专题一 数列求和裂项相消法+错位相减法

1、1、 1 1),=财1 dan。+1。叫+2 an。+2(4)此夕卜聚式在分母上时可考虑利用看理化因式相消求和.专题一 (2)裂项相消法求数列前n项和学习目标1裂项相消法求和的步骤和注意事项2使学生能用裂项相消法来解决分式数列的求和探究(一)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相 互抵消，从而求得其和.m 卡 1111板1、+ +1x3 3x5 5x7(2zi-l)x(2zi + l)说明：(1)裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项，使数列中的项出 现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。即：把数列的通项拆成两项之差，在求 和时一些正负项相互抵消，于是前n项

2、和变成首尾若干项之和.适合于分式型数列的求和O(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.变式练习:求数列m1，3x51n(n + 2)的前n项和.变式与拓展：1、求数列1(3n - 2) (3n + 1)的前n项和1 1例2、设风是等差数列，且求证汶+总a a | a.a .n n+11 n+1(3)一般地若冬是等差数列， 则.1 1 1证明： 设 的公差为d, 则111穿3勾命1=D. +。). +“+D .牛 区1a2 % a2 a3

3、J % 2+an+i ana-ndg na.a ia.a .1 n+11 n+11所以丘2穿3 +- +a a 1 a.a .n n+11 n+1壮二+上=壮一=【 如 1 S a2 a3 an anJ 巾 1 d1111?1-L(L-1)常见的拆项公式有：1而司=方一由2丽两一z(另由)3!= 1 ( 1 - 1 )(2 1)(2 + 1) 2 2n-l 2 + 111例3、已知数列a )： A, _L 11 + 2,，求它的前n项和。1 + 2 + 3 + n4!1 1 1=-n(n + 1)( n + 2)2 n(n + 1)( + 1)(+ 2)5二(喝-Jb)把+部a-b 7 TOC

4、 o 1-5 h z 111解：a =2=2( -),n n(n +1)n n + 11111111S =a +a +a +& =2 (1一) + (一 ) + (一 )+ ()12322334n n+1=2 (1-J-)言。n+1n+1评析：如果数列的通项公式可转化为f(n+l)f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特 别地，当数列的通项公式是关于n的分式形式时，可尝试采用此法。练习:224262+ + + 1x3 3x5 5x7(2)2(2 -1).(2 +1)三、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.相力2S =(。+a )+(。+a )+ + (。+a )n In2n

5、-11 nS =。+Q +CI + U TOC o 1-5 h z n 1 2一 1nS =Q + Cl+ dn n n-121例4、已知= 则1 + 12f(l)+f(2) + f - +f(3)+f -由 g+/g=+ =二+工VX J 1 + X2 1、21 + X2 1 + X21+ -一1V ii.原式= /(! f(2) + f - + f(3)+f - + f(4) + f - = +1 + 1 + 1 = 3了说明：如果一个数列%,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着 写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。 我们在学知识时，

6、不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是 研究同一类知识的工具，课堂小结：这节课你学到了什么？各小组表现如何课后作业：专题一 (3)错位相减法求数列前n项和学习目标：错位相减法求数列前n项和探究问题(一)错位相减法求数列前n项和说明：(1)使用错位相减法的条件：数列a 是由项数相同的等差数列b 与等比数列c 的对应项乘积组成的新数列，即 nnna=b.c那么这个数列的前n项和则采用“错位相减法”求和. n n n如：a =n. 2% an=(2n1). (J_)ni ,3说明：（2）使用错位相减法的步骤：展开，乘公比，错位，相减（）展开.将Sn展开乘公比：等式两边乘以等比数列

7、的公比q ；得新式qSn；错位：让式子qSn往后错一位，与Sn式子次数相同的相对齐；相减：左侧为（1-q） Sn,右侧中间一般有n-1项可用等比数列求和；解出Sn。J J IJI例4.数列也H 4且a =n,b = 2n,求数列b b鬲前n项和 n nnnn n变式：求数列前n项和课堂练习：求和：L 1x3 + 3x32+.+ (2” 1)x3”2求数列邪前顾和。八、462n3.求和 (1) 1H H + , ,22 232（2）求数列2rr 3n的前n项和。例5、（17高考山东卷）已知a是各项均为正数的等比数列，且a+a=6, n12求数列a的通项公式；n（2） b ）为各项非零的等差数列，

8、其前n项和为S.已知S =bb ，求数列nn2n+l n n+1项和T.n解：设a的公比为q,由题意知：a(l + q)=6, a2q=a q2.n111又 a 0,解得：a =2, q=2,所以 a =2n.n1n由题意知：s =(2n+l)=(2n+l)b ,2n+lZn+1又 S =bb , b2n+l n n+1 n + 1b2n+1所以 b =2n+l. c 则 c= ,nn 3nn2n因此 T =c +c Hc =n 12n /2n1 2n+l .+ 2n1 ,2n1的前n2n1 2n+l2卜 2n+l i 3 Al 1两式相减得私=+匕+公42n+l2n+l 所以T=5n2n+52n2.各小组表现如何课堂小结