念。度量空间:所谓度量空间，就是指对偶(X,d)，其中X是一个集合，d是X上 的一个度量(或X上的距离函数)，即d是定义在X X X上且对所有x,y,z e X满 足以下四条公理的函数：d是实值、有限和非负的。当且仅当x = y时，d(x,y) = 0。 d (x, y) = d (y, x)(对称性)。 d(x,y) d(x,z) + d(z,y)(三角不等式)。度量空间给出来空间中元素“距离”的度量，因而使得空间中的元素可比较。 但是，仍需要在空间中引入代数结构，使得元

2、素之间可进行代数运算。因而，这 里需要引入线性空间。线性空间：所谓域K(R或C)上的线性空间是指一个非空集合X，且其元素 x,y,(称为矢量)关于X和K定义了两种代数运算。这两种运算分别叫做矢 量的加法与标量的乘法。 矢量的加法是，对于X中的每一对矢量(x,y)，与其相联系的一个矢量x+y， 叫做矢量之和。按这种方式它还具有下述性质：矢量加法是可交换的和可结合的， 即对所有矢量都有x+y = y+xx + (y + z) = (x + y) + z此外存在零矢量0 e X,并对每个矢量x，存在有一x，使得对一切矢量有x + 0 = xx + (-x) = 0矢量与标量的乘法是，对于每个矢量x和

3、每个标量a，与其相联系的一个矢 量a x，叫做a与x之积。按这种方式对一切x,y和标量a, P,具有以（P x）=（以。）x1x = x和分配律a （x + y） = a x + a y（a + P ）x = a x + P y在很多情况下因为线性空间X上定义了度量d，所以X同时也是一个度量 空间。然而，如果X的代数结构与度量没有什么关系的话，我们就不能指望把 代数的概念和度量的概念结合在一起。为了保证X的代数性质与几何性质有如 此的关系，我们首先需要引入一个辅助的所谓“范数”的概念，其中要用到线性 空间的代数运算。然后再用范数诱导出我们希望的度量d，这一想法就导出了赋 范空间的概念。简单的说

4、，赋范空间把线性空间的代数结构和其作为度量空间的 度量紧密结合在一起。赋范空间:所谓赋范空间X，就是指在其上定义了范数的线性空间X。而所 谓线性空间X上的范数，就是指定义在X上的一个实值函数，它在xeX的值记 为|x|，并且具有如下性质：（1）|牛 0（2）倒=0。x = 0（3）x| = |a|x|（4）|x + y| |x| + |y|其中x,y是X中的任意矢量，a为任意标量。巴拿赫空间：所谓巴拿赫空间就是完备的赋范空间（这里的完备性是按范数 定义的度量来衡量的，见下面公式）d （x, y） = |xy|x, y e X此度量叫做由范数所诱导的度量。由范数所诱导的度量具备以下基本性质：引理

5、（平移不变性）：在赋范空间X上，由范数诱导的度量d，对所有的x, y e X及每个标量a，都满足d (x+a, y+a) = d (x, y) d (a x,a y) = |a| d (x, y)在赋范空间中和初等线性代数一样，可以对矢量进行相加和标量相乘的运 算。此外空间上的范数推广了矢量长度的概念。而希尔伯特空间则把矢量的内积 引入到线性空间中来，使得空间中的元素具有正交性。内积空间：所谓内积空间就是在其上定义了内积的线性空间X。这里所指 的X上的内积，是X XX到X的标量域K的一个映射；也就是说针对X中的每 一对矢量x,y，都有一个标量，记之为 x,y 与之对应。这个标量叫做x和y的 内

6、积，并且对所有的矢量x,y,z e X和标量a，都满足（1）= + （2）=a （3）=（4） 0,= 0 = x = 0希尔伯特空间：所谓希尔伯特空间就是完备的内积空间(以内积所定义的度 量来考察完备性，见下面公式)。X上的内积通过|x| = * x, x ，d(x, y) = |x - y| =、： x - y,x - y 分别在X定义了范数和度量。因此，内积空间是赋范空间，而希尔伯特空间是 巴拿赫空间。但并不是所有的赋范空间都是内积空间，因为并不是所有的范数多 可以由内积来得到，可以证明内积空间上的范数满足重要的平行四边形等式：Ilx + y|2 + |x - y|2= 2(| x|2

7、+ |y| |2)由于高光谱遥感图象的特征空间为有限维欧几里德空间，我们这里给出其性 质。（1.1.1）欧几里德空间R ：空间Rn具有内积= x y + x y + + x y1 12 2n n的希尔伯特空间，其中x = (x ,x , ,x )，y = (y , y , , y )。由此内积可以诱导12n12n出范数HXI =12 = (xi + x2 + X2)12(1.1.2)由此得到欧几里德度量.d(x,y) = 1 lx-y| = (x - y )2 + + (x - y )2%11n n常用的相似性度量主要有：.欧几里德距离：d = llx-y| = (x - y )2 + (x - y )2%xy11n n内积：= xt y = x y + x y + + xy1 12 2n n（3）角度:=ar cosxt yMM（4）相似系数：cos0=片hilly I相关系数：r =qjHxy llx-七1”四（6） 绝对距离：d =X|x.-y.|=1（7）明斯基距离：d = X|x-y.F%i = 1（8） 切比雪夫距离 :d = max |x y |xy S 在上面的度量公式中，欧氏距离与内积相协调，共同