专题04函数的奇偶性题型归纳

1、专题04函数基本性质（奇偶性）一、学法指导与考点梳理L函数的奇偶性（1）.函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（-x） = /（x）,那么函数/（X）是偶函数图象关于y轴对称奇函数如果对于函数/（X）的定义域内任意一个工,都有 f（T）= -f（X）,那么函数/（X）是奇函数图象关于原点对称注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意 一个x, -X也在定义域内（即定义域关于原点对称）.（2）.函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单

2、 调性相反.（2） /（x）, g（x）在它们的公共定义域上有下面的结论：/(A)g(x)f(x) + g(x)fM-gW/(x)g(x)/(g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括0,则/（0） = 0.（4）若函数/（X）是偶函数，则 /（-%） = /（%） = /（|x|）.（5）定义在（YO,一）上的任意函数/（X）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.若函数y = f（x）的定义域关于原点对称，则f（x）+f（T）为偶函数,fx）-

3、f（-x） 为奇函数，/（1）/（一工）为偶函数.重难点1判断或证明函数的奇偶性.复合函数的单调性奇函数十奇函数二奇函数，偶函数+偶函数二偶函数：奇函数X奇函数二偶函数，奇函数X偶函数二奇函数，偶函数X偶函数二偶函数：.判断函数奇偶性的常用方法及思路:（1）定义法：（2）图象法:（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、枳、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可 依据X的范围相应地化简解析式，判断/（X）与/（八）的关系，得出结论，也可以利用图象 作判断.性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.性质法在选择题

4、和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.例.(1)判断下列函数的奇偶性.产+2 Cv0)(1)危)=T；(2)=F十(3)危)=10(A=0)一.v22 (.v021 ),厂一l,x/x2-l ,不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数.对于C,函数的定义域为(S,O)U(O,4S)，关于原点对称.当R0时，f(-x) = -l(-x)2-l=-(1x2 + l) = -f(x)：当 X 0【变式训练】(初9喋湖中学高一期中)函数心)=；)为奇函数，则心【解析】由函数f(X)为奇函可得，f ( -X)=-f (x)5x5x,7-；7777 = 7；777；，- 5x (4x - 3)

5、 (x+a) = - 5x (4x+3) (x - a)(-4x + 3)(-x-“)(4x + 3)(x-)3 (4a-3) x2=0,，4a-3=0 即 a=二，故选：C.4(2)设函数/()= 3+1卜+4)为奇函数，则=o【解析】由函数/(戈)=(/ + 1卜+ )为奇函数得到/(0)= 0,即(O?+1)(0 + ) = 0 所以 =0(3)(202。.四川省泸县第二中学高一月考)设函数/(1)=1+(。 12+以，若“X)为 奇函数，则。的值为()A. 0B. 1C. -1D. 1或0【解析】/) = +(a-1)x2 +ax,f(-x) = -x +(a-)x2-ax,/(a)为

6、奇函数，故/(-a) = -/(x),xeR恒成立，即2(。-1)产=0/eR恒成立，所以“ =1,正确答案为B.重难点3利用函数的奇偶性求解析式例3. (1) (2020.四川成都市.棠湖中学高一月考)已知X)是奇函数，当x0时f(x) = -x(l+x) t 当x0时，/(x)等于()A. -x(l - X)B. A(l-A)C. -X(l + A)D. x(l+x)【解析】当x0, Rijf(-x) = x(l-x).又f(x)是R上的奇函数，所以当x0时f(x) = -f(x) = x(l x).故选项A正确.(202。四川省宜宾市第四中学校高一月考)已知/(X)是定义在R上的偶函数，

7、当X2 0时，f(x) = x2-xt则当x0时，/()的解析式是()A. f(x) = X2 -XB. f (x) = -X2 - XC. f(x) = x2 +XD. f (x) = -X2 + X【解析】设x0,因为x0时，f(x) = x2-x所以/()=(_刈2一(_幻=/+工，又因为了)是定义在R上的偶函数，所以/(-x) = /(x)J(x) = /+x,故选：C【变式训练1】(202。.四川成都市.成都外国语学校高一期中)已知函数/(X)是奇函数，当工0时，/(x) = x(6 + x),则当x0时/*)=.【解析】设 X0,由当 X0 时/(x) = M6 + x)可得 f(

8、-%) = r(6 x).再由函数为奇函数可得一/W = -a(6 - x), .,./(%) = x(6 x).故x0时，/1) = /-3则当0时，f ()=/-x,二(一工)=/+工口,.(同是偶函数,则f(T)= f(x), .,J(x) = f+x (x2-10 =,+可得：20 = 10+M,解得M=30,即/=-30.故答案为：-30(3)已知函数N = /(x) + x是偶函数，且/=1,贝11/(-2) =.【解析】因为y = /(x) + x是偶函数，所以设g(X)= /(X)+ X,则 g(-x) = /(-x)-x = /(x) + x,即/(-x)-/(x) = 2x

