三阶系统综合分析与设计

1、在控制工程中，三阶系统非常普遍，但是三阶系统属于高阶系统,其动态性能指标的确定是比较复杂，不能像二阶系统那样可以用特定的公式计算。因此，我们可以借助于MATLAB软件对高阶系统进行分析。在课程设计中，我们不仅要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和和系统响应曲线，还要掌握BODE图和Nyquist曲线的绘制。以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节后用负倒描述函数和Nyquist曲线判断系统的稳定性。1设计内容设计题目:三阶系统综合分析与设计R(s)图1-2初始条件：莫单位反馈系统结构图如图1所示:图1-1设计任务要求完成的主要任务：1、试绘制随根轨迹2、当-8为闭环系统的一个极点时，K

2、=?3、求取主导极点阻尼比为0.7时的K值(以下K取这个值)4、分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为r(t)1(t)2.5tt2单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差5、用Matlab绘制单位阶跃相应曲线6、绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度7、如在比较点与开环传递函数之间加1个非线性环节，如图2所示，其中e。1,k2,试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性&认真撰写课程设计报告。2方案设计MATLAB绘制根轨迹绘制轨迹利用的函数是rlocus函数:1、首先根轨迹绘制需要明确的是根轨迹起于开

3、环极点（包括无限极点），终于开环零点（包括无限零点）o根据系统开环传递函数可知：系统s(s3)(s6)根轨迹有3条分支，开环零点无限远，有三个开环极点，分别是0,-3,-6。2、实轴上的根轨迹是那些在其右侧开环实数零点和开环实数极点总数和为奇数的区间，所以该系统根轨迹在实轴上的区间为(-% ,-6 、 -3,0。3、该系统根轨迹有3条渐近线，求渐近线与实轴交点线,得-3.0j ,而渐近与实轴正方向的夹角为5。则可绘制系统根轨迹渐近线334、根轨迹与虚轴的交点；闭环系统的特征方程:s(s 3)(s 6)s3 9s218s k令S j代入上式，可得:3 180 解得0 解得d5、根轨迹的分离点:d

4、0d(3)d(6)MATLAB为绘制根轨迹编程如下:num=1;den=19180;syms=tf(num,den);rlocus(syms)2-1 所示 :绘制出的根轨迹如图Root Locus图2-1闭环根轨迹2.2求取当闭环系统的一个极点为-8时的k值闭环系统的特征方程为：32s39s218sk0令G(s)=0,将闭环极点s8代入方程式中，从而可以得到k=80.所以当-8为闭环系统的一个极点时，k等于80。求主导极点阻尼比为0.7时的K值系统的动态性能基本上由接近虚轴的闭环极点确定，这样的极点被称为主导极点。故主导极点定义为对整个时间相应过程中起到主要作用的闭环极点，只有既接近虚轴，又不

5、十分接近闭环零点的闭环极点才能成为主导极点。在全部闭环极点中，选取最靠近虚轴又不十分靠近闭环零极点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距虚轴远6倍以上的闭环零、极点。该系统中只有无限远零点，极点分别是0、-3、-6，其中0及-3比-6更加靠近虚轴，可以作为主导极点，-6则可忽略，对系统的影响较小。又典型二阶系统的闭环传递函数为:s 3s k(s) - ns2nSn比较上式，可得kn,2n3,又系统主导极点阻尼比0.7,可以求得n2.143,k4.59稳态误差及稳态误差系数的计算控制系统的稳态误差数值，与开环传递函数G(s)H(s)的结构和输入信号R(s)

6、的形式密切相关，对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。一般，分子阶次为m,分母阶次为n的开环传递函数课表示为：mG(s)H(s)K(i1)vmvsvjQs1)则可根据已知信号的输入形式,判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误差的大小，根据已知条件可知系统459为I型系统s(s3)(s6)R(s)=R/s,此时有稳态误差1 帆 G(s)H(s)1 Kp误差系数的求取1、若r(t)R1(t),R为输入阶跃信号的幅值，则静态位置误差系数Kp=limG(s)H(s)s0R(s)=R/ s2，此时有稳态误差2、若r(t)Rt1(t),R为输

