第三部分：方程

1、 方 程沾益县播乐中学张朴花方程有理方程整式方程分式方程一元一次方程一元二次方程可化为一元一次方程的分式方程可化为一元二次方程的分式方程无理方程方程的应用整式方程知识结构图 考点清查一、方程及方程的解1、定义 2、方程的解的检验方法3、列方程的一般步骤（1）审：审清题意 （ 2）找：找出等量关系（3）设：设出未知数 （4）列：根据等量关系列方程（5）解：解方程，求出未知数的值（6）验：检验所求未知数的值是否是方程的解，是否具有实际意义（7）答： 二、一元一次方程1、定义：在整式方程中，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程叫一元一次方程，一元一次方程的标准形式是： ax+b=0(a0）

2、2、一元一次方程的特点：（1）方程是整式方程，即方程中根号下不含未知数，分母上不含未知数；（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项后能化成ax=b（a0）的形式，即化简后满足只含一个未知数未知数的次数是13、解一元一次方程：（1）分子分母的系数化整；（2）去父母（方法）（3）去括号（4）移项（5）合并同类项（6）系数化为15、32x13（2x-1）3=5注意：方程ax+b=0的解当a0时，方程的解为x=b/a；当a=0，b0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程的解为全体实数。三、一元二次方程1、定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程；2、定义分析：一个方程是不是一元二次方程

3、，必须满足两个条件：（1）方程是整式方程，即方程中根号下不含未知数，分母上不含未知数；（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项后能化成ax2+bx+c=0（a0）的形式.即： 只含一个未知数 未知数的次数是2。示例：判断下列方程是否一元二次方程：1、a2=3； 2、 (x2+3x)2=5； 3、3yy3=3； 4、t/2+t2=0； 5、 y22y30； 五、一元二次方程的解法1、直接开平方：2、配方法：移项：把未知项移到方程左边，常数项移到右边把二次项系数化为1：在方程两边除以二次项系数a.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方分解因式：利用完全平方公式把方程左边分解因式，化为（mx+

4、n）2a（a0）的形式；直接开平方得mx+n分别解一元一次方程得出一元二次方程的解。3、公式法：方程ax2+bx+c=0,且=b2-4ac0，则4、因式分解法：如果ax2+bx+c(ex+f)(mx+n)， 则ax2+bx+c0的根为x1=f/e ，x2=n/m.例、用适当的方法解下列方程 （x+3）216x 3（4x29）2（2x3）0练习：用适当的方法解下列方程（1） x2-2x-2=0 （2）（y-5）(y+7）=0（3）x（2x-3）=（3x+2）（2x-3） （4）（x-1）2-2（x2-1）=0（5）2x2+1=2x （6）2（t-1）2+t=1分析：解一元二次方程要根据方程的特征

5、，采用不同的方法。但一般顺序为：直接开平方法因式分解法公式法，一般不用配方法。公式法是解一元二次方程的万能钥匙，但不一定是最简单的方法。六、一元二次方程根的判别式及应用1、根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式b24ac.注意：在使用根的判别式解决问题时，必须将一元二次方程化为一般式（即：ax2+bx+c=0(a0)，以便确定a、b、c的值。2、判别式的性质与应用一元二次方程的判别式的应用主要有以下三种情况。（1）不解方程，判断一元二次方程的根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；（3）应用判别式证明方程根的情况。例1、已知关于x的一元二

6、次方程x22x+a=0有实数根，求a的取值范围。例2、已知关于x的一元二次方程: x22(m+1)x=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）选取一个合适的整数m，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根。例3、已知方程x2+kx1=0，求证：方程有两个不相等的实数根。七、一元二次方程根与系数的关系如果ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，那么根与系数的关系的应用：（1）验根、求根或确定根的符号；（2）求与根相关的代数式的值，如： x12+x22=（x1+x2）22x1x2 x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)例1、若m0，n0，试确定关于x的一元二次方程x2+mx+

7、n=0的根的情况。答：有两个异号的实数根，正根的绝对值较大。例2、已知关于x的一元二次方程ax2+x-a=0(a0).求证：对于任意非0实数a，该方程有两个异号的实数根。例4、已知x1、x2是方程2x2x70的两个根，求x12+x22的值。例5、已知关于x的一元二次方程 x2+kx1=0.求证：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x1、x2，且满足x1+x2x1x2，求k的值。八、列方程解应用题的一般步骤：1、审：审题，分析题目中的已知是什么，求什么，明确各数量之间的关系；2、找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x，但也

