通信原理教程 第四章 模拟信号的数字化

1、1第四章 模拟信号的数字化4.1 引言两类信源：模拟信号、数字信号模/数变换的三步骤：抽样、量化和编码最常用的模/数变换方法：脉冲编码调制 (PCM)24.2 模拟信号的抽样4.2.1 低通模拟信号的抽样通常是在等间隔T上抽样理论上，抽样过程 周期性单位冲激脉冲 模拟信号实际上，抽样过程 周期性单位窄脉冲 模拟信号抽样定理：若一个连续模拟信号 的最高频率小于 ，则以间隔时间为 的周期性冲激脉冲对其抽样时， 将被这些抽样值所完全确定。 模拟信号s(t)模拟信号的抽样3抽样定理的证明：设： ：最高频率小于fH 的信号， ：周期性单位冲激脉冲，其重复周期为T，重复频率为则抽样信号为：设 的傅里叶变换

2、为 ，则有：式中， ： 的频谱 ： 的频谱 ： 的频谱 是周期性单位冲激脉冲的频谱，可求出等于： 相邻频率分量间隔为4将 代入 ，得到 由上式看出：由于 是信号频谱 在频率轴上平移了 的结果，所以抽样信号的频谱 是无数间隔频率为 的原信号频谱 相叠加而成。 因已经假设 的最高频率小于 ，所以若上式中的频率间隔 ，则 中包含的每个原信号频谱 之间互不重叠，如图所示。这样就能够从 中分离出信号 的频谱 ，并能够容易地从 得到 ；也就是能从抽样信号中恢复原信号，或者说能由抽样信号决定原信号。 这里，恢复原信号的条件是： 称为奈奎斯特(Nyquist)速率。与此相应的最小抽样时间间隔 称为奈奎斯特间隔

3、。5 由抽样信号恢复原信号的方法 ：从频域看：当 时，用一个截止频率为 的理想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时，滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如图所示。这些冲激响应之和就构成了原信号。理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能做到如此陡峭。所以，实用的抽样频率 必须比 大较多。例如，典型电话信号的最高频率限制在3400Hz，而抽样频率采用8000Hz。64.2.2 带通模拟信号的抽样带通信号的频带限制在 和 之间，即其频谱低端截止频率明显大于零。要求抽样频率 ： 式中， : 信号带宽， : 小于 的最大整数， 。 由图可

4、见，当 时， ，当 很大时， 。图中的曲线表示要求的最小抽样频率 ，但是这并不意味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。 3BB2B4B5B6BfL0fs74.2.3 模拟脉冲调制脉冲振幅调制PAM 脉冲宽度调制PDM 脉冲位置调制PPM （a) 基带信号(b) PAM信号 (c) PDM信号(d) PPM信号图4.2.6 模拟脉冲调制84.3 抽样信号的量化4.3.1 量化原理量化的目的：将抽样信号数字化。量化的方法：设 为模拟信号抽样值，若用 位二进制码元表示， 则只能表示 个不 同的抽样值。共有 个离散电平，它们称为量化电平。用这 个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化。当 （式

5、中 是量化区间的端点）量化器输出信号的量化值 代表可能输出的电平 图示为均匀量化，即抽样值区间是等间隔划分的。图4.3.1 抽样信号的量化94.3.2 均匀量化设：模拟抽样信号的取值范围： 量化电平数： 则均匀量化时的量化间隔为： 量化区间的端点为：若量化输出电平 取为量化间隔的中点，则有量化噪声：量化输出电平和量化前信号的抽样值之差信号量噪比：信号功率与量化噪声之比10求量化噪声功率的平均值 ：式中， ：信号的抽样值，即 ，取值区间为 ：为量化信号值，即 ， ：信号抽样值 的概率密度E ：表示求统计平均值 ：量化电平数 ： ：求信号 的平均功率 ：由上两式可以求出平均量化信噪比。11【例4.

6、1】设一个均匀量化器的量化电平数为 ，其输入信号抽样值在区间 内具有均匀的概率密度 。试求该量化器的平均信号量噪比。解： 或 （dB）12 4.3.3 非均匀量化均匀量化的缺点：量化间隔是固定的，不随信号抽样值的不同而变化。当信号小时，信号量噪比也就很小。非均匀量化可以改善小信号时的信号量噪比。 非均匀量化原理：用一个非线性电路将输入电压 变换成输出电压 ， 当量化区间划分很多时，在每一量化区间内压缩特性曲线可以近似看作为一段直线。因此，这段直线的斜率可以写为 或 设 和 的范围都限制在0和1之间，且纵座标 在0和1之间均匀划分成 个量化区间，则有区间间隔为： 压缩特性为对数特性13由 可得出

7、为了对不同信号强度保持信号量噪比恒定，要求量化间隔 能随着 的减少按比例减少，即：即要求： 或 ,式中 为常数解上述微分方程得到： 为了求 ，将边界条件(当 时， )，代入上式，得到 ，即求出： ， 将 值代入上式，得到 由上式看出，为了保持信号量噪比恒定，在理论上要求压缩特性为对数特性，即对模拟抽样信号的强度以对数进行压缩，再进行均匀量化，可以得到恒定的信号量噪比。 对于电话信号，ITU制定了两种建议，即 压缩律和 压缩律，以及相应的近似算法 13折线法和15折线法。 14 压缩率式中， ：压缩器归一化输入电压； ：压缩器归一化输出电压； ：常数，决定压缩程度。 律中的常数 不同，则压缩曲线

