数学建模讲义(电子科技大学-徐全智-)

1、数 学 建 模徐 全 智应 用 数 学 学 院*产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术.第一章 序言一. 数学科学的重要性 * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；* “高技术”本质上是一种数学技术；* 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；* 在经济竞争中数学科学是必不可少的;现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。* 数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用. *更重要的方面是数学的思维方式的确立.21世纪科技人才应具备的数学素质与能力 数学运算能力 逻辑推理能力数学建

2、模能力数据处理能力空间想象能力抽象思维能力更新数学知识能力使用数学软件能力二. 数学模型与数学建模数学模型（Mathematical Model）：重结果；数学建模（Mathematical Modeling）：重过程模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质。* 对实体本身的模拟 如:飞机形状进行模拟的模型飞机； * 对实体某些属性的模拟 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； * 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象 任何一个模型仅为一个真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现. 数学模型(E.A.Bendar 定义)：关于部分现实世界 为

3、一定目的而做的抽象、简化的数学结构。数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述.治愈 瘫痪 死亡 状态（可能） 行动（人能控制）等待治疗例 大夫的决策问题 可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定及治疗原则等.此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果. 数学模型是思考的工具 构造一个数学模型可帮助我们进行交流、获得理解、加强对所采取的行动及结果的预测能力，它应有助于思考过程. 数学建模：创立一个数学模型的全过程 是运用数学的思维方法、数学的语言去近似地刻画实际问题，并加以解决的全过程。数学建模方法是一种数学的思考方法

4、，是解决实际问题的一种强有力的数学工具。 例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药物的疗效，从而有效地指导临床用药. 例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益.数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁。三. 数学建模的教与学 *工程技术人员应具备雄厚的数学基础和良好的数学素质,应用数学能力是必备的科研能力. * 应用数学是所涉及到的纯数学和其它学科相互作用的一门学科 应用数学的过程可概括为以下五个阶段： 1. 科学地识别和剖析问题；2. 建立数学模型； 3. 对研究中所选择的模型求解数学问题； 4. 对有关

5、计算提出算法和设计计算机程序； 5. 解释原问题的结论并评判这些结论。* 建立数学模型是应用数学的关键而重要的一步.学习数学建模的困难： (1) “学着用”数学和“学”数学根本不同在于在于明白在何处用数学，怎样用数学； (2) 掌握成功运用数学建立数学模型所需的技能与理解数学概念、证明定理、求解方程所需的技巧迥然不同。如何解决？建议：去做！去实践！学着用，干中学！ 课程和教材特点：以介绍数学建模的一般方法为主线，着重训练运用数学知识建立数学模型的技能技巧，着重能力和相关素质的培养。 理解数学知识的基础上，重点是数学方法的掌握、数学思维的建立。 教学目标 培养“翻译”能力 培养用数学思想方法的综

6、合应用分析能力 培养想象力发展观察力，形成洞察力 培养交流与表达的能力 熟练使用技术手段 科技论文写作能力 第二章 数学与现实世界一. 从现实世界到数学模型 数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁面对各类问题： 当一个直径约为1000米的小行星正好在南极与南极洲大陆相撞 ,是否会产生灾难性的影响？1. 世界的末日？2. 如何控制喷泉的高度？ 如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？3. 怎样安排性急的游客？ 在大型游乐场里如何安排游客, 让他们乐意等待，乐意花钱？ 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律,做出必要的简化假设，运用适当的数学工

7、具建立的一个数学结构.4. 人的指纹是否惟一？现实世界数学世界建立数学模型推理演绎求解翻译为实际解答实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界例2.1 一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） 美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他们这种做法安全吗？ 分析：可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能. 联想：安全 、危险问题的关键* 圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒)* 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.

8、（原问题是什么?）可利用的数据条件： 圆桶的总重量 W=527.327（磅） 圆桶受到的浮力 B=470.327（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移满足的微分方程： 方程的解为计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 分析：考虑圆桶的极限速度713.86（英尺/秒）40（英尺/秒） 实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！ 结论：解决问题的方向是正确的.解决思路：避开求t0的难点 令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度 代入（1）得两边积分得函数方程： 若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).

9、(试一试)* 用数值方法求出v(300)的近似值为 v(300)45.41（英尺/秒）40（英尺/秒） * 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而v 增大,y 也增大,可求出函数y=y(v) 令 v=40(英尺/秒)，g=32.2（英尺/秒），算出y= 238.4 (英尺)300（英尺）问题的实际解答： 美国原子能委员会处理放射性废物的做法是极其危险的，必须改变。 例2.2 渡口模型 一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米，可以并排停放两列车辆的渡船.他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置,才能安全地运过最多数量的车辆. 分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车. 准备工作：