8、有例外）；（4）列：根据这个相等关系列出所需要的代数式，从而列出方程；注意：列方程时，方程两边要是同一类量，且单位要统一；一般情况，题中所给条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用，重复利用某一个条件，会得到一个恒等式，无法求解。（5）解：解所列出的方程，求出未知数的值；（6）验：检验所求出的未知数的值是否正确，是否符合题意；（7）答：写出答案（包括单位名称）注意：书面步骤只写“设、列、解、答”四步。例1、某车间每天能制作甲种零件500只，或制作乙种零件250只，甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各要制作多少天？例2、某中学的学生自己动手整修操

9、场，如果让七年级学生单独工作，需要7.5h完成，如果让八年级单独工作，需要5h完成，如果由七、八年级一起工作1h,再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？例3、市政府为了解结市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？例4、某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250，因为准备工作不足，第一天遗留下当天任务的20，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440。求：（1）该工程队第一天拆迁的面积；（2）如果该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增

10、长的百分数相同，求这个百分数。考点清查：考点1、分式方程的概念和特征分母中含有未知数的方程叫做分式方程。注意：分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数。分式方程考点2、增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫方程的增根。解分式方程时，有可能产生增根（使方程中分母为0的根）因此解分式方程要验根（其方法是代入最简公分母中，是最简公分母为0的根是增根，否则不是）注意：（1）增根能使最简公分母的值为0；（2）增根是分式方程去分母后的整式方程的根。考点3、常见的两种形式的分式方程1、可化为一元一次方程的分式方程：去掉分母后，化简结果为一元一次方程的分式方程，此种类型为中考的重点

11、。2、可化为一元二次方程的分式方程：去掉分母后，化简结果为一元二次方程的分式方程。 题型1、解分式方程的思想和方法1、解分式方程的基本思想划归思想解分式方程的思想是把分式方程转化为整式方程。2、解分式方程的基本方法（1）去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，通常是在方程的两边同时乘以各分式的最简公分母，约去组成分式方程的每一个分式的分母，使分式方程转化为整式方程，但去分母会产生增根，所以需要检验。题型归纳用去分母法解分式方程的一般步骤：去分母，将分式方程转化为整式方程；解所得的整式方程；把所得整式方程的根代入最简公分母检验，舍弃增根，然后作答。（2）换元法有些方程，采用去分母法，会导致所得整

12、式方程比较复杂或出现高次方程，给我们解题带来难度，而分式方程中的分式与整式或分式与分式之间有着紧密的连续：如一个分式的分母与整式相同；两个分式互为倒数等，此时，利用换元法，可使分式方程化为整式方程，高次方程化为低次方程，从而降低解题难度。用换元法解分式方程的一般步骤：设辅助未知数，代替分式方程中具有一定特征的代数式；解所得关于辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值；将辅助未知数的值代入所设，求出原未知数的值；检验做答注意：分式方程解法的选择是先特殊，后一般，即先考虑能否有换元法，若不能，再用去分母法。题型2、列分式方程解应用题（1）列分式方程解应用题的一般步骤：审题； 设未知数； 找等量关系，列

13、分式方程； 解分式方程； 验根：先检验是否有增根，再看是否符合题意； 写出答案。例、某中学库存960套旧桌登，修理后捐助贫困山区学校，现有甲、乙两个木工小组都想承包这项业务，经协商后得知：甲单独修理这批桌登比乙多用20天，乙每天比甲多修8套；学校每天需付甲修理费80元，付乙120元。（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌登多少套？（2）在修理桌登过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活，现在有以下三种修理方案供选择：由甲单独修理；由乙单独修理；由甲乙共同合作修理。你认为哪种方案既省时又省钱。考点1、二元一次方程的有关概念及解法1、二元一次方程的概念含有两个未知数，

14、并且未知项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程。方程与方程组的应用考点清查注意：（1）、二元一次方程中，未知数的个数必须是2个；（2）“未知项的次数是1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，切不可以理解为两个两个未知数的次数都是1，如3xy20中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但未知项“3xy”的次数是2，所以它不是二元一次方程；（3）二元一次方程的左边和右边都是整式，如1/xy1不是二元一次方程，因为它的左边不是整式而是分式。2、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a0,b0)注意：判断某个方程是否是二元一次方程，一般可先化成ax+by+c=0的形式，再根据定义进行判