8、的形状不同。它将特别影响小电压时的信号量噪比的大小。在实用中，选择 等于87.6。1513折线压缩特性 律的近似 律是平滑曲线，用电子线路很难准确地实现，但很容易用数字电路来近似实现。13折线特性就是近似于 律的特性。 图中x在01区间中分为不均匀的8段。1/2至1间的线段称为第8段；1/4至1/2间称为第7段；1/8至1/4间称为第6段；依此类推，直到0至1/128间的线段称为第1段。纵坐标 则均匀地划分作8段。将这8段相应的座标点 相连，就得到了一条折线。 除第1和2段外，其他各段折线的斜率都不相同：折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8斜 率 16 16 8 4 2 1 对交流信号，正

9、负第1和2段斜率相同，故共有13段折线。16A律和13折线法比较 i 8 7 6 5 4 3 2 1 0y =1-i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1A律x值 0 1/128 1/60.6 1/30.6 1/15.4 1/7.79 1/3.93 1/1.98 113折线法 0 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 1 x=1/2i折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8折线斜率 16 16 8 4 2 1 从表中看出，13折线法和A = 87.6时的A律压缩法十分接近。17 压缩律和15折线压缩特性 律中，选用 有两个目的:1. 使曲线在原点附近的

10、斜率16，使16段折线简化成13段；2. 使转折点上 律曲线的横坐标x值：若仅要求满足第二个目的：仅要求满足当 时， ，则可以得到 律：15折线：近似 律1815折线法的转折点坐标和各段斜率 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8y = i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1x=(2i - 1)/255 0 1/255 3/255 7/255 15/255 31/255 63/255 127/255 1斜率 255 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024段号 1 2 3 4 5 6 7 8由于其第1段和第2段的斜率

11、不同，不能合并为一条直线，故考虑交流电压正负极性后，共得到15段折线。1913折线法和15折线法比较 比较13折线特性和15折线特性的第一段斜率可知，15折线特性第一段的斜率（255/8）大约是13折线特性第一段斜率（16）的两倍。 所以，15折线特性给出的小信号的信号量噪比约是13折线特性的两倍（主要是由于压缩得到的信号强度会随着斜率线性增加，同时均匀量化后的量化噪声不会有大的变化）。 但是，对于大信号而言，15折线特性给出的信号量噪比要比13折线特性时稍差。这可以从对数压缩式(4.3-22)看出，在 律中 值等于87.6；但是在 律中，相当 值等于94.18。 值越大，在大电压段曲线的斜率

12、越小，即信号量噪比越差（同时，在小电压段曲线的斜率增大，信号量噪比提高）。20非均匀量化和均匀量化的比较 现以13折线法为例作一比较。若用13折线法中的（第1和第2段）最小量化间隔作为均匀量化时的量化间隔，则13折线法中第1至第8段包含的均匀量化间隔数分别为16、16、32、64、128、256、512、1024，共有2048个均匀量化间隔，而非均匀量化时只有128个量化间隔。因此，在保证小信号的量化间隔相等的条件下，均匀量化需要11比特编码，而非均匀量化只要7比特就够了。13折线：按每个折线再均匀分为16个量化间隔计算：13折线共有 个量化间隔，需7比特编码描述量化输出电平。此时最小间隔为

13、，按此间隔进行均匀量化则有2048个均匀量化间隔，需11比特编码描述。214.4 脉冲编码调制4.4.1脉冲编码调制（PCM）的基本原理 抽样 量化 编码例：见右图 3.15 3 0113.96 4 100方框图：7654321345676011 100 101 110 111 1103.153.965.006.386.806.42抽样值量化值二进制符号抽样保持量化编码解码低通滤波编码器解码器模拟信号输入PCM信号模拟信号输出饿抽样值量化值二进制符号224.4.2 自然二进制码和折叠二进制码折叠二进制码的特点：有映像关系，最高位可以表示极性，使编码电路简化；误码对小电压影响小，可减小语音信号平

14、均量化噪声。量化值序号量化电压极性自然二进制码折叠二进制码15141312111098正极性111111101101110010111010100110001111111011011100101110101001100076543210负极性01110110010101000011001000010000000000010010001101000101011001112313折线法中采用的折叠码 共8位：c1至 c8 c1：极性c2 c4：段落码 8种段落斜率c5 c8：段内码 16个量化电平段落序号段落码c2 c3 c481117110610151004011301020011000量化间隔