10、观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况： (1) 车辆随机到达，形成一个等待上船的车列； 这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题。解决方法 采用模拟模型方法.分析 需考虑以下问题： (2) 来到车辆中,轿车约占40，卡车约占55,摩托车约占5； (3) 轿车车身长为3.55.5米,卡车车身长为810米. (1) 应该怎样安排摩托车？ (2) 下一辆到达的车是什么类型？(3) 怎样描述一辆车的车身长度？ (4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？ 问题的解决：(1) 认为摩托车不会占有实际空间.(2) 确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法0

11、0.550.951卡车轿车自行车汽车类型及车身长模拟原理分析(2) 确定随机到达车辆的身长车。(3) 关于车辆的排放. 甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为322=64米 排放原则：两列尽可能均衡。（怎样实现？） 结果分析：由一组特定随机数确定车型和车身长度，仅得到一个解答. 将一组随机数模拟确定的结果，看成对一次 实际运载情况的“观察”，少数几次观察是无意义的.例2.3 人口增长模型需多次重复模拟, 再进行统计分析 据人口学家们预测，到2033年,世界人口将突破100亿,每年增加近1亿人口,以后还会迅猛增长. 人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长.现建立数学模型来预测人口

12、的增长. 分析 设任意时刻的人口总数为N(t)，影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？ 影响因素个体的出生、死亡 迁入、迁出 年龄结构 性别 比例 现仅考虑出生和死亡对人口数的影响。 在时间段t内，出生和死亡人口数的变化 将依赖于以下因素：1.时间间隔t的长短； 2.时间间隔开始时的人口基数. 建 模 过 程 模型分析 等式左端（以及右端）可以理解为“相对增长率” 对相对增长率做不同的假设可以建立不同的数学模型，并得到不同的解曲线。 N(t)= N0ert , t0 1. 假设净相对增长率r=bd 是常数,得到Malthus 模型： 模型分析 假若净增长率r0,人口的预测值将以r为公比

13、按几何级数无限增长. 不太符合实际，原因是假设条件过于简单.模 型 改 进得到Logistic模型： 不 同 假 设 思考 请绘出Logistic曲线图,分析曲线特征,据此讨论：1. Logistic模型具有哪些特点？2. 比较两个人口模型的优缺点.模型分析 3.请将此例的人口模型与新产品销售模型（讲义p14例2.2.6）进行类比,它们在建模方 法和模型描述方面有什么异同处?二. 建模艺术建模模式千差万别，无法归纳出普遍的准则与技巧 建立一个数学模型和求解一道数学题目有极大差别 没有唯一正确答案有不同的建模方法具有可转移性具有不唯一性 1. 建模没有唯一正确的答案：评价模型优劣的唯一标准是实践

14、检验 2. 不同的建模方法： *机理分析法 根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律.建立的模型常有明确的物理或现实意义 *测试分析法 将研究对象视为一个内部机理无法直接寻求的“黑箱”系统.采用系统辨识方法黑箱系统输出y(t)输入 x(t)求y=y(x) 建立输出和输入间的关系 测量系统的输入、输出数据，对其运用统计分析或进行数据拟合. *计算机模拟 借助于计算机的快速运算，对实际研究对象的属性或变量进行模拟。计算机模拟可视为对研究对象进行的“实验”或“观察” 计算机模拟技术成为三大科研方法之一 3. 模型具有可转移性：一个抽象的数学模型可用来解决不同领域的不同实际问题

15、. 4. 建模具有不唯一性：一个实际问题可利用多种建模方法、多种数学工具建立完全不同的数学模型。模型建立与建模目的密切相关 建模一般原则：在能达到预期目的的前提下，所用数学工具越简单、越大众化越好。数学建模是一门“艺术”要获取这门艺术的真谛和内涵极富挑战性！三建模实例实例1 常染色体隐性病模型实例2 老鼠迷宫问题第三章 建模方法论现实世界数学世界建立数学模型翻译为实际解答始于现实世界并终于现实世界31 概 论数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，* 数学建模没有普遍适用的方法与技巧. * 数学建模工作与问题的性质、建模的目的以及建模工作者自身的数学基础知识和专长有关.* 有一些普遍适用的思想

16、方法与思维方式. 整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性工作组成 怎样构架这座桥梁？求解数学模型 实际问题分析建立数学模型提交论文与报告 模型与模型解的分析及检验 此流程 具有指导意义 ，应注意 * 流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.本章基本上按照此流程来介绍数学建模的方法 3.2 几种创造性思维方法 * 没有创新，就没有发展，创新促进人类社会的进步. * 建模过程往往是一个反复循环的过程. * 正处于传统的继承性教育向创新性教育转变的时期.重要的科学思维方式之一是创新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂。 数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式上与学习其他课程有很大差别。数学创

17、新思维.等等.类比思维归纳思维逆向思维发散思维猜测思维 问题解决法、思想表达法、创造发明法等方法对于创造能力的培养不可或缺。方法的共同特点： 不轻易否定别人的意见， 怀疑一般常识， 努力发现别人尚未察觉的事物等以下介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法 一小组群体思维类似于现代科研工作，数学建模活动是群体的合作活动。 * 现行的传统教育模式使学生，善于独立思考，却拙于交流、与人合作。 * 数学建模是一种集体创新过程，需要一种集体创新思维方式。集体思考法 （Brain Storming，简称BS法） 是一种较好的集体创新思维方式 * 在合作过程中相互理解、相互协调、相互交流、从而集思广益 良好合

