新教材新高考一轮复习人教B版 高考小题突破练　立体几何与空间向量 作业

1、高考小题突破练立体几何与空间向量(教师用书独具)一、选择题1已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F是线段AC1上的点，且AEEFFC1，分别过点E，F作与直线AC1垂直的平面，则正方体夹在平面与之间的部分占整个正方体体积的()Aeq f(1,3)Beq f(1,2)Ceq f(2,3) Deq f(3,4)解析：选C如图所示，过点E，F且与直线AC1垂直的平面分别为平面A1BD，平面CB1D1，设正方体的棱长为1，则VABDA1VC1CB1D1eq f(1,6)，则正方体夹在这两个平面之间的体积为12eq f(1,6)eq f(2,3)，故占整个正方体体积的eq f(2,3)，故选C2祖暅

2、是南北朝时代的伟大科学家，于5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图，图，图分别是圆锥、圆台和半球则满足祖暅原理的两个几何体为()A BC D解析：选D设截面与底面间的距离为h，则中截面圆环的面积为(R2h2)；中截面圆的半径为Rh，截面圆的面积为(Rh)2；中截面圆的半径为Req f(h,2)，截面圆的面积为eq blc(rc)(avs4alco1(Rf(h,2)2；中截面圆的半径为eq r(R2h2)，截面圆的面积为(R2h2

3、)所以中的几何体在等高处的截面的面积恒等，故选D3如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB1，若二面角C AB C1的大小为60，则点C到平面C1AB的距离为()A1 Beq f(1,2)Ceq f(3,4) Deq f(r(3),2)解析：选C取AB的中点O，连接OC和OC1(图略)，根据二面角的定义，则COC160.由题意得OCeq f(r(3),2)，所以CC1eq f(3,2)，OC1eq r(3).设点C到平面C1AB的距离为h，易知V三棱锥CABC1V三棱锥C1ABC，即eq f(1,3)eq f(1,2)1eq r(3)heq f(1,3)eq f(1,2)1eq f(r(3

4、),2)eq f(3,2)，解得heq f(3,4).故点C到平面C1AB的距离为eq f(3,4).4在四面体ABCD中，ABADBCCDBD2，平面ABD平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为()Aeq f(20,3) B6Ceq f(22,3) D8解析：选AABADBCCDBD2，ABD与BDC均为边长为2的正三角形过正三角形BDC的中点O1作OO1平面BDC(O为四面体ABCD的外接球的球心)(图略)设M为BD的中点，外接球的半径为R，连接AM，CM，OA，过O作OGAM于点G，易知G为ABD的中心，则OO1OGMO1MG.MAeq f(r(3),2)2eq r(3)，MGO

5、Geq f(1,3)eq r(3)eq f(r(3),3)，GAeq f(2r(3),3).在直角三角形AGO中，GA2GO2OA2，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(3),3)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)2R2，R2eq f(5,3)，四面体ABCD的外接球的表面积S4R2eq f(20,3).故选A5在四面体ABCD中，ABeq r(3)，其余各条棱长均为2，则四面体ABCD外接球的表面积是()Aeq f(52,9) Beq f(25,9)Ceq f(25,36) Deq f(13,9)解析：选A如图，分别取相对棱AB，CD的中点E，F

6、，连接EF，AF，易知EF是线段AB，CD的公垂线，EFeq r(AF2AE2)eq f(3,2).则四面体ABCD的外接球球心在EF上，设球心为O，连接OA，OC设OEx，则OFeq f(3,2)x，OA2AE2OE2x2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)2x2eq f(3,4)，OC2OF2FC2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x)21.则x2eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x)21，解得xeq f(5,6).故OA2x2eq f(3,4)eq f(52,36)eq f(13,9).于是四面体ABCD外