15、段内码c5 c6 c7 c815111114111014110112110011101110101091001810007011160110501014010030011200101000100000244.4.3 PCM系统的量化噪声 在4.3.2节中，已求出：均匀量化时的信号量噪比为 当采用N位二进制码编码时， , 故有 由抽样定理，若信号为限制在 的低通信号，则抽样速率不应低于每秒 次。 对于PCM系统，这相当于要求传输速率 b/s，故要求系统带宽 ，即要求： ，代入上式，得到 上式表明，PCM系统的输出信号量噪比随系统的带宽B 按指数规律增长。 254.5 差分脉冲编码调制4.5.1差

16、分脉冲编码调制(DPCM)的原理 线性预测基本原理利用前面的几个抽样值的线性组合来预测当前的抽样值，称为线性预测。当前抽样值和预测值之差，称为预测误差。由于相邻抽样值之间的相关性，预测值和抽样值很接近，即误差的取值范围较小。对较小的误差值编码，可以降低比特率。（需要使用的编码位数较少）26线性预测编解码器原理方框图：编码器：见右图s(t)： 输入信号；sks(kT)：s(t)的抽样值； sk ：预测值；ek ：预测误差；rk ：量化预测误差； ：预测器输入； 的含义：当无量化误差时, ，则由图可见： 故 是带有量化误差的 。 预测器的输入输出关系： 式中， 是预测阶数， 是预测系数 。相加器2

17、7解码器：见下图编码器中预测器和相加器的连接电路和解码器中的完全一样。故当无传输误码时，即当编码器的输出就是解码器的输入时，这两个相加器的输入信号相同，即 。所以，此时解码器的输出信号 和编码器中相加器输出信号 相同，即等于带有量化误差的信号抽样值 。DPCM基本原理：当 时， ，预测器简化成延迟电路，延迟时间为T。这时，线性预测就成为DPCM。相加器相加器284.5.2 DPCM系统的量化噪声和信号量噪比 量化噪声：即量化误差qk，其定义为抽样值和量化后的抽样值之差式中，sk 编码器输入模拟信号抽样值； sk* 量化后带有量化误差的抽样值。设： (+, -)： 预测误差ek的范围； M 量化

18、器的量化电平数； v 量化间隔；则有设：量化误差 在 间均匀分布则 的概率分布密度 可以表示为：+-vv0vM1M2M3M4图4.5.2 , 和M之间关系即预测误差和量化后的预测误差之间的差29并且， 的平均功率可以表示成：设： 抽样频率， 每个抽样值编码的码元数， DPCM编码器输出的码元速率（即系统的带宽）， 假设 在 间均匀分布，则 在 区间的功率谱密度为：此量化噪声通过截止频率为fL的低通滤波器之后，其功率等于： DPCM系统输出的量化噪声功率30信号功率：当预测误差 的范围限制在(+, -)时，同时也限制了信号的变化速度。这就是说，在相邻抽样点之间，信号抽样值的增减不能超过此范围。一

19、旦超过此范围，编码器将发生过载。若抽样点间隔为T1/fs，则将限制信号的斜率（绝对值）不能超过/T。设：输入信号是一个正弦波：式中，A 振幅； 0 角频率其斜率为 最大斜率等于 A0 为了不发生过载，信号的最大斜率不应超过/T，即要求 故最大允许信号振幅为： 最大允许信号（平均）功率为：31将预测噪声的最大范围代入得到（最大）信号量噪比： 上式表明，信号量噪比随编码位数N 和抽样频率fs的增大而增加 。324.6 增量调制4.6.1 增量调制(DM)原理 增量调制：当DPCM系统中量化器的量化电平数取为2，且预测器仍是一个延迟时间为T 的延迟线时，此DPCM系统就称作增量调制系统。 33原理方

20、框图预测误差 被量化成两个电平 + 和 。 值称为量化台阶。 rk只取两个值+ 或 。例如，可以用“1”表示“+”，及用“0”表示“”。 当无传输误码时，sk* = sk* 。 sk*抽 样二电平量化s(t)skekrksk延 迟rksk*(a) 编码器 (b)解码器延 迟34在实用中，为了简单起见，通常用一个积分器来代替上述“延迟相加电路”，如下图所示。(a) 编码器(b)解码器积分器抽样 判决s(t)e(t)d(t)s(t)积 分d(t)低通T(t)s(t)上图中编码器输入的模拟信号为s(t)，它与预测信号s(t)相减，得到预测误差e(t)。预测误差e(t)被周期为T的抽样冲激序列T(t)

21、抽样。若抽样值为负值，则判决输出电压+ （用“1”代表）；若抽样值为正值，则判决输出电压 （用“0”代表）。这样就得到二进制输出数字信号，如下图所示。35输出二进制波形36解码原理： 在解码器中，积分器只要每收到一个“1”码元就使其输出升高 V，每收到一个“0”码元就使其输出降低 V，这样就可以恢复出图中的阶梯形电压。这个阶梯电压通过低通滤波器平滑后，就得到十分接近编码器原输入的模拟信号。输出二进制波形374.6.2 增量调制系统中的量化噪声量化噪声的产生两种产生原因： 1. 由于编解码时用的阶梯波形本身的电压突跳产生的，见图(a)。这是基本量化噪声，称为e1(t)。它伴随着信号永远存在，即只要有信号，就有这种噪声。 2. 过载量化噪声，见图(b)