18、作的要素：需要 、提倡、避免需要：相互尊重、平等相待； 为使合作者互相启发，互相学习，发挥特长提倡：积极思考、奋力拼搏、学会倾听、勇于争辩、懂得妥协： 避免： 武断评价、回避责任、孤高自傲、丧失信心.突破问题的灵感与思想的火花往往产生于激烈的争论之中 二发散性思维方法发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分 面对新问题，应尽量打开自己的思路： 1. 不要有一点想法，就轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论. 2. 尽量多一些想法，多一些猜测，对问题反复思考、思考、再思考.帮助展开思路的方法： 关键词联想法提问题法提问题法：借助于一系列问题来展开思路 面临难题，束手无策时通过提出一系列问

19、题来导出一些想法或一个好的方案。常用的问题如下： （4）重新组合又会怎样？（l） 这个问题和什么问题相类似？（2）假如变动问题的某些条件将会怎样？（3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？为进一步打开思路还可提以下问题： （7）可否换一种数学工具来解决此问题？（5）我们还可以做什么工作？（6）有无需要进一步完善的内容？ 针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开。 例3.2.1 穿越公路模型（P17例2.2.8） 一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”

20、,让行人可穿越公路,并且还要保证行人的平均等待时间不超过15秒.增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？1. 考虑问题的立场, 司机或行人的哪方面的利益 更为重要？公路情况: 是否有弯道？车道间是否设有安全隔离带？3. 车流情况：车流的密度大小？4. 行人情况: 穿越公路的速度大小？穿越公路的 人群密度？穿越公路的 性质？ 问题分析 此问题的特点是机理复杂,受到较多随机因素的影响, 类似于渡口模型,可采用统计模拟方法加以解决. 例3.2.2 新产品销售模型关键词联想法一种有效的发散思维方式 主要步骤如下：（1）抓住问题或方案的关键词，不受任何约束地进行联想；（2）把联想到的内容用关键词的方式登记在

21、卡片上，进一步激发产生新的想法，进一步想出新的主意；例3.2.3 “9.11”事件的反思 （3）再把积攒的卡片相互搭配，形成解决问题的初步思路与步骤。例3.2.4 一个飞行管理模型 * 对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想. * 抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语. * 联系到解决问题的方案，不加约束继续 联想，再将关键词搭配起来. 立即 判断 碰撞 条件 实时 算法 避免 碰撞 调整 方向角 实时 幅度尽量小 相对距离优化问题优化算法优化调整方案问题的初步理解和想法三. 从整体上把握问题的方法有两种把握住问题的全貌的有效方法： （1）层次

22、结构法 （2）问题分解法 问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法.将问题分解为“三要素”的三个部分. 飞行管理问题是优化问题，在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性. 有专著介绍问题分解三要素 初态 目标态 过程 觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等). 觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等). 能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).例1 常见数学题目模式 已知求（证）已知求（证）解题初态目标态过程 * 解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难. * 未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态”之前，过早地进入解决问题的阶

23、段，会条件不清、目标不明.教师的主要教学目标 尽量拓展思路的基础上，再进行充分分析得到的问题分解结果：例2飞行管理问题 过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法. 初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件目标态：实时调整，避免碰撞。 3.3 问题分析 问题的前期分析 包括：明确问题、分析条件、分析数据 为什么问题前期分析至关重要？数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:* 提出问题的人未能清楚地表述问题 .* 不同领域的人交流出现故障. * 各领域的应用者提出问题时，未给出恰当的条件. * 未能准确理解问题. 对问题进行充分的前期分析以前,过早着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱

24、,或者偏离解决问题的方向.一. 明确问题例3.3.1 一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇 多少推销员的问题征询你的意见. “究竟需要做什么？” 为明确问题 ,可向有关人员询问如下问题：1. 公司的规模有多大？ 2. 该公司的推销员的工作方式？ 遇到一个新问题时,首先应问自己着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析 原问题“推销员人数问题” 明确为：（1）不同规模的销售队伍会有什么影响； （2）怎样从他们的销售工作中获取最大的收益. 明确了工作的目标, 即设置好问题的目标态. 推销员人数获取最大收益顾客地域分析确定出各有关因素，画出问题的层次结构图 顾客容量 市场份额 现有定货量潜在 转移 概

