奥数数论基础知识重点

1、 /6 /6奥数数论基础知识一质数和合数（）一个数除了和它本身，不再有别地约数，这个数叫做质数（也叫做素数）,一个数除了和它本身，还有别地约数，这个数叫做合数.（）自然数除和外，按约数地个数分为质数和合数两类.任何一个合数都可以写成几个质数相乘地形式.要特别记住：和不是质数，也不是合数.（）最小地质数是，是唯一地偶质数，其他质数都为奇数；最小地合数是.（）质数是一个数，是含有两个约数地自然数.互质数是指两个数，是公约数只有一地两个数，组成互质数地两个数可能是两个质数（3和5）,可能是一个质数和一个合数（3和4）,可能是两个合数（4和9）或与另一个自然数.（5）如果一个质数是某个数地约数，那么b

2、5E2Ro就说这个质数是这个数地质因数.把一个合数用质因数相乘地形式表示出来，叫做分解质因数.（6）100以内地质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.二整除性（1）概念一般地，如、为整数，H,且+,即整数除以整除（不等于），除得地商正好是整数而没有余数（或者说余数是），我们就说，能被整除（或者说能整除）,记作I.否则，称为不能被整除，（或不能整除），记作.如果整数能被整数整除，就叫做地倍数，就叫做地约数.（2）性质性质：（整除地加减性）如果、都能被整除，那么它们地和与差也能被整

3、除.即：如果I,I,那么I（士）.plEano例如：如果I,I,那么I（+）,并且I（一）.也就是说，被除数加上或减去一些除数地倍数不影响除数对它地整除性.性质：如果与地积能整除，那么与都能整除.即：如果I,那么I,I.性质：（整除地互质可积性）如果、都能整除，且和互质，那么与地积能整除.即：如果I,I,且（，），那么I,例如：如果I,I,且（，），那么（x）|.性质：（整除地传递性）如果能整除，能整除，那么能整除.即：如果I,I,那么I.例如：如果I,I,那么I.（3）数地整除特征能被整除地数地特征：个位数字是、地整数.能被整除地数地特征：个位是或突破口能被（或）整除地数地特征：各个数位数字

4、之和能被（或）整除. /6 /6判断能被（或）整除地数还可以用弃3（或9）法J例如：8351746能被9整除么？解：8+1=9,3+6=9,5+4=9,在数字中只剩7,7不是9地倍数，所以8351746不能被9整除.能被（或）整除地数地特征：末两位数能被（或）整除.能被（或）整除地数地特征：末三位数能被（或）整除.能被整除地数地特征：这个整数地奇数位上地数字之和与偶数位上地数字之和地差（大减小）是地倍数.能被（或）整除地数地特征：一个整数地末三位数与末三位以前地数字所组成地数之差（以大减小）能被（或）整除，依此反复检验.例如：判断能否被整除？解：把分为和两个数,因为.再把分为和两个数，因为一=

5、，又I,所以I,进而I.上述办法也可以用来判断余数和末位数；对于其他地数，可以将其分解成上述几个互DXDiToRTCrpo质地数地乘积，再逐个考虑.三约数与倍数（1）公约数和最大公约数几个数公有地约数，叫做这几个数地公约数；其中最大地一个，叫做这几个数地最大公约数.例如：4是12和16地最大公约数，可记做：（12,16）=4（2）公倍数和最小公倍数几个数公有地倍数，叫做这几个数地公倍数；其中最小地一个，叫做这几个数地最小公倍数.例如：是和地最小公倍数，记作,.（3）最大公约数和最小公倍数地关系如果用和表示两个自然数1、那么这两个自然数地最大公约数与最小公倍数关系是：（,）x,x.（多用于求最小

6、公倍数）2、（,）,3、,是（，）地倍数，（，）是,地约数4.（,）是十和一地约数，也是（,）+,和（,）-,地约数（4）求最大公约数地方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法.例如：1、（短除法）用一个数去除、，都能整除，这个数最大是多少？解：二（,）x这个数最大是.2、（分解质因数法）求1001和308地最大公约数是多少？解：1001=7x11x13（这个质分解常用到），308=7x11x4所以最大公约数是7x11=77在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们所有共有地质因数之积便是最大公约数.3、（辗转相除法）用辗转相除法求和地最大公约数.解：丁x,X,X，.补充说明：如果

7、要求三个或更多地数地最大公约数，可以先求其中任意两个数地最大公约数，再求这个公约数与另外一个数地最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果.(5)约数个数公式一个合数地约数个数，等于它地质因数分解式中每个质因数地个数(即指数)加地连乘地积.例如：求地约数地个数.解:,/=XX,地约数地个数是(+)X()X(+),.有个约数.四奇偶性()奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类,能被整除地数叫做偶数，不能被整除地数叫做奇数.偶数通常可以用(为整数)表示，奇数5PCZV。则可以用(为整数)表示.特别注意，因为能被整除，所以是偶数,最小地奇数是1,最小地偶数是0.()奇数与偶数地运算性质性质：偶数士偶数偶数，奇数士奇数偶数.性质：偶数士奇数奇数.性质：偶数个奇数相加得偶数.性质：奇数个奇数相加得奇数.性质：偶数X奇数偶数，奇数X奇数奇数.偶数X偶数偶数(3)反证法例：桌上有只杯子，全部口朝上，每次将其中只同时翻转.请说明：无论经过多少次这样地翻转，都不能使只杯子全部口朝下.解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次翻转.要使只杯子口全朝下，必须经过个奇数之和次翻转.即翻转地总次数为奇数.但是，按规定每次翻转只杯子，无论经过多少次翻转，翻转地总次数只能是偶jLBHr。数次.因此无论经过多少次翻转，都不