圆锥曲线题型总结

1、直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点-对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切.直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：直线的斜率不存在，直线的斜率存在联立直线和曲线的方程组；讨论类一元二次方程一元二次方程的判别式韦达定理，同类

2、坐标变换同点纵横坐标变换x,y,k(斜率)的取值范围目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式：x互产,y上产，其中x,y是点A(x1,y1),B(X2,y2)的中点坐标。2、弦长公式：若点A(x1,y-!),B(x2,y2)在直线ykxb(k0)上,则yk%b,ykx?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document ABJ(X1X2)2卜1yFJ(X1X2)2(k%kx2)2J(1k2)(X1X2)2(Tk2)(x1X2)24x1X2 HYPER

3、LINK l bookmark12 o Current Document 或者ABjCXX2)2(y1yFJ(1X1X2)2(y1y2)2J(12)(%丫2)2 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document VkkVk2(1y1y2)24y2。3、两条直线l1:yb,l2:yk2xb2垂直：则k1k21两条直线垂直，则直线所在的向量V1|V2o4、韦达定理：若儿一次方程ax2bxc0（a0）有两个不同的根x-i,x2，则bx_jx2,x_jX2a常见题型:题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系2m的取值范围1始终有交点，求x例题1、已知直线l:ykx

4、1与椭圆C:4m思路点拨：直线方程的特点是过定点（0,1）,椭圆的特点是过定点（-2,0)和(2,0),和动点（0,.m）,且m解：根据直线l:ykx1的方程可知,直线恒过定点（0,1）,椭圆2c：z421过动m点（0,、m）,且m如果直线丨:2xykx1和椭圆c:一41始终有交点，则规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点:m且m4。即1、m1,且m4,丨：ykx1过定点（0,1）丨：yk（x1）过定点（1,0）丨：y2k（x1）过定点（1,2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。练习1、过点P（3,2）和抛物线yx23x2只有一个公共点的直线有（

5、）条。A.4B.3C.2D.1题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴,用到的知识是：垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式)。例题2、过点T(-1,0)作直线|与曲线N:寸x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(Xo,o)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出Xo；若不存在，请说明理由。分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N:寸X相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0,可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标

6、，最后由正三角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦长公式求弦长。解：依题意知,直线的斜率存在，且不等于设直线|：yk(x1)，k0，A(xnyi)，B(X2,y2)。k(x1)消y整理，得k2x2(2k21)xk2由直线和抛物线交于两点,224(2k1)4k4k2由韦达定理，得:XiX22k212,X1X2k则线段AB的中点为(2k2112k)。线段的垂直平分线方程为:1112k2y2kkk(x亍)11“11令y=0,得Xq泰3，则E(药畀)tABE为正三角形,E(丄1,0)至煩线AB的距离kd为JAB|IABJ(xiX2)2(yiy2)214k丁1k2k2k2k解得k仝9满足式13此时Xq思维

7、规律:直线过定点设直线的斜率k,利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质:高是边长的倍，将k确定，进而求出x0的坐标。2X练习2:已知椭圆C:-a2y23bT1(ab0)过点(1,3)，且离心率e(I)求椭圆方程;(n)若直线丨:ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C:a2b21(ab0)的离心率为且在x轴上的顶点分别为A(-2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆的方程;(II)若直线l:xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直

8、线PA,PA2分别与椭圆交于MN点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A、A2的坐标都知道，可以设直线PA、PA2的方程，直线PA和椭圆交点是Ai(-2,0)和M通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线l:xt(t2)上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的MN点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入,如果解出的t2，就可以了,解：(J)由已知椭圆C的离心率eC3，a2,则得c.3,b1。否则就不存在。a22从而椭圆的方程为y

9、214(II)设M(x-i,y1)，N(X22)，直线AM的斜率为ki,则直线AM的方程为yk1(x2)，由y2kl(：2)消y整理得(14k；)x216k?x16k；40 x4y4I2和洛是方程的两个根,2x116k2414K228k214k12y14k,14k12同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为（卷命）1(XiX2)1X1X2XiX2X2Xi542k2(1)245(49k2)36Ii5(1)29k29k211由得0硬5，代入，整理得365(1当直线PQ的斜率不存在，即X0时，易知总之实数一1的取值范围是一,5。5方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较

10、简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。练习5：已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y-X2的4焦点，离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线I交椭圆C于AB两点，交y轴于M点，若MA1AF，MB2BF，求12的值.题型六：面积问题仝，短轴一个3例题6、(07陕西理)已知椭圆2爲1(ab0)的离心

11、率为b端点到右焦点的距离为.3。(I)求椭圆C的方程;(n)设直线I与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线I的距离为33，求AOB2面积的最大值。解:(I)设椭圆的半焦距为c依题意a所求椭圆方程为1。(n)设A%yj,B(x2,y2)。(1)当AB丄x轴时，AB(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为ykx，得m2(k3_4把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k1)x6kmx3m30,6km3(m21)x-ix22，X-|X23k213k21当k0时，(SABN)min2.2p2.AB(1k2)(x2xj2(1k2)需12(m21)3k21212(k221)(3k1m)223(k1)(9