25、率 转变 概率 现有潜在二. 条件及数据分析 设置好问题的目标态，着手工作还需要做以下工作：1. 收集必要的资料和数据。 2. 分析现有的数据和条件，使问题进一步 明确化。 例3.3.2 节水洗衣机问题分析：题目中没有一个数据，但问题却需要比 较多的数据及条件，如 *衣服的洗净效果指标（包括污物和残留洗涤剂）； *不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量C； * 洗衣机的最高水位H、最低水位L； * 各类污物（泥土、油腻等）和洗涤剂在水中的溶解特性。 怎样收集数据和资料？ 可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、通过试验来得到。 收集数据应列入工作计划，并注意： 1. 向有关人员调查情况应事先设计好问

26、题； 2. 事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式。 有条理的收集计划可以为后期的工作创造良好的条件 对收集到的或者现有的资料和数据要做仔细分析，使问题进一步明确。 例3.3.3 最优捕鱼策略 分析：此题中的数据、条件特别多，有的难于把握，有的会直接影响到所建模型是否正确。1捕捞强度系数 q 单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比例系数。 可否理解为捕捞量占总鱼群量的百分率？ 否！将捕捞强度系数 q 的定义用数学表达式写出。 设i龄鱼在t ,t+t时间段内由捕捞产生的变化量（捕捞量）为 单位时间的捕捞量是 对任何时间间隔 t 都有 令t 0 ,得到微分方程 2. 考虑 q 是否有量纲（或单位）

27、？ 思考：1. 此模型可与哪一个模型类比？3. 怎样理解捕捞强度系数q？ 2. 自然死亡率r (0.8（1/年）)是否理解为鱼死亡的概率为0.8 ？ 不对！ 类似于人口增长模型中的“自然（相对）增长率” ，理解为鱼群未受其他外界影响下的“自然增长率” 。 即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之比， 可得描述鱼群自然死亡的微分方程：请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量变化的规律？ 思考：3. 成活率c的影响 成活率c为1龄鱼条数与产卵总量n之比c =1.221011/（1.221011+n）设t年的产卵量为n，则t + 1年的1 龄鱼数目为N1(t+1)= n c 因3、4龄鱼的数量级及产卵量的数量级分

28、别是 109 和1014 n1.221011 当 n 变动（即N3(t)，N4(t)变动）时，N1(t+1)的反应不敏感. 说明下一年1龄鱼的成活率使得鱼群对于捕捞量有一定的适应能力.N1n05. 哪些条件是可以变动的？等等。2. 数据来源是否可靠？3. 所给条件有什么意义？4. 哪些条件是本质的？充分分析正确理解数据和条件可以进一步明确问题 。还应该分析1. 从数据中可得到什么信息？ 3.4 建立数学模型数学模型的建立与建模目的密切相关几类常见建模目的: 1. 描述或解释现实世界的 各类现象 (常采用机理分析的方法,探索研究对象的 内在规律性)； 2. 预测感兴趣的事件是否会发生,或者事物

29、的发展趋势. (常采用数理统计或模拟的方法)；(需合理地定义可量化的评价指标以及评价方法） 建模过程中的几个要点模型的整体设计合理的假设建立数学表达式建立数学结构3. 优化管理、决策或者控制 事物时刻牢记建模目的完整的数学模型应该同时描述出有关因素之间的数量关系和结构关系。 应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个模型中的地位和作用. 例3.4.1 考虑一个简化的城镇供水系统,水是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水.问题：怎样才能有效地保障各用户的正常用水？一. 模型的整体设计按下述步骤对模型进行整体设计 1. 分析系统的组成部分（研究对象、实体） 相关实体有：水库,管道,水箱和用户.

30、 * 实体间的结构关系可表示如下： 水库管道水箱用户* 以上各实体都可能是我们的研究对象. * 应分析相对于各个实体的因素对供水的影响(见教材P47表3.3). 2. 分析各实体之间的关系,找出联系各实体的变量.实体之间的作用关系图 各实体之间的关系 管道与水箱：管道的水流量水库与管道：水库的水深水箱与用户：出水口的水流量 （或有效水深）用户：总用水量 3. 根据各实体的相互关系，提炼整理需考虑的变量以及变量之的关系表达式. 假设“水库能保证管道所需的水流量”，现需考虑t 时刻以下变量： * 总需水量D(t)；* 水箱的有效储水量Q(t)及 QM ； 或流出水流量F（t）及 FM ；* 管道能

31、提供的供水量G(t)及GM.分析各变量的特征：* D(t)不可控，但可以对其进行描述；* G(t)是可控变量。4. 用数学语言描述要解决的问题 选择适当的函数G(t)，使得有 Q(t)=G(t)F(t), F(t)=D(t), 0G(t)GM， 0Q(t)QM，同时成立.建模工作的整体设计: 1）确定需求函数D（t），是保证有效控制的基础； 2）制定恰当的评价指标，以评价方案的优劣； 3）求出相对于评价指标最优的水箱供水方案； 4）分析各种参数对方案的影响； 5）分析随机因素的影响. 模型整体设计的作用 1）可将整个建模过程分解为一些可串行 或并行的子任务。 2）可把握住工作的重点、要点和难点

