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1、本征值和本征函数本征值和本征函数 令 的本征函数为 ，对应的本征值为 ，写出本征方程由此可得 有非零解的条件 由此得 即 的本征值为 对应 得 利用归一化条件 得 取 （实际取 中的相角 ） 所以 同理 二者正交（29） （30） 且构成电子自旋态的一组正交归一完备系，电子的任意自旋态均可以它们为基矢展开 注意以下几个问题： （1） 表象中， 的本征值和本征函数 本征值不随表象而变化，可见 的本征值均为 相应的本征函数为 （31） （32） 它们可用 的本征函数来展开（2）利用球坐标系分析任意方向 上的投影算符 的本征函数 求解本征方程 容易得到 即本征值也为 取 则 利用第二式 得 利用归一

2、化条件得 取 则 于是得 同理可得 当 时 可得 当 时 可得 显然 的本征函数可以用 的本征函数展开 由此可以看出，在 态中，出现 的本征值为 的概率为 ，本征值为 的概率为 。 （3）任意表象中的本征值和本征函数例如，在 表象中，可利用以下算符的本征方程求解本征值和本征函数事实上，将 表象结果通过坐标轮换即可： 可自行证明 考虑到自旋问题，任意状态波函数都应是二分量形式，所以对波函数运算的算符都应该是 矩阵。为此，只要将过去的算符乘以一个 的单位矩阵即可以了。如 任意算符 在 态中的平均，必须考虑矩阵和坐标两种运算 （33） （34） 对自旋求平均 对坐标和自旋同时求平均 例 证明 并在

3、态中求 解： 还可证明 例 在氢原子的 态中，求轨道角动量 的 分量 的平均值解： 因 所以 因为 所以 关于 在 表象中的具体形式，可根据算符的厄米性， 设利用 可得于是 这样 写成 （21） （22） 由于 的本征值为1 所以 则 令 （ 为实数） 这样类似可得 利用 可得 单位矩阵 （23） （24） 即有 由于 和 之间有一个相角不定性（相当于取定 轴 后， 轴取向并未取定，只确定了 轴之间的关 系），习惯上取 从而可得，在 表象中，泡利矩阵的标准形式为 在 表象中，自旋算符矩阵表示的标准形式为 （25） （26） 注意以下两点：（1） 只是 在三个特殊方向上的投影，若以 表示 在任意方向 （方向余弦是 ） 的投影，则（2

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