两点边值问题的差分求解

1、微分方程数值解实验报告姓名丁建伟学号200708020211日期2010.11.25实验项目两点边值问题的差分求解指导教师徐强一、上机实验的问题和要求(需求分析):实验内容：分别在步长h=1/20,1/40,1/80,1/160情形下用中心差分格式计算齐次两点 边值问题-u”=f,u(0)=u(1)=0。其中 f(x) = 100*exp(-10*x)，精确解为 u(x)= 1 - (1-exp(-10)*x - exp(-10*x)给出差分解近似精确解在无穷范数和L2范数下的误差阶。目的与要求：掌握中心差分格式的程序实现掌握分析算法误差的方法二、程序设计的基本思想，原理和算法描述：基本思想及

2、原理：做均匀网格剖分：0 = x x x = 1 x = ih h =01n ，分点， 步长 n在节点x i处，对微分方程离散化-= f ( x ) dx 2u (x ) - 2 u (x ) + u (x )i+iii-id 2 udx 2h 2 d 4 u+12 dx 4+ O (h 3)iu( xi+1)- 2u( x+ u( xi-i)= f ( x ) + R (u )h 2J i i其中R (u)=ih 2 d 4u12亦+ O(h3)记在节点xk，k = 0N数值解为顾 L u := ui+1 2ui + i1则有h ih2比较知七件）：=/（气）+R（） 所以R （u） = L

3、 u（x.）- R .表示用差分算子Lh代替微分算子L产生的误差称之为（局部）截断误差。这里关于h的阶为O（h2）队=f （x）汪意ii所以R （u） = Lu（x）-f（x）由此知：（局部）截断误差可视为差分格式，将数值解换成相应真解值后，左端 减右端，再做Taylor展式获得的（可作为计算公式）。方程的联立形式（中心差分格式）-Ui+1 2ui + Ui-1 = f, i = 1 n -11 hiu = 0, u = 0l0 N矩阵形式 AU = （其中A 是三对角矩阵）又因为A是三对称矩阵，而且符合追赶法的使用条件，故可用追赶法求解U的解。三、主要程序代码或命令：#include#inc

4、lude#define MAX 200/*预定义数组大小*/void main() int n,i;/*初始化阶数n*/float uMAX,yMAX;float FMAX,fMAX,mMAX;float h,x;/*步长和剖分点*/printf(请输入等分数n值：”)；scanf(%d,&n);/*读入阶数 */h=1/float(n);m1=-0.5;/*使用追赶法求解系数矩阵三对称的线性方程组*/for(i=2;i=n-2;i+)mi=-1/(2+mi-1);for(i=1,x=h;x1.0;x+=h,i+)Fi=100*exp(-10*x);fi=1-(1-exp(-10)*x-exp

5、(-10*x); y1=F1/(2/(h*h);for(i=2;i=1;i-)ui=yi-mi*ui+1;for(i=1;i11暮中心差分-OM.32 0 H_0 M_3551 0/7 3 0 0 0一互斧爰差差君差暑差是差暑是是差差芝艺君尹差芒芬著 J唐昭呸鸣店膳招鸣隋寤咨咯宿陷序咯客陷寤咨捋陷啥切 25 1M-56H-398GM-031-52-_b?G 0 5 1 7 8 ? 3 4 4 ? 27 I1H53 61 58 12 4228m-v3s14685 8 13 I I8 3 9 442973 3 2 28 9 94 9 4 29710 0942 0M-.项电用.甬南项珥甬.用顶用旬用

6、质用旬旬角角WW 青青至星1青青圭早目育青歪星HZ言肯青青Mr王ieiirA-578682 0.5G7S43 Q.5361130=490723 0,467337 U.443G23 U.41653 H.3954S4 0-371161 0.34G71G 322178 0-297567 0-2728980.248195 0.22343S 0a1986S4 0.173869 0,149057 Q.124233W.O745S7 0.049709 0.024856且直直宜-10|01直宜白HnIH.且直有直直直直IWMHM直直 IzlLklblfcl/ILlrulhul/ltAlhklhuTfcltilL

7、ulhlfcl/ILAIrlhLI |勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺勺 r_r一 - - - - I - - I - - M_一， - JT一 1 _r一 - - -, ，JT一 I - 二一 -r一 I - - I - M - ,二，!* L J 1 一8 9 -3 3u UJ22 LM出山出出出山III出出山II!出出出山出出1 4 2 uJ 7 2 u_J s 9 02 3 uuu由图可知：四种步长下无穷范数分别为：h=1/20时为e1=0.013742, h=1/40时为e2=0.003477, h=1/80时为e3=0.000872，h=1/160时为e4=0.000218。计算可得差分解近似精确解在无穷 范数下误差阶数为二阶(e=maxui)四种步长下 L2 范数分别为：h=1/20 时为 e1=0.009277，h=1/40 时为 e2=0.002342， h=1/80时为e3=0.000586, h=1/160时为e4=0.000145。计算可得差分解近似精确解在L2范数下误差阶数为二阶。(。=(Z1