32、. 做出模型的整体设计后，着手建立模型之前，撰写一份工作提纲. 建议:二. 做出假设 根据对象的特征和建模的目的对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，是建模的关键步骤。合理假设的作用 简化问题 明确问题 限定模型的适用范围 一个实际问题不经过简化假设,很难抽象转化为数学问题。例3.4.2 飞行管理问题中有叙述：“对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）” 如何理解？通过假设： * 所给飞行方向角数据的误差不超过0.01度. 或 * 数据的运算结果误差限控制为0.01度. 使问题完全明确. 例3.4.3 渔业管理问题中关于“季节性集中产卵繁殖” ,如何理解“产卵孵化期是一年

33、的最后四个月” ？最优捕鱼策略 飞行管理模型 有以下几种假设: * 产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内，从而孵化也是均匀进行. * 产卵时间服从方差很小的正态分布. * 鱼群的个体在后四个月的第一天集中产卵，在最后一天孵化出来. 哪一条“最好”？ 第三种与第二种没有本质的差别，处理较容易.分析： 第一种不符合鱼类的生物学实际； 第二种比较符合实际，但大大增加了解决问题的难度；假设起到简化问题的作用 假设“渔场是非开放式的，不与其它水域发生关系，从而构成独立的生态群落” 将建立的数学模型限定在一定的适用范围. 设计假设应遵循的原则 * 假设应是有依据的，基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的

34、分析； * 善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量使问题简化. * 避免过于简单、过于详细或不合理. 例3.4.4 渔业管理问题中有条件：“平均每条4 龄鱼的产卵量为1.109105个，3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2 龄鱼和1 龄鱼不产卵”.分析：为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件. * “平均每条鱼的产卵量”理解为对所有鱼的平均， 故在计算总产卵量时，不考虑雌雄区别.有两种假设：* 雌雄鱼的比例是1:1；哪一种较为合理？最优捕鱼策略 可假设： * 每到次年初，头一年的1、2、3 龄鱼均增1岁，将5龄鱼归并为4龄鱼. 合理性解释：事实上，资料表明此种鱼的寿命一般为3年，另一方面经过捕捞后4

35、龄鱼的数量很少，可以忽略不计. 对于假设：* 有时需要对假设以及假设的推论进行检验；例3.4.5 零件的参数设计 问题： 当年的4 龄鱼，第二年如何处理？* 应意识到隐含的假设. 问题分析 需要建立损失函数，参数y与y0的偏离是由7 个参数综合确定.可假设 * 零件参数 Xi，i=1，2，7 是相互独立的同服从正态分布的随机变量. 对于随机变量 假设： * 随机变量 Y 是服从正态分布的随机变量。 可以利用两种方法进行检验1. 利用泰勒公式做近似；2. 利用计算机模拟结合数理统计分析.三. 现实问题与数学表达式绘图法表格法数学解析式建立变量间的关系是建立数学模型的一项重点工作 三种形式可以相互

36、转换 翻译能力：将变量间关系的中文语言描述 转化为教学表达式 例3.4.6 突然间下了20分钟雨，收集到1/2英寸的雨量。现要建立一个函数R(t), 用来描述降雨量随时间变化的规律。 用中文语言描述数量现象往往是含混的。许多可能的选择,譬如： （1）假设雨连续稳定地下落., 0t20 可以理解成降雨保持恒定速度，即 （2）降雨开始较慢，中间逐渐地加快，达到最大速度后又减小. 若假设降雨速度先线性增长后又线性减小，得 线性降雨模型： 或考虑另一个降雨模型： 0t 20 模型中有两个待定参数a和b. 续例3.4.5 零件的参数设计 分析评价以下质量损失函数 是“y 的目标值（记为y0）为1.50.

37、当y与y0的偏离为0.1时，产品为次品，质量损失为1 000元；当y偏离y0为0.3时,产品为废品，损失为9 000元” 的数学描述.对损失的理解还需深入: * 此产品只是最终产品的某一部件，y 对y0的偏离会“连续地”影响最终产品的质量； * 题目中“如果产品参数偏离预先设定的目标值就会造成质量损失，偏离越大，损失越大” 提示损失是具有社会性的. 质量损失函数L(y)应是（yy0）的连续函数 ，应选择以下哪一个函数？常见的变量间关系描述： 1.当自变量t变大（小）时，因变量 y 会怎样变化?2. 有没有使 y 取极大值或极小值的 t 值？3. 有没有使 y=0 的 t 值?4. y 是否随

38、t 作做周期性变化？ 5. 感兴趣的是 t 的全部值，还是一定范围内的值，如t0或0atb？ 例3.4.7 扑灭森林失火 3.5 求解数学模型求数学模型的解重要而困难求解纯数学问题求解数学模型 * 涉及不同数学分支的知识，同时还需借助与背景知识. * 针对现实问题建立的数学模型，往往仅可求数值解. * 有类问题可采用分析法得到问题的实际解答(如微分方程定性分析). 例3.5.1稳定的椅子 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地面上, 问是否总能设法使它的四条腿同时着地？假设 *1 地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地 面可用一个连续二元函数 z=z(x,y)表示）*2 相对于地面的弯曲程度,

