概率论第三章 lwl2012

1、第三章 多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.2 边际分布与随机变量的独立性3.3 多维随机变量函数的分布3.4 条件分布3.1 多维随机变量及其联合分布若X1, X2,Xn是定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X1, X2,Xn) 是n维随机变量或随机向量.联合分布函数性质2.0 F(x,y) 11. F(x,y)是变量x,y的单调不减函数。对于任意y, x1x2, F(x1,y) F(x2,y)对于任意x, y1y2, F(x,y1) F(x,y2)4. F(x,y)关于x,y右连续。 二维离散型随机变量i, j =1,2, 定义：若X和Y 只可能取有限个或可数多个孤

2、立的值，他们的概率分布可表示为则称(X,Y)为二维离散型随机变量,上式为(X,Y)的联合分布律或联合分布列. 性质XYa1a2.ai.b1b2.bjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.例1. 一批产品中50%一等品，30%二等品，20%三等品。现从中有放回地抽取5件，以X和Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，求（X,Y）的分布。多项分布 若每次试验有r 种结果：A1, A2, , Ar记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, , r. p1 + p2+ pr =1记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.则 (X1, X2, , Xr)

3、的联合分布列为：回顾. 盒子里装有3个黑球，2个白球，2个红球，从中任取4个，以X、Y分别表示取到的黑球、白球的个数，求（X,Y）的分布。XY01230 1 2 0 03/352/35 06/3512/352/351/356/353/35 0多维超几何分布二维连续型随机变量定义：设（X,Y）是二维随机变量，如果存在一个非负的函数p(x,y)使得对于任意的实数x,y,有则称（X,Y）为二维连续型随机变量。函数p(x,y)称为（X,Y）的联合密度函数。性质设G为一平面区域，则(X,Y)落在G内的概率为概率P(x1X x2 ,y1Y y2)用分布密度p(x,y)如何表示？例1. 设(X,Y)的分布密

4、度是求 (1) C的值； (2)分布函数 (3)P(YX2)二维正态分布若二维随机变量（X,Y）具有概率密度, 则称(X,Y)服从参数为其中均为常数,且的二维正态分布.记3.2 边际分布与随机变量的独立性边际分布函数二维离散型随机变量的边际分布i, j =1,2, 设（X,Y）为离散型随机变量，则(X,Y)关于X、Y的边际分布列分别为XYa1a2.ai.b1b2.bjp11p21.pi1.p12p22.pi2.p1jp2j.pij.pip1p2 .pi .pjp1 p2 pj 1设（X,Y）的联合密度为p(x,y),则关于X和关于Y的边际密度函数分别为二维连续型随机变量的边际密度函数例1. 设

5、（X,Y）在区域G（0y2x,0 x 2)上服从均匀分布，求X、Y的边际密度 函数。例1. 已知随机变量X,Y 分布列如下,并且P(XY=0)=1,求P(X=Y)=_X-1 01Pk1/4 1/2 1/4Y 01Pk1/2 1/2随机变量的独立性 如果二维随机变量（X,Y）满足,对任意x,y有 则称X,Y相互独立 .离散型连续型例2 已知(X,Y)的分布如下，判断X、Y是否独立。XY1231231/31/61/901/61/9001/9例3 已知X、Y独立,完成下面表格。XY12p.j123pi.1/81/81/61例4. 设(X,Y)的联合分密度函数是求关于X、Y的边际密度函数，并判断X、Y

6、是否独立。求P(X0.5,Y0.5)例5. 从（0，1）中任取两个数，求（1）求两数之差大于0.5的概率；（2）两数之积小于1/4的概率。例6.设二维随机变量（X,Y）的分布密度为：求（X,Y）关于X,Y的边缘概率密度,并讨论X与Y的独立性。习题3.1 ：6(补充一问：证明X,Y相互独立）习题3.2：4, 13,152.袋中有5个大小形状相同的球，其中4个白球，1个红球。现甲、乙两人轮流随机取球，直到某人取出红球为止，设甲先取球。令X、Y分别为结束取球时甲、乙取球的次数。求(X,Y)的联合分布列，并判断X、Y的独立性。 离散型例1：设（X,Y）联合概率分布为：XY01-10 1 21/53/2

7、0 1/10 3/101/10 0 1/10 1/20求X+Y,XY的概率分布。3. 3 多维随机变量函数的分布例2：设X,Y相互独立，且分别服从证明：X+Y服从离散型卷积公式连续型随机变量函数的分布例1.若X与Y是两个独立的随机变量，都服从N(0,1)分布。求 的分布。分布函数法例2. 某系统由n个相互独立的元件A1,A2,An连接而成，其连接方式分别为：(1)串联;(2)并联。设Ai的寿命为Xi,且XiExp(),i=1,2,.,n.求两种系统S1, S2的寿命的密度函数。a1a2ana1.a2anS1 S2例2. 设（X,Y）的联合密度为p(x,y), 求Z=X+Y的密度函数。若X与Y独

8、立，则Z=X+Y的密度函数为连续型卷积公式例1. 若X与Y是两个独立的随机变量，都服从N(0,1)分布。证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。正态分布具有可加性例2. 若X与Y是两个独立的随机变量，都服从U(0,1)分布。求Z=X+Y的密度函数。关于二元函数联合分布的定理例3. 随机变量(X,Y)N(0,0,1,1,),记U=X+Y,V=X-Y,(1)求（U,V)的联合密度函数。(2）问U,V是否独立？例4. 设（X,Y）的联合密度为p(x,y),求U=XY的密度函数。例5.设（X,Y）的联合密度为p(x,y),求U=X/Y的密度函数。作业：习题3.3: 7，181. 随机变量X、Y独立，且均服

9、从参数为的指数分布，求Z=X+Y的概率密度函数。2. 在区间0，1上任取两点X、Y，1) 求两点间距离的分布。2) 求UMax(X,Y), V= Min(X,Y)的分布。 推广到随机变量 设有两个随机变量 X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.3.4条件分布考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 体重X身高Y 现在若限制1.7Y0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2, 联合分布边缘分布例1. 设袋中装有4个球，分别标有数字1，2，2，3，从袋中任取一球（其数字

10、记为X)之后不放回，再从袋中任取一球（其数字记为Y),求在X =2的条件下，Y 的条件分布律。b. 求在Y =2的条件下，X的条件分布律。例2.随机变量X,Y独立,且XP(1),YP(2),在已知X+Y=n的条件下，求X的条件分布。连续型随机变量的条件分布定义 对一切使 的y , 定义已知 Y=y下X 的条件密度函数为定义例1. 将长度为1米的棍子任意地分为两段，任意地选取一根再分为两段，求最后这两段中任意一段棍长的分布。例2. 求在X=x条件下,Y的条件概率密度。1.二维离散型随机变量的联合分布率、边缘分布率和离散型随机变量的独立性2.二维连续型随机变量的分布函数、联合分布密度、边缘分布密度和连续型随机变量的独立性二维均匀分布和正态分布3.随机变量函数的分布4.二维随机变量的条件分布例1 已知(X,Y)的分布如下,且X与Y独立YX121231/3ab1/61/91/18则a= , b= .2.在区间(0,1)中随机取两个数，两数之和小于1.2的概率为( ) 3.设随机变量X、Y独立同分布，且P(X=0)=1/3,P(X=1)=2/3,则P(X=Y)= .4.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为则当0y0