垂直于弦的直径(共两课时)课件

1、 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第1课时） 难点：垂径定理的题设和结论的区分，垂径定理的应用 重点：垂径定理- 新世纪教育网版权所有第1页，共34页。 实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴活动一- 新世纪教育网版权所有第2页，共34页。如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活 动 二（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴（2） 线段： AE=BE

2、弧:AC=BC,AD=BD把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC , AD分别与BC 、BD重合- 新世纪教育网版权所有第3页，共34页。探索发现验证篇证明：连结OA、OB，则OAOB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此AEBE，ACBC，ADBD，即直径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。求证：AEBE，ACBC，ADBD。

3、叠合法The exploration discovered OABCDE- 新世纪教育网版权所有第4页，共34页。垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CDAB CD是直径， AE=BE, AC =BC,AD =BD.OABCDE归纳：提示: 垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.- 新世纪教育网版权所有第5页，共34页。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧- 新世纪教育网版权所有第6页，共34页。探索发现结论篇垂径定理:垂直于弦的直

4、径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。OEDCBAThe exploration discovered - 新世纪教育网版权所有第7页，共34页。夯实基础判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！我学习，我快乐Ramming foundation - 新世纪教育网版权所有第8页，共34页。 练习在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧- 新世纪教育网版权所有第9页，共34页。夯实基础我成功，我快乐变式1：AC、BD有什么关系

5、？OABCD变式2：ACBD依然成立吗？变式3：EA_, EC=_。变式4：_ AC=BD.变式5：_ AC=BD.Ramming foundation - 新世纪教育网版权所有第10页，共34页。夯实基础学会作辅助线如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。Ramming foundation - 新世纪教育网版权所有第11页，共34页。OABE变形2、CE=8,DE=2,则AB= 。DC变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到

6、AB的距离 是 。变形3、CD=10,AB=8,则DE= 。382若CD为圆O的直径，弦ABCD于点E,到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？- 新世纪教育网版权所有第12页，共34页。垂径定理的应用构建直角三角形OABCRd2a半弦 AC=半径 OA=R弦心距 OC=d2222adR）（+=作垂线段，连半径弓高为hh=Rd- 新世纪教育网版权所有第13页，共34页。如图，两个圆都以点O为圆心，求证:AC=BDOABCD活动4- 新世纪教育网版权所有第14页，共34页。 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第2课时） 难点：垂径定理推论的题设和 结论的区分 知识点

7、: 1.圆的对称性 2.垂径定理及其推论应用重点：垂径定理的推论- 新世纪教育网版权所有第15页，共34页。 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第2课时）- 新世纪教育网版权所有第16页，共34页。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧- 新世纪教育网版权所有第17页，共34页。命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB求证：CDAB，ADBD，ACBC命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧已知：A

8、B是弦，CD平分AB，CD AB，求证：CD是直径， ADBD，ACBCC.OAEBDC- 新世纪教育网版权所有第18页，共34页。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论（1） （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心， 并且平分弦所对的两条弧.垂径定理记忆- 新世纪教育网版权所有第19页，共34页。画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。题设结论直线CD经过圆心O直线CD垂直弦AB直线CD平分弦AB直线CD平分弧ACB直线CD平分弧AB想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？ 更上层楼Upper for

9、mation building - 新世纪教育网版权所有第20页，共34页。垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.- 新世纪教育网版权所有第21页，共34页。更上层楼（1）平

10、分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。Upper formation building - 新世纪教育网版权所有第22页，共34页。填空：如图，在O中 （1）若MNAB，MN为直径；则 （ ），（ ），（ ）；（2）若ACBC，MN为直径；AB不是直径，则 （ ），（ ），（ ）；（3）若MNAB，ACBC，则 （ ），（ ），（ ）；（4）若弧AM弧BM，MN为直径，则 （ ），（ ），（ ）。COBAMN我能行！更上层楼Upper formation

11、building - 新世纪教育网版权所有第23页，共34页。一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)- 新世纪教育网版权所有第24页，共34页。(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦- 新世纪教育网版权所有第25页，共34页。填空：1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点

12、E，若_，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O到AB的距离是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。 OAB第1题图第2题图ABCD（或AC=AD，或BC=BD）24H- 新世纪教育网版权所有第26页，共34页。选择：如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA- 新世纪教育网版权所有第27页，共34页。2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入

13、一些油后，截面如图所示。若油面宽AB600毫米，求油的最大深度。解决问题Solves the problem - 新世纪教育网版权所有第28页，共34页。2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：四边形ADOE为矩形，又AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形. OEAC ODAB- 新世纪教育网版权所有第29页，共34页。 在ABC中，C=900，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。CBDA- 新世纪教育网版权所有第30页，共34页。变形4、若O的直径为10，弦AB=8，E是AB上任意一动点,则OE的最小值是 。OAB3变形5、线段OE长的取值范围的是 。3OM5- 新世纪教育网版权所有第31页，共34页。变形5、半径为5的O内有一点P,且OP=3,则过点P的最短的弦长是 ，最长的弦长是 。OA