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文档简介

1、厄密多项式厄密多项式附加有限性条件得到了 H()的 一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为 Hn()，于是总波 函数可表示为：由上式可以看出，Hn() 的最高次幂是 n , 其系数是 2n。归一化系数Hn() 也可写成封闭形式： = 2n+1下面给出前几个厄密多项式具体表达式： H0=1 H1=2H2=42-2 H3=83-12H4 = 164-482+12 H5=325-1603+120 可导出厄密多项式的递推关系：应 用 实 例例：已知 H0 = 1, H1=2，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2H1-2H0 = 42-2求归一化系数(I)作变量代换，因为=x，所以d= dx；

2、(II)应用Hn()的封闭形式。 ( 分 部 积 分 )该式第一项是一个多项式与 exp-2 的乘积，当代入上下限=后，该项为零。因为Hn的最高次项n的系数是2n，所以dnHn /dn = 2n n!。则谐振子波函数为：重复n-1次分部积分级数解我们以级数形式来求解(根据)。 为此令：用 k 代替 k即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(-1) = 0 从而导出系数 bk 的递推公式：该式对任意都成立，故同次幂前的系数均应为零，由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 (I) =0 exp-2/2|=0 = 1 H k()|=0 = b0 皆有限(II) 需要考虑无穷级数H()的收敛性为此考察相邻 两项之比：因为H()是一个幂级数，故应考虑它的收敛性。考虑一些特殊点，即势场有跳跃的地方以及x=0, x 或=0, 。应用标准条件单值性和连续性二条件自然满足， 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。考察幂级数exp2的 展开式的收敛性比较二级数可知：当时， H()的渐近行为与exp2相同。所以总波函数有如下发散行为：为了满足波函数有限性要求，幂级数 H() 必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求 H() 从某一项（比如第 n 项）起以后各项的系数均为零，即 bn

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