7、入速度信号的幅值，则RResslimsG(s)HKvs0459静态速度误差系数KvlimsG(s)Hlims00.255s0(s3)(s6)R(s)R/s 3，此时有稳态3、若r(t)Rt2/2,R为输入加速度信号的幅值。则误差4.59SS 0(S 3)( S 6)4、则当输入信号为1(t) 2.5t t2时，稳态误差的求法如下:首先将输入信号r分解为三个信号的叠加:弹)1(t),r2(t)2.5t3(t) t2r(t) A(t) b(t)“。输入信号R(t)的稳态误差就是信号A(t)、D(t)、b(t)的稳lims2G(s)H(S)S0静态加速度误差系数KalimS2G(S)H(s)limS

8、0态误差的和。输入信号为R(t)1(t)时,稳态误差ess /输入信号为G(t)2.5t ,时，稳态误差ess2.52.5输入信号为D(t)essKa所以输入信号的稳态误差为essKv0.25511.11绘制单位阶跃响应曲线绘制单位阶跃响应利用的函数是step函数MATLAB绘制单位阶跃响应曲线编程如下：num=4.59;den=19184.59;syms=tf(num,den);step(tf(num,den)绘制出的单位阶跃响应曲线如图2-2所示:StepResponseIulime($ec)图2-2单位阶跃响应曲线由图中可以看到单位阶跃响应最终趋向于1,所以稳态误差为0,所以该系统是稳定

9、的。绘制BODE图和Nyquist曲线及求取幅值裕度和相角裕度绘制BODE图工程中广泛使用Bode图又称对数频率特性曲线图，由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是的一组曲线。绘制轨迹利用的函数是bode函数:1、将传递函数写成伯德标准型，确定开环传递系数和各转折频率。G系统的开环频率特性为4.59s(s 3)( s 6)0.225s(s/3 1)(s/6 1)G(s)0.225j(j/31)(j/61)K0.225，转折频率为13，、确定低频段：由传递函数可知该系统为1型系统，即有微分环节，所以绘制低频段，可过1，L(1)20logK20log0.22512.96作一条斜率为-20dB/dec的

10、斜线。、绘制开环对幅频特性的渐近线：将低频段延伸到第一个转折点频率3处。因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率，所以，开环对数频率特性的渐近线下降20dB/dec,再延伸到第二个转折频率20.5处，因为也是惯性环节，所以再下降20dB/dec。、绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一般在一些特征点上进行叠加，如各个转折频率处。、修正对数幅频特性。MATLAB绘制9BODE图编程如下：num=4.59;den=19180;bode(num,den);gridon绘制出的BODE图如图2-3所示：BodeDi殖ramPI1i|!Niiiiiiiiii11111i|l1111

11、l!11*iiyi1?ri11ssji_1_i11011iiiiiii1i*4i1l41111-i-Tirr?i-f11tiiiiiRii11H111ii11ii91ii1iiiiiiiJi-.J一i.iULJiJ-liiiliPii1il|lHib!i11l11111l11ii111i11il1ii11-1T-irri-il?1iiiii1111iiiiiiiiiiil1Ni111l11iii102.6.2绘制Nyquist曲线i1ii1ii-1-J.|lh1Kl!|iiiP1aliiil1iP|11iiii111i?i11i111hiiilk1ii|i111iliiii1isiii11!i

12、li11i11ii1111111iciiiiiiibi*iii*41111lPlfitrrrprTifi-B-i-TPiiiii111iiiiiii1!liiiiii1if111?iiiiiiiiinii三A7Li.-.L=1ikJ1hi*iiil9-iiiPPiil|1iii11iiii11i1i1i111ii1Cii1*1111HH11111i1iJ1i1i-1itrri1r-T-bli14iii?iPV11ii11iiii1111ilii*11iiii111iiici11iiiiiiirli1i10Frsquency(rAd/sec)图2-3BODE图定性的依据。Nyquist判别系统稳

