统计学原理 第四章 第三 平均指标

1、第四章综合指标任课教师：汤来香主要内容：1总量指标2相对指标3平均指标4标志变异指标作业：习题四、五第三节平均指标一、平均指标概述二、平均指标的计算三、各种平均数的比较一、平均指标概述平均指标：又称为平均数，它是表明同类社会经济现象(或同质总体)各单位某一数量标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平的综合指标。同质总体的特点：每个单位都有许多数量标志来表明它们的特征；这些特征的数量取值有大有小差异很大，分布有多有少参差不齐；个别单位又具有共同的质的规定性。平均指标的特点：只能就同类现象计算（同质性）；具有抽象性与代表性；反映了总体分布的集中趋势。平均指标的作用：消除总体数量差异使其有可比性

2、；反映现象总体的发展变化趋势；可以作为论断事物的一种数量标准或参考。分析现象之间的依存关系；是统计推断的基础。平均指标的种类：动态平均数(序时平均数)静态平均数(一般平均数)位置平均数众数中位数四分位数算术平均数调和平均数几何平均数数值平均数平均指标静态平均数与动态平均数：静态平均数：反映的是同质总体内各单位某一数量标志在一定时间地点条件的一般水平。动态平均数：反映的是某一总体某一指标值在不同时间上的一般水平。数值平均数与位置平均数：数值平均数：指根据总体各单位标志值计算的平均数。其特征是平均指标数值的大小受各标志值大小和对应单位数的影响。位置平均数：指根据总体某一标志值在分配数列中所处的位置

3、来确定的平均数。其特点是平均指标数值的大小不受极端标志值大小的影响。二、平均数的计算（一） 算术平均数（二） 调和平均数（三） 几何平均数（四） 众数（五） 中位数（一）算术平均数分子、分母必须属于同一总体；分子、分母有一一对应的数量关系，即一个单位数必须对应一个标志值，分母是分子量的承担者，分子、分母不能互换。算术平均数与强度相对数的区别含义不同强度相对指标是两个性质不同但有一定联系的总量指标之比；而平均指标则表明同类现象在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平。计算方法不同强度相对指标的分子与分母分别来自不同的总体，一般没有直接的依存关系，且有的强度相对指标分子、分母可以对换，有正指标与逆

4、指标之分；而平均指标的分子是总体标志总量，分母则是同一总体内的总体单位总量，两者有密切的关系，总体单位总量的变化必然会引起总体标志总量的变化，平均指标的分子与分母不能对换。1简单算术平均数x变量值(标志值)n总体单位总量【例】某车间某小组，5 名工人某种零件的日产量分别为5、6、7、8、9件，则5名工人的平均日产量为：的性质：123即问即答2加权算术平均数若有些标志值出现若干次，应运用加权算术平均数。根据已分组资料计算：f：标志值出现的次数，即各组单位数。 【例】某生产班组有10名工人，日产量15件有1人，16件有2人，17件有3人，18件有4人，则平均每人日产量为：某车间100名工人日产零件

5、数资料如下：该车间工人日产零件的平均数为：影响加权算术平均数大小的因素：变量值（x）大小，权数的结构（ ff ） 。 f：绝对权数，ff ：相对权数。各组次数（f）对平均数的大小具有权衡轻重的作用所以又称为权数。把变量值乘以次数的过程叫做加权，平均数以加权的方法取得，所以称为加权算术平均数。相对权数起权衡轻重的作用：权数对平均数权衡轻重的影响不是取决于绝对权数 f 的多少，而是取决于相对权数 ff 的大小。算术平均数向相对权数大的标志值逼近。用比重权数计算的加权算术平均数更明确地显示了权数的实质。注在变量值一定的条件下，只有当次数的结构发生变化时 才发生变化，若数列中的次数 f i 均同时扩大

6、或缩小 k 倍，是不会发生变化的。注简单算术平均数实际上是权数相等的加权算术平均数，是加权算术平均数的特例。组距数列计算平均数：假定各组内的标志值是均匀分布的，先求出各组的组中值，并以组中值代替各组的组平均数，再计算平均数。计算结果可能有些偏差，只是平均数的近似值。通常，组距越小，越接近于实际的平均数。某班学生统计学考试平均成绩计算表该班学生统计学考试的平均成绩为：3算术平均数的数学性质算术平均数与总体单位数的乘积等于各单位标志值的总和，即：离差之和等于零，即：各个变量值与算术平均数离差平方和为最小值，即：【证明】： 如果每个变量值都加上一个固定的常数c，则平均数也加上常数c，即：如果每个变量