39、 方桌的腿足够长.*3 将与地面的接触看成几何上的点接触. 建模 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点旋转，转动角度记为.OABCDAC引进函数变量：f() A、C 两腿到地面的距离之和；g() B、D 两腿到地面的距离之和；由假设*1，f()、g()都是连续函数， 由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时着地，故有 f()g()=0，0，2 不妨设 f(0)=0、g(0)0 ，方桌问题归结为数学问题： 已知 f() 和 g() 都是连续函数；f(0)=0、g(0)0，且对任意，都有 f()g()=0， 求证：存在0，使得f(0)=g(0). 分析：当=/2时，即AC 和 BD互换位置, 故

40、有 f(/2)0， g(/2)=0令 h()=f()g()，则有 因 h() 在 0, /2上连续，根据闭区间上连续函数的介值定理，存在00,/2，使 f(0) = g(0)因对任意有, f()g()=0 f(0)g(0)=0 f(0)=g(0)=0h(0)=f(0)g(0)=0 h(0)0，h(/2)0， 结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形的桌子，在光滑地面上做原地旋转，在不大于/2的角度内，必能放平.问题：任意矩形的桌子会怎样？模型求解需要一定的技巧 例子中的建模及求解技巧： 1. 用一元变量表示位置；2. 用的函数表示距离；3. 利用问题的背景条件来求解.建立坐标一. 近似求解 1. 减

41、少模型中变量个数 初建立的模型往往包含许多变量，一些变量对最终结果的影响会大于其他变量的影响；减少模型中变量个数，简化模型，便于求解 比较变量的数量级，估计变量在模型中的作用与地位. 用记号 xO(10)表示“数量x的数量级是10”或“x的值在10的附近” 例3.5.2 为研究十八世纪美国的人口增长情况，建立如下模型分析：当时美国人口数量以百万为单位，即有N(t)O(107)最大容许量NM的数量单位以亿计，即NMO（109） 从而 N/NMO（102），原模型可以简化为 其解为 ，t0 著名的Malthus模型 2. 利用泰勒展式近似求解 假定零件参数Xi，i=1，2，7 是相互独立的同服从正

42、态分布的随机变量，则函数 例3.4.3 零件的参数设计 服从什么分布？ 将函数y 在标定值（1，2，7）做泰勒展开,得到y的一阶近似表达式： Y 近似表示为相互独立正态随机变量的线性组合，故可认为Y近似服从正态分布.例3.5.4 广义生日问题（社会保险号码设计问题） 要使一个班中至少有两个人的生日相同的概率超过 p (0p0，m=18. 求得一般解为 ln(Tm)=k t+c,代入条件，求得c=42 ，k= , 最后得 T(t)=18+42 , t 0. 结果 ：T(10)=18+42 =25.870，该物体温度降至300c 需要8.17分钟. 二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常

43、表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系. 续例2.3 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响. 在很短的时间段t 内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是： t时间内的人口增长量=t内出生人口数t内死亡人口数+ t内迁入人口数t内迁出人口数 t时间内的净改变量=t时间内输入量t时间内输出量般化更一基本模型 不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程. 输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.此类建模方法的关键是分

44、析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立 例5.1.2 战斗模型 两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？ 模型建立：设 x(t) t 时刻X方存活的士兵数； y(t) t 时刻Y方存活的士兵数；假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗， x(t)与y(t)都是连续变量. 2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵；t 时间内X军队减少的士兵数 =

45、 t 时间内Y军队消灭对方的士兵数平衡式 即有 x =ayt, 同理 y =bxt, 令t 0, 得到微分方程组： 三. 微元法 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况. 例5.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间.2米对孔口的流速做两条假设 ： 1t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h(t). 2 整个放水过程无能量损失。 分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零 模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的 变化率”，即S

46、孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t) 水面高度（单位：厘米） t时间（单位：秒）当S=1平方厘米，有h(t)h+h 在t，t+t 内，水面高度 h(t) 降至h+h(h0 同时 y=0 的情形,即X方获胜的情形. 即Y方获胜时的幸存士兵数.3） 测算失败一方开始应投入兵力.测算失败一方开始应投入兵力矛盾 4） 战斗的持续时间战斗的持续时间三.捕食系统的Volterra方程（狐狸与野兔问题） 上世纪初, 意大利生物学家U.DA ncona在研究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕获的鱼中，鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上升了。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期间捕鱼量减少所致.食用鱼人类捕捞