12、k1)(3k21)2(3k21)2312k29k46k219k212(k0)0)相交于AB两点。(I)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值;(H)是否存在垂直于y轴的直线I，使得I被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值若存在，求出I的方程；若不存在，说明理由。(此题不要求在答题卡上画图)本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解法1：(I)依题意，点N的坐标为N(0,-p),可设A(xi,yi),B(X2,y2),直线AB的方程为2y=kx+p,与x=2py联立得X2py消去y得x2-2pkx-2p2=0.y

13、kxp.由韦达定理得xi+X2=2pk,xiX2=-2p2.于疋SABN1SBCNSACN2px|X2=PXX2Ipj%x2)24x1x2=p4p2k28p22p2.k22.(H)假设满足条件的直线I存在，其方程为y=a,AC的中点为0讥与人。为直径的圆相交于点P、QPQ的中点为H,则OHPQ,0点的坐标为(yip)2AC12i一=2yip-OHyi22ayip,PH|22OPOH=4(yi24212p)4(2ayip)=(a扣a(pa),PQ2(2PH)=4(a才)丫2a(pa)20，得a子,此时PQp为定值，故满足条件的直线I存在，其方程为即抛物线的通径所在的直线解法2：(i)前同解法i,

14、再由弦长公式得ABv1k2x1x2心k2.(x1x2)24虫21k2J4p2k28p2=2p.1k2k22.从而，Sabn又由点到直线的距离公式得d-2Pk2-dAB-2pJ1k2Jk222p2Jk22,22J1k2当k0时，(SaBn)max22p2.(n)假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a,则以AC为直径的圆的方程为(x0)(xxj(yp)(yyj0,将直线方程y=a代入得2x%x(ap)(ayj0,则=xj4(ap)(ayj4(a-p)y1a(pa).设直线I与以AC为直径的圆的交点为P(X2,y2),Q(X4,y4),则有PQX3xJ4(a舟)%a(pa)、；(a号)y-a(pa

15、).令a0,得a2卫，此时PQ2p为定值，故满足条件的直线I存在，其方程为即抛物线的通径所在的直线。2设椭圆E:笃2a2b2练习7:(山东09理)(22)(本小题满分14分)1(a,b0)过M(2,.2),N(-、6,1)两点，0为坐标原点,E恒有两个交点A,B,且(I)求椭圆E的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆OAOB若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。题型八：角度问题例题8、(08重庆理)如图(21)图，M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足：PMPN6.(I)求点P的轨迹方程;(n)若pm-PN|=,求点P的

16、坐标.1cosMPN2a=6的椭圆.解：(I)由椭圆的定义，点P的轨迹是以MN为焦点，长轴长因此半焦距c=2,长半轴a=3，从而短半轴b=.a2c25,2所以椭圆的方程为9n)由pmHpn1cosMPN得|PM|PNcosMPNPM|PN2.因为cosMPN1,P不为椭圆长轴顶点，故P、N构成三角形.在厶PMN中，MN4,由余弦定理有MNPMPN22PM|PNcosMPN.将代入,42PMPN2(PM|PN|2).2故点P在以y21上.MN为焦点，实轴长为2J3的双曲线322由(I)知，点P的坐标又满足1，所以95由方程组5x29y245,x23y23.x解得y3,32逅2.即P点坐标为z3.

17、3、5、/3、33、32存)或(3、3练习8、(05福建理)已知方向向量为v=(13)的直线I过点(0，2.3)和椭圆C:22笃yT1(ab0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线I的对称点在椭圆C的右准线上ab(I)求椭圆C的方程;(H)是否存在过点E(2,0)的直线m交椭圆C于点MN,满足OMON40）过M（2，、2），N（、6,1）两点，O为坐标原点,22设椭圆E:y每1abE恒有两个交点A,B,且（I）求椭圆E的方程;（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆OAOB若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。22_解：（1）因为椭圆E:占1（a,b0

18、）过M（2，-2），N（、6,1）两点,ab42423232所以a62ab21b21解得12a1b28所以12ab28椭圆E的方程为482y-14(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且oAoB,设该圆的切线方程为ykxmykx解方程组x22222x2(kxm)8,即(12k)x4kmx2m20,2222则厶=16km4(12k)(2m8)28(8k4)20,即8kx-ix2X1X24km12k22m282k2yy(kx1m)(kx2m)k2x-ix2km(x1X2)m222k(2m8)2k24k：2km2m28k212k2要使oAoB,需使X1X2y202m282k2m28k212k23m28k20,所以k2心0又8k28m22m0,所以23m2,所以8亠6,因为直线3kxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r2m1k22m3m288r-6,所求的圆3228为xy3,此时圆的切线ykxm都满足6,而当切线的3斜率不存在时切线为x21的两个交点为6)或厂）满足OB,综上,存在圆心在原点的圆xy2-，使得该圆3的任意一条切线与椭圆E恒有