13、Nyquist曲线图又称开环幅相频率特性曲线图，是利用绘制Nyquist曲线利用的函数是nyquistMATLAB绘制9Nyquist曲线编程如下：num=4.59;den=19180;syms=tf(num,den);nyquist(syms)Myqmsi07-0.6-O_5*0.4-03-0.24)RealAxis绘制出的Nyquist曲线如图2-4所示：2.6.3求取幅值裕度h和相角裕度设c为系统的截止频率54321012则A(c)G(jc)H(jc)1定义相角裕度为180G(jc)H(jc)相角裕度的含义是：对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后度，则系统处于临界稳定状态。设c为

14、系统的穿越频率则(x)G(jx)H(jx)(2k1);k0,1,2定义幅值裕度为h20lgG(jx)H(jx)幅值裕度的含义是：对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大倍，则系统将处于临界稳定状态。MATLAB求取幅值裕度h及相角裕度编程如下:num4.59;den19180;sysm=tf(num,den);margin(sysm);gridon5so国世常 Uill|ii|*1111111|1P t JTT t 11 | b I1 11I|， J * ig I Iff1|Pili1 I B d |II IIIhP ,ij| d 1, 1 Hili11i ,V | 1 I*41*1 *

15、* L . L11* * 11|TT11111I)|1V11|1|1|FT ，T*1 p jiiqii*iii11卜 d .- 4 1il|I4|I111nii|,ilIIt|i|t|IL-I1-“11111ii 1Ljiiii:1ii hii(n广rii - i - - N1*11|.|Vl|l|jlf|ijI1t1I1|illi11Iki 1. . W V W W. M J TiAtI|kitlNi1 1 *1卜|-|411(|fiflti| |ifli!.|i|Mil kill ii 1 1 l II v 1iiii11 Illii V t | V iifi*1|i | I 1 I 1i

16、|iI1iIviftllll 1i ，一 i - r r r rr * * * * r * -、 r i +FL*-1111II4V*l|l1t|tflt k t 丁i i M L 1I，1 产 F - - pI oiiIiTitmJ1IH|Ifl 1 1 4I|ii|J|4R1 V 1Hpw1 | i Iin 11.1. 1 . 1111_* 1一 . _ F -n f 71 t1 1i|Mil；Lj1 11，*snrij11!1111 VnF*I44| 一 卜什 I- -X-r V V1*1”i If i i(i 1 i 1|1nbill 1tAj11看 ,V M .彳i i i )1A,

17、ilii：i t i|Iti|niiiiiiti14 A 1IiII|I|i4a1IAN|1111111rl|1111*ii V 111*f1ff*pIFill1IIttIa.i,44vv1Mil|I|1lw1t11iiiii1 1 II1| I 1 1 l| 4 1，|.11V11|i1|ift1114I1iitq|fl|tk4ft|tb A t 1|t|ItI|Ia*i| 1U T1111t1111111i11*iH11V1fV1111I：1iV1VV1011111V1111V1|1IIfr r. r * r t- r 寸 kl r - 1 - r r -w-if- riIlli11111

18、i1I11Ili111N1 t 1I 11 t i I 1 IiIi i I i I R| 4 t II fe i 1 i 1 *4t4 i.I | * 11 A 1 11_ J H 11141I1 i | V | t|ll|111,.1 1 * 1 |- - - - T -二上3-u 篆，!二一一一胃r 事rirTiaJ得到幅值裕度h及相位裕度如下图25图2-5幅僮od即agram裕度图Gm-31(art4.24radJfeec),Pm=82.7de白at0.254rad/sec)h=-20lg|G(jx)H(jx)|=-29.8;18082.797.32.7非线性控制系统的分析描述函数的求

19、取005R(s)25kC(s)sG(s8)3)(s6)eo 1,k 2图2-6加入非线性环节的反馈结构图根据系统结构图可知该非线性类型为死区特性，又其中代人描述函数公式N(A)2Ksin1(e0)e01仓AA:A即得到描述函数为N(A)sin,A2.7.2系统稳定性的判定由描述函数可知负倒数函数为1/sinA,A2对于线性环节,可解得穿越频率负倒函数N(A)G(s)4.590.225N(A)s(s3)(s6)s(s/31)(s/61)J1T241/N(A1)1-曲线此时在实轴上由N(A)实轴交于-0.02833,没有包围稳定。4.24,G(j.11sinAKT1T20.0283T1T2-喏旨向-0.5的