7、值都乘以一个固定的数c(c0)，则平均数也乘以常数c，即：算术平均数的简捷公式：例：500户居民生活支出情况表500户居民平均每户周生活支出例：500户居民生活支出情况表500户居民平均每户周生活支出算术平均数的特点：算术平均数适合用代数方法运算，因此运用比较广泛；易受极端变量值的影响，使平均数的代表性变小；受极大值的影响大于受极小值的影响；当组距数列为开口组时，由于组中点不易确定，使平均的代表性也不很可靠。（二）调和平均数调和平均数：是各变量值倒数的算术平均数的倒数，又称为倒数平均数。再计算这种算术平均数的倒数，即：计算上述各个变量值倒数的算术平均数。即：先计算各个变量值的倒数，即： 调和平

8、均数的计算方法：【例】富迪超市小白菜上午的单价是2元公斤，傍晚降到1元公斤，小王上午、傍晚各买了1元钱的小白菜，问小王购买的小白菜的平均单价是多少？【例】若上例中小王上午、傍晚的小白菜的购买额并不都是1元钱，而分别是2元和3元钱，那么小王购买的小白菜的平均单价又是多少呢？调和平均数的应用：调和平均数是作为算术平均数的变形 来应用的，应符合基本公式： 当m=xf，即f=m/x时有：其中m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次数，而是各组标志值总量。 平均数权数的选择作为对比的两个指标都可以作为权数：掌握了分子(m=xf)，采用调和平均数的形式。掌握了分母f，用算术平均数的形式。平均数的计算步骤

9、：确定x，求谁的平均数，谁即为x；写出平均数的基本计算公式；分别求出分子、分母；将分子、分母相比，计算出平均数。某公司所属甲、乙两企业的劳动生产率及产值资料如下表，要求：分别计算甲、乙两企业的平均劳动生产率。【例】甲、乙两企业生产情况表【解】甲企业平均劳动生产率为：乙企业的平均劳动生产率为：调和平均数的特点：如果数列中有一标志值为0，则无法计算 ；受所有标志值的影响，它受极小值的影响大于受极大值的影响；但较之算术平均数，受极端值的影响要小，适用范围较小。某企业某月份按工人劳动生产率分组的班组和产量资料如下求该企业工人的平均劳动生产率。练习【解】 该企业工人的平均劳动生产率为：某公司有15个企业

10、，有如下资料，试计算15个企业的平均单位成本。练习2【解】 该公司15个企业的平均单位成本为：（三）几何平均数几何平均数：是n个变量值乘积的n次方根，适合于计算标志值的连乘积等于总比率或总速度的社会经济现象的平均比率或平均速度。1简单几何平均数(x0)可改换成对数的形式：【例】 ：生产某种产品需要连续经过3道工序，根据经验，各道工序的合格率分别为99%、98%、96%，试计算生产该产品三道工序的平均合格率。解：加权几何平均数设某笔为期20年的投资按复利计算收益，前10年的年利率为10%，中间5年的年利率为8%，最后5年的年利率为6%。则20年后的本利率（本利和与本金之比）为：从而，整个投资期内

11、的年平均利率为：（四）众数 ( Mode )1概念众数指总体中出现次数最多的标志值。它能够鲜明地反映数据分布的集中趋势，是一种位置平均数。M0M0 若有两个次数相等的众数，则称复众数。 只有总体单位数比较多，而且又有明显的集中趋势时才存在众数。M0M0M0下三图无众数：在单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时，计算众数是没有意义的。众数（）的确定未分组资料，出现次数最多的标志值就是众数。单项数列：次数最多的那个组的标志值就是众数。皮鞋尺码 (码)销售量 (双)37383940414243124194204321262184101合计 1390某种皮鞋销售情况表【例】M0某种商品的价格情况表

12、【例】M0价格 (元)销售数量 (千克)2.00 202.40 603.00 1404.00 80合计 300组距数列众数的确定由最多次数来确定众数所在组；利用比例插值法推算众数的近似值。注：组距数列众数的数值与其相邻两组的频数分布有一定的关系如果众数组相邻两组的次数相等，众数组的组中值就是众数，如果众数组相邻两组的次数不等，则哪边的次数大，众数就靠近哪一边。组距数列计算众数的公式：说明：其中：f众数组（次数最多的组）次数f-1众数组前一组次数f+1众数组后一组次数XL、X、d众数组下限、上限、组距。【例】某班学生统计学考试成绩表求众数如下：f=19，f-1=10，f+1=3，XL=80，XU

