八年级数学上册人教版-13.4 课题学习 最短路径问题

1、13.4 课题学习 最短路径问题R八年级上册新课导入导入课题 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题. 同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.学习目标（1）能利用轴对称变换解决实际问题.（2）能利用作图解决生活中的轴对称问题.（作图建模）推进新课知识点1将军饮马问题问题1从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线 BAlC 设C 为直线上的一个动点，上面的问题就

2、转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图） 联想BlA 如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？两点之间，线段最短. 连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求. 如果我们能把点B移到l的另一侧B处，同时对直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况.BAlCB 作出点B关于l的对称点B ，利用轴对称的性质可以得到CB=CB.连接AB，与直线l 相交于点C则点C 即为所求 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ BlABC证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C

3、 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC在ABC中，ABAC+BC，AC +BCAC+BC即AC +BC 最短巩固练习 练习1 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图，P点即为该点.知识点2造桥选址问题 如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与

4、河垂直.） 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A，则AA = MN，AM + NB = AN + NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时， AN+NB最小？连接AB与b相交于N，N点即为所求.巩固练习 练习2 牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.ABPQ.随堂演练基础巩固1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小.AB(1).2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.综合应用3. 如图，M、N分别是ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使PMN的周长最小.解：如图，作点M关于BC的对称点M，连接MN，交BC于点P，则PMN的周长最小.拓展延伸4.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由.解：如图，作B点关于MN的对称点B，连接AB并延长，交MN于点P，点P即为所求. 理由：点A，B，P在同一条直线上时，PA-PB最大，即PA-PB最大.课堂小结归纳 在解决最短路