47、食肉鱼捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？ 数学家V.Volterra建立了一个数学模型给予解释。 模型建立： x(t) t 时刻食用鱼（prey）的数量. y(t) t 时刻食肉鱼 (predator) 的数量. 假设如下： *1 没有食肉鱼, 食用鱼的净相对增长率为正常数(k10); *2 没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负常数(k2, k20)；*3 两类鱼相遇的机会正比于x 和 y 的乘积；建立微分方程如下： 其中参数b0，c0. 模型分析：关心相互制约的两类鱼种的总变化趋势. 针对建模目的，对微分方程进行以下分析工作：1.讨论方程的平衡点；2. 分析验证方程组是否有周期解； 3. 对

48、方程组周期解进行分析； 4. DA ncona现象的解释. 1.求平衡点 在平衡点处，两类鱼将能够“平衡”地生存,它们的数量将一直保持这个水平.平衡点：(0, 0)与（x, y）=( )平凡的2. 分析验证方程组有周期解； (1) 求相轨线方程 将方程组（1）的两个方程相除： 两边积分其中S 为任意常数. (2) 验证方程有周期解分析：方程组(1) 有周期解 相轨线 (2) 是一族封闭曲线 xy0 x0 x1x?需证明：对每一条轨线，存在 x0 x1，使： 1）x0 xx1时,方程(2)有两个相异根； 2）x =x0 或 x=x1时, 方程仅有一个单根； 3） 时, 方程(2)无根. 证明3.

49、对方程周期解的分析。 1.相轨线的形状 设方程的周期解为: x=x(t), y=y(t), t0, 则对任意给定的t00，存在t10，使x(t0)=x(t1), y(t0)=y(t1) 方程(1)的相轨线是一族包含平衡点A( )的封闭曲线. xyok2/ck1/bA2. 平衡点A的实际意义 记 T=t1-t0 , 称T 周期,将原方程中的第二个方程改写为 两边从t0 到 t1 积分，得 结论：食用鱼和食肉鱼的平衡量恰为它们的数量在一个周期内的平均值. ox(食用鱼)yA3. DA ncona现象的解释 为考察捕鱼业对两种鱼类的影响, 引入捕捞能力系数，将方程(1)改写为 方程(3)的平衡点为A

50、( ),由于捕捞能力系数的引进，食用鱼的平均量增大, 而食肉鱼的平均量则减少了. Volterra原理：为了减少强者,只需捕获弱者. 5.3 逻辑方法建模 欧几里德在不加证明而直接采用基本概念和公理的基础上, 运用逻辑推理方法得出了一系列定理、推论, 从而建立了完整的欧几理德几何学，这一辉煌的成果至今仍然是人类宝贵财富.逻辑推理建模方法是一种重要的建模方法 一. 合作对策模型 从事某一项活动若能多方合作, 往往可以获得更大的总收益(或受到更小的损失).合作中应该如何分配收益（或分摊损失）? 合作对策模型基本思想：采用公理化方法，从问题应当具有的基本属性出发，运用逻辑推理方法导出满足这些基本属性

51、的解. 例5.3.1 有三个位于一条河流同一侧的城镇，三城镇的污水必须经过处理才能排入河中. 三方商议共建一座污水处理厂.城1城2城320公里38公里污水厂筹建处 问题： （1）三个城镇怎样 建厂可使总开支最少？ （2）每一个城镇的费用各分摊多少？ 分析：有五种方案可供选择条件：建设污水处理厂的费用有公式： 管道费用： (1) 三城各建一个处理厂；(2) 城1与城2合建一个厂, 城3单独建一个；(3) 城2与城3合建一个厂, 城1单独建一个；(4) 城1与城3合建一个厂,城2单独建一个；(5) 三城合作建一个处理厂； Q污水排放量； L管道长度(公里). 三个城镇的污水排放量分别为Q1=5米3

52、/秒，Q2=3米3/秒，Q3=5米3/秒.对各个方案进行费用测算，得方案总投资 城1投资 城2投资 城3投资 （1）6200230016002300（2）5800？2300（3）59502300？（4）6230？1600？（5）5560？ 方案(5):三个城市合作建厂总投资最少. 问题：三个城市如何分摊费用？经商讨定下几条原则：1. 建厂费用按3个城市的污水量之比5:3:5分摊；2. 城2到城3的管道费按5:3由城1和城2分摊；3. 城1到城2的费用由城1自行解决.思考：他们的原则是否有道理？城1市长的“可行性论证”: 1. 建厂总费用为 730(5+3+5)0.712 =4530(万元),城

53、1负担费用为 45305/131742(万元); 2. 城1至城2的管道费用为 6.650.5120300(万元)； 3. 城2至城3的管道费用为 6.6（5+3）0.5138724(万元)城1负担 7245/8=425.5(万元);城1总共负担：1742+300+425.5=2467(元). 市长的结论：不能接受这样的合作. n人合作对策模型 Shapley定理：满足公理14 的(V)存在并且唯一，由下式给出： Ti 是I中包含i的一切子集构成的集族, 表示集合S中的元素个数， 续例1 计算城市1应承担的费用 T1=1, 1,2, 1,3, 1,2,3， 0 0 0 250V(S1) 0 6