7、接球的表面积是4eq f(13,9)eq f(52,9).故选A6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，点N在侧面ADD1A1内，若BMA1N，则ABN面积的最小值为()Aeq f(r(5),5) Beq f(2r(5),5)C1 D5解析：选B如图所示，取DD1的中点M，连接AM，易知AMBM.取AD的中点P，连接A1P，则在正方形ADD1A1中，A1PAM，即A1PBM.所以点N的轨迹为线段A1P.易知ABN为直角三角形，当NAA1P时，AN取最小值为eq f(2r(5),5)，此时ABN面积最小，最小值为eq f(2r(5),5)，故选B7已知正方形ABCD的边

8、长为2eq r(2)，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如图所示的三棱锥BACD若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BNCM.设BNx，则三棱锥NAMC的体积yf(x)的函数图像大致是()解析：选B由四边形ABCD为正方形可知，ABBC由平面ABC平面ACD，且O为AC的中点可知，BO平面ACD易知BO2，则三棱锥N AMC的高ON2x，SAMCeq f(1,2)MCADeq r(2)x，所以三棱锥N AMC的体积yf(x)eq f(1,3)eq r(2)x(2x)eq f(1,3)(eq r(2)x22eq r(2)x)(0 x2)，故

9、函数yf(x)的图像为开口向下的抛物线的一部分故选B8把一个球形的铁质原材料切割成一个正三棱柱形的工业用零件，若该正三棱柱形的零件的最大体积为8 cm3，则该球形铁质原材料的体积为()Aeq f(4,3) cm3 Beq f(8,3) cm3Ceq f(16,3) cm3 Deq f(32,3) cm3解析：选D设正三棱柱的外接球的半径为R cm，正三棱柱的高为h cm，底面正三角形的边长为a cm，则eq f(1,4)h2R2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)a)2，所以V正三棱柱eq f(r(3),4)a2eq r(4R2f(4,3)a2)eq f(1,2)a2e

10、q r(3R2a2)eq f(1,2) eq r(3R2a4a6)(cm3)令ta2，则t0，y3R2a4a6可化为yt33R2t2，则y3t(t2R2)，所以函数yt33R2t2在(0,2R2)上单调递增，在(2R2，)上单调递减，所以当t2R2，即aeq r(2)R时，正三棱柱的体积最大，此时有R38，即R2，所以该球形铁质原材料的体积为eq f(4,3)8eq f(32,3)(cm3)故选D二、选择题9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列结论中正确的是为()A直线AM与C1C是相交直线B直线AM与BN是平行直线C直线BN与MB1是异面直

11、线D直线MN与AC所成的角为60解析：选CD结合题图分析，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，连接D1C，AD1，(图略)直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边AD1C中，ACD160，所以直线MN与AC所成的角为60.综上，正确的结论为CD10已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是()A若mn，m，则nB若m，n，则mnC若m，m，则D若m，mn，n，则解析：选ACD易知A正确；对于B，若m不在平面内时，不一定推出mn，故B错误；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C正确；若m，mn，则n，又n

12、，则，故D正确故选ACD11如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AB4，BC2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是()AMN平面A1BDB平面MNB截长方体所得截面的面积为6eq r(2)C直线BN与B1M所成角为60D三棱锥N A1DM的体积为4解析：选ACD连接D1C(图略)，由MND1C，D1CA1B，得MNA1B，又MN平面A1BD，A1B平面A1BD，所以MN平面A1BD，故选项A正确；因为平面ABB1A1平面DCC1D1，所以平面MNB截长方体所得截面为平面MNBA1，易知MNA1B，故四边形MNBA1为梯形，又A1MBNMN2eq r(2)