13、=90，则：或者用上限公式计算：众数的特点：众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性。不受极端值和开口组数列的影响。众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。（五） 中位数Me (Median)1概念中位数：将总体各单位的标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个标志值就是。2中位数的确定关键在于找出总体各单位的中间项的位置点即中位数所在的位置，其标志值就是中位数。未分组资料确定Men为奇数：n为偶数：单项式数列确定M

14、ef为奇数：f为偶数： 组距数列确定Me用向上累计或向下累计频数，找出第f/2个单位所在的组，即Me组，该组的上下限就规定了Me的取值范围。假定Me组内的各单位是均匀分布的，用比例插值法求出Me的近似值。组距数列确定Me的公式：其中：fm中位数组的次数Sm-1中位数所在组以下的累计次数（向上累计次数）Sm+1中位数所在组以上的累计次数（向下累计次数）XL、XU、d中位数组的下限、上限和组距。某班学生统计学考试成绩表【例】求中位数如下：f =40，fm=19，Sm-1=18，Sm+1=3XL=80，XU=90，d=10，代入下限公式：或者用上限公式计算：中位数的特点：中位数也是一种位置平均数，它

15、也不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。各单位标志值与中位数离差的绝对值之和是个最小值。对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象，可以用中位数求其一般水平。三、各种平均数的比较（一）各种平均数的关系根据同一资料有：、e、0之间存在着一定的数量关系，且这种关系取决于变量次数分布状况。标准正态分布时Oxf左偏时，MeM0fx0右偏时， M0Mexf0所以：皮尔生规则：根据大量经验数据表明：在钟型分布适度或轻微偏斜的情形下，中位数与算术平均数的距离大约只是众数与算术平均数距离的三分之一。即：【例】：一组工人的月收入众数为700元，月收入的算术平均数为1000元，则月收入的中位数近似值是：（二）应用

16、平均指标应注意的问题注意社会经济现象的同质性 所谓同质性，就是社会经济现象的各个单位在被平均的标志上具有同类性，不同质的现象，不能用来计算平均指标，这是计算平均指标的基本前提。否则，平均数不仅不能反映总体的本质特征，而且还会抹煞现象之间的本质区别，歪曲现象真相。注意用组平均数补充说明总平均数因为根据同质总体计算的总平均数，虽然可以反映总体标志值的一般水平，却掩盖了其它方面的差别，特别是结构上的差别。有必要应用分组法，计算组平均数，补充说明总平均数，正确分析与说明事物发展、变化的情况，克服认识上的片面性。【例】某行业甲乙两企业职工工资资料如下：用分配数列补充说明平均数由于平均指标将各单位标志值的

17、差异抽象化了，反映的是总体各单位该标志值的一般水平，因而掩盖了总体各单位的差异及其分配情况，有时这种差异是不能被忽视的。某企业生产定额完成情况如下该企业总的生产定额平均完成103.4%【例】用变异指标补充说明平均指标平均指标反映了总体分布的集中趋势；变异指标反映了总体分布的离中趋势；它可以补充说明平均数代表性程度的高低，可以说明现象变动的均衡性和稳定性。国家统计局公布2009年职工工资统计数据，其中城镇非私营单位在岗职工年平均工资为32736元，而私营单位就业人员平均工资仅有18199元，差距明显。蜘蛛深爱着蚂蚁，表达爱意时却遭到拒绝，蜘蛛大吼：“为什么？这一切是为什么？”蚂蚁胆怯地说：“俺妈说了，成天在网上呆着的都不是好人！”课间休息父亲对好友说：“近来，我儿子经常干不正经的事，也不听我的劝告，他只听白痴的话。请你劝劝我的儿子吧。”课间休息课间休息中午做饭，妈妈给我一盆胡萝卜：“去，把胡萝卜切成肉丁！”爸妈吵架，我爸气得说了句：“我给你滚出去！”课间休息工会主席一番慷慨激昂的演说之后，最后一句达到了高潮：“同志们，让我们今年的工作做得比明年更好！”全场皆倒。课间休息一个路人问一个小女孩：“小妹妹，请问，这两条路，通什么地方？”小女孩道：“东边的一条，可以通我的家，西边的一条，不通我的家。”爸爸带着小儿