54、7 0 130 W( ) V(S) V(S1) 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3W( ) 0 490 0 390V(S) V(S1) 0 400 0 640 V(S)1 1,2 1,3 1,2,3S 根据公式(1)从而城市1应承担投资额为 2300197=2103(万元).= 67+130=197(万元)，二.信息模型 例5.3.2 调整气象观察站问题 某地区内有12个气象观察站（位置如图),有10年各观察站的年降水量数据.为了节省开支,想要适当减少气象站. 问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 问题：怎样比较信息的大

55、小？ 信息的多少能不能度量？ 降水量的信息量仍然足够大？1. 信息量认识问题的过程： * 对一个问题毫无了解时，对它的认识是不确定的. * 在了解过程中，通过获得信息，逐渐消除了不确定性.获得的信息越多,消除的不确定性就越大.用消除不确定性的多少来度量信息量 例1：到影院寻找一个人，已问到： (1) 甲告诉两条消息：他不坐在前十排，他也不坐在后十排； (2)乙告诉一条消息：他坐在第十五排.问题：甲、乙谁提供的消息信息量更大？ 答案：乙的消息总信息量更大 ，因其不确定性消除得更多。 例2. 若在盛夏预报“明日无雪”，这条消息的信息量为零，因根本不存在不确定性. 美国贝尔实验室的学者香龙（Shan

56、non）应用概率知识和逻辑方法推出了信息量的计算公式.他提出信息度量应满足的公理： 公理1 信息量是该事件发生概率的连续函数； 公理2 如果A B，则A发生的信息量B发生的信息量； 公理3 若A与B相互独立，则A与B同时发生的信息量应为单独获知两事件发生的信息量之和； 公理4 任何信息的信息量都是有限的. 将事件A 发生的信息记为M, 概率记为p, 记信息的信息量为I(M) 定理：满足公理14的信息量函数必为I(M)=C loga p (1)其中C 是任意正整数,对数的底a可取不为1的正实数. 注取a=2, C=1, 信息量的单位称为比特 取a=10, C=1, 信息量的单位称为迪吉特 例3.

57、 某剧院有1280个座位, 32排, 每排40座.现从中找出某人,求以下信息的信息量.1. A：他在第十排； 2. B：他在第15座 3. C：他在第十排第15座. 解 在未知任何信息的条件下，认为他坐在各排 的概率是均等的, 坐在各座位的概率也相等.I(MA)= log2 （比特),I(MB)= log2 （比特), I(MC)= log2 （比特) .有：I(MC)=I(MA) I(MB). 满足公理3：对完全独立的几条信息，其总信息量等于各条信息的信息量总和. 2. 平均信息量（熵） 定义：一随机试验有N个可能结果, 出现的概率分别为p1, p2, ,pN, 出现第i 组结果的信息量为l

58、og2pi，该试验的不确定性可由这组信息量的平均信息量度量:称H为熵(或负熵). 对具有连续分布 p(x) 的随机试验, 熵的定义为:注1.此定义与物理中的熵仅相差一个负号. 熵度量试验的不确定程度，熵越大试 验的不确定程度越大. 例4有三名射手的射击情况如下： 其中A 表示射击命中目标.哪一个射手的射击情况最不确定？ 解 需求三个射击试验的熵， 其中, 取a=10,甲的熵值最大,乙的最小.结论？ 例5.若随机试验的随机变量XN(0,2), 求试验的熵值. 解 X 的概率密度为 思考 分析熵与随机变量方差的关系重要结论: 1.若试验仅有有限种结果：S1, S2,Sn, 其发生的概率分别为p1,

59、 p2, , pn，当 p1= p2= =pn=1/n， 试验具有最大熵. 2. 若试验是连续型随机试验，其概率密度P(x) 在 a, b以外均为零, 则均匀分布具有最大熵. 3. 对于一般连续型随机试验, 在方差一定的前 提下, 正态分布具有最大熵. 定理：（最大熵原理）受到相互独立且均匀而小的随机因素影响的系统，其状态的概率分布将使系统的熵最大.问题：怎样将熵用于解决气象观察站调整问题？ 调整气象观察站问题评讲 某地区内有12个气象观察站（位置如图),有10年各观察站的年降水量数据.为了节省开支，想要适当减少气象站. 问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？ 如何利用熵的

60、概念解决此问题，给出解决问题的思路。一. 问题分析首先找出问题中的关键词，进行联想.减少 站数 删除原则保持 信息量 各站关系降水数据足够大衡量指标衡量指标熵降水数据二. 问题的分解初态：12个气象站的年降水数据。（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其它条件.） 目标态：减少气象站数，并保持降水量足够大的信息量.过程：（将做的事情）(1) 信息量的衡量（用熵）；(2) 给出删除气象站的条件及原则；(3) 建立保持足够信息量的判别条件；解决问题的惟一出发点(1) 确定各气象站的年降水量：的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值.(2) 分析判断各站年降水量(两两之间或多个变量间)是否存在相关关