13、，A1B4eq r(2)，可得梯形的高为eq r(2r(2)2r(2)2)eq r(6)，梯形的面积为eq f(2r(2)4r(2),2)eq r(6)6eq r(3)，故选项B不正确；取DC的中点H，连接BH，NH(图略)，则B1MBH，则NBH即为异面直线BN与B1M所成的角，在NBH中，BNBHNH2eq r(2)，所以NBH60，故选项C正确；易知NDM为等腰三角形，DMDN2eq r(5)，MN2eq r(2)，所以SNDMeq f(1,2)2eq r(2)3eq r(2)6，VNA1DMVA1NDMeq f(1,3)SNDMA1D1eq f(1,3)624，故选项D正确故选ACD1

14、2如图，梯形ABCD中，ADBC，ADAB1，ADAB，BCD45，将ABD沿对角线BD折起设折起后点A的位置为A，并且平面ABD平面BCD下面四个命题正确的是()AADBCB三棱锥ABCD的体积为eq f(r(2),2)CCD平面ABDD平面ABC平面ADC解析：选CD如图所示，设E为BD的中点，连接AE，因为ADBC，ADAB1，ADAB，所以DBCADB45，又BCD45，故BCD为等腰直角三角形，因为E为BD的中点，所以AEBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，则AE平面BCD，所以AEBC，如果ADBC，那么可得到BC平面ABD，故BCBD，与DBC45矛盾，故A错

15、误三棱锥ABCD的体积为Seq f(1,3)eq f(1,2)eq r(2)eq r(2)eq f(r(2),2)eq f(r(2),6)，故B错误因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CDBD，所以CD平面ABD，所以C正确在直角三角形ACD中，AC2CD2AD2，所以ACeq r(3)，在三角形ABC中，AB1，BC2，ACeq r(3)，满足BC2AB2AC2，所以BACA，又BADA，CADAA，CA平面ADC，DA平面ADC，所以BA平面ADC，又BA平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故D正确故选CD三、填空题13已知四面体ABCD中，平面ABD平面BCD，ABD是

16、边长为2的等边三角形，BDDC，BDCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为_.解析：由题意知CD平面ABD，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0,1，eq r(3)，C(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,0)，eq o(AC,sup6()(2，1，eq r(3)，eq o(BD,sup6()(0，2,0)，设异面直线AC与BD所成的角为，则cos eq f(|o(AC,sup6()o(BD,sup6()|,|o(AC,sup6()|o(BD,sup6()|)eq f(r(2),4)，所以异面直线AC

17、与BD所成角的余弦值为eq f(r(2),4).答案：eq f(r(2),4)14如图，矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQDQ，则a的值等于_.解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ.PA平面ABCD，PADQ，PQDQ，DQ平面PAQ，所以DQAQ.点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又在BC上有且仅有一个点Q满足PQDQ，BC与圆O相切，(否则相交就有两点满足垂直，矛盾)OQBC，ADBC，OQAB1，BCAD2，即a2.答案：215如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论：PBAE；平

18、面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)解析：对于，因为PA平面ABC，所以PAAE，又EAAB，PAABA，所以EA平面PAB，从而可得EAPB，故正确对于，由于PA平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故不正确对于，由于在正六边形中BCAD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故不正确对于，由条件易得PAD为直角三角形，且PAAD，又PA2ABAD，所以PDA45.故正确综上，正确答案：16已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长是1，P是棱BC的中点，过点A，P，C1的平

19、面截该正方体得到的多边形为，则的面积是_.解析：易知截面是菱形，且其两条对角线长分别是eq r(3)和eq r(2)，所以截面的面积是eq f(1,2)eq r(3)eq r(2)eq f(r(6),2).答案：eq f(r(6),2)17空间一点P到二面角l的两个面的距离分别是1和eq r(2)，到l的距离是2，则此二面角的大小是_.解析：设PA交于A，PB于交于B，则PA1，PBeq r(2)，PAl，PBl，又PAPBP，所以l平面PAB设平面PAB与l交于点C，则ACB为二面角l的平面角，连接PC，则PCl，PC2.在RtPBC中，PCB45. 图2在RtPAC中，PCA30.当P在ACB内部时，如图1所示，则ACB453075，当