15、断。例、判断方程2x+3y=1+2x是否二元一次方程。3、二元一次方程的解的求法：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，如求y2x=1的解，先变形为y=2x1，然后给出x一个值，代入求y.注意：二元一次方程的解是成对出现，而且有无数多对。考点2、二元一次方程组的有关概念1、二元一次方程组的定义两个二元一次方程和在一起，就组成了一个二元一次方程组。如：注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过两个，其中的方程也可以是一元方程，只要整个方程组中未知数的个数是2个即可。如：x+y=2x-y=13a+b=04a+b=1X=12x-y=03y=62x-1=0X+

16、y=12、二元一次方程组的解例、判断下列各组数是不是二元一次方程组 的解考点3、二元一次方程组的解法（1）用代入法解二元一次方程组 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中选定一个系数比较简单的方程，再从此方程中选择一个系数比较简单的未知数进行变形，用含另一个未知数的代数式表示这个未知数，即y=ax+b或x=ay+b的形式； 2xy=5 3x+y=10 x=7y=7（1）x=3y=1（2）3x+2y=5 y=1x 将变形后的方程y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程消元得一元一次方程；解一元一次方程，求出其中一个未知数的值；将求出的未知数的值代入变形y=ax+b或x=ay+b中，求

17、出另一个未知数；结论：将两个未知数的值用“”联立起来，得到方程组的解。（2）用加减消元法解二元一次方程组步骤：选择一个系数比较简单的未知数作为消元的对象，寻找该未知数在两个中系数的最小公倍数，利用等式的基本性质，将原方程组化成有一个未知数的系数相等或相反的形式；若有一个未知数的系数相等，则两个方程相减，若有一个未知数的系数相反，则相加，从而由二元消为一元；解消元后所得的一元一次方程，求出一个未知数的值；把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的一个方程，求另一个未知数的值；将两个未知数的值用“”合写在一起即可。例2、解方程组例1、解方程组3xy=5 5x+2y=23 考点4、三元一次方程组及其解

18、法一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的一般步骤是：1、利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，削去两组中的同一个未知数，得到一个二元一次方程组；2、解二元一次方程组，求出另两个未知数的值；3、将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一元一次方程；4、解一元一次方程，求出第三个未知数的值；5、将三个未知数的值用“ ”合写在一起。考点5、列方程（组）解应用题一、列方程（组）解应用题的一般步骤：1、把握题意，搞清条件是什么？要求什么？2、设未知数3、找出等量关系（一般设几个未知数，就找几个等量

19、关系）；4、列方程（组）6、验根：看根是否满足题意7、写出答案（包括单位） xz=3 z2y=1 x+yz=2 x+yz=11 y+zx=5 z+xy=1 例、解方程组x+y=2 y+z=7 x+z=13 直接设未知数问什么设什么间接设未知数5、解方程（组）例、一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，在树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就是一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？二、二元一次方程的整数解问题由于二元一次方程的解的不唯一性（无数多个）在实际生

20、活中又有较多的例子可以求出二元一次方程的整数解。例1、李聪拿10元钱买圆珠笔和笔记本，已知圆珠笔一元一支，笔记本二元一本，李聪共有几种不同的买法？例2、某电视台黄金时段2min广告时间内，计划插入长度为15s和30s的两种广告，15s广告每播一次收费0.6万元，30s广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，问：（1）两种广告的播放有几种安排方式？（2）电视台选择哪种方式播放收益较大？解：（1）设15秒广告播放x次，30秒广告播放y次，则 15x+30y=120 x=82y x2且x为整数 y 2且y为整数题型1、行程问题例1、甲、乙两地间铁路长2400千米，经技术改造后，列车实现

21、了提速，提速后比提速前速度增加20千米/小时，列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米/小时，请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？解：设提速后列车的速度为x千米/小时.解得x1=120，x2=100（舍去）经检验，x=120是原方程的根.120140，仍可以再提速答：略题型归纳例2、甲、乙两地相距217.5km，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两地出发，相向而行，已知慢车每小时行驶35km，快车每小时行驶65km.如果慢车先开0.5h，问慢车开出后几小时两车相遇？题型2、增长率问题例、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共48

22、0台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10，乙种机器产量要比第一季度增产20 ，该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？题型3、工程问题例1、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做15天完成，现在先由甲、乙合做若干天后，剩余部分由乙独做，先后共用了12天，问甲做了几天？例2、有一市政建设工程，若由甲、乙两个工程队合做，需要12个月完成，若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合做，还需要9个月才能完成。（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需要多少个月。（2）已知甲队每月施工费用为5万元，乙队每月施工费为3万元，要使该工程施工总费用不超过95