9、,因为2) = 1,所以/(2)_/(2) = 2x2 = 4, Kp/(-2) = 4 + /(2) = 4 + l=5重难点5奇函数与图像例5-1. (1)奇函数“X)定义域为3,3,当x0,3时，八公如图所示，不等式/(x)0的解集为(2019.四川省仁寿县文宫中学高一期中)已知/(X)为奇函数，且在(0,+”)上是递 增的，若/(一3) = 0,则4(耳0的解集是()A. xl-3x3b. xlxc-3或x3c. xlx-3或0 x3D. xl-3x0时，4(x)0n/(x)0 = /(3)=x3：当x/Wx-3.故选：B(2020,成都市温江区东辰外国语学校高一月考)设奇函数/(力在

10、(0,+8)上为增函数，且/(1) = 0,则不等式4(x+l)v0的解集为() 【解析】根据题意，函数/(X)在(0,+8)上单调递增且/=0,则在区间(0,1)上,/(x)0,在区间(l,xo)上，又由/(%)为奇函数,在区间(一8,1)上，/(x)o,则 M.(x+l)v0,可得：x0或0/ -.、g + l)。解得20；在(1,2), /(x)0:由/(X)为奇函数，图象关于原点对称,在 X0 时，在(ro,2)51,0)，/U) 0 ；又y = V(x),在xNO时与y = f(x)同号,在xvO时与y=/(x)异号故不等式4(力0的 解集为.【变式训练3】(2020.四川省成都市第

11、四十九中学校高一月考)设奇函数/()在(0，+ s)上为增函数，且/。)= 0,则不等式)二二)。的解集为()XA. ( l0)kJ(L + oo)B. (-o 1) kJ (0,1)C. (， 1)kJ(1，+ )D. (l，0)o(0，l)【解析】由F(X)为奇函数可知，&匕止n=出口0 时，/Cy)0 = A-1).又.(”)在(0, +8)上为增函数，奇函数f(x)在(-8, 0)上为增函数.所以00,当xe(2,0)U(2,+s)时，f(x)09所以由MXx1)20可得：x0-2x-l2x0或0 x-l2gU-l0, 求实数？的取值范围。【解析】./*)是定义在(2,2)上奇函数，对

12、任意工(一2,2)有“7：) = /(力由条件+ /(2加- 1) 0得/(zn-l)= /(I-2m) TOC o 1-5 h z 12.* /(X)是定义在(一2,2)上减函数: 一21 2712,解得一一m-2319/.实数川的取值范围是一!/- 23(2) (2020山东潍坊期中)已知奇函数x)在0, +8)上单调递增，且1)=1,则满足 |/(A1)|1的x的取值范围是()A. -1, 1 B. 0， 2 C. 1， 2 D.1, 3【解析】根据题意，得函数危)在(-8, 0上单调递增，且人- 1)=一1,则函数危)在R上 单调递增.若火、一1)区1,则一 1#l1月，即一 1与一闫

13、，解得00注2,即x的 取值范围为0, 2,故选B.+ 3 v x之0(3)(202。.四川成都市树德协进中学高一月考)已知/(%)=. , 7 一八，则不等式 -k +3x,x 0【详解】fW = ,一在(8,0)单调递增，在(0,+8)单调递增，且/(0)= 0,一厂 + 3x, x 0故/(力在R在单调递增的奇函数，则/(x-2) + /(/-4)= /(x2) /(4 一丁)。，Hp/(x-2)/(4-x2),./(幻在R上单调递增，.x 2v4/，即V+x60,解得一3工2,贝ij /(X 2) + /(x2 -4)/()，所以/(x)在(一1,1)上递减，又/(x)为奇函数，所以由

14、/(，) + /(，-Dvo,得/(r)-/(r-l) = /(1-z),所以-iv/vi,解得Jv/vi,即实数r的取值范围是(1,1).【变式训练2】(2020盘锦市第二高级中学)若函数/(X)是奇函数，且在定义域R上是减函数，/(-2)= 3,则满足一3v/(x3)v3的实数x的取值范围是()A. (1,5) B. (2,4) C. (3,6) D. (2,5)【解析】函数/(五)是奇函数，且在定义域K上是减函数，-3v/(x3)v3,即/(2)/(x-3)/(-2),则2,解得lx32x)的解集是()C.D.2一 ,+813【详解】当一3&XW0时，f(x) = x2-2x9可得了(X

15、)在一34x0上为减函数，又/(X)是奇函数，-3x + l/(3-2a) = -33-2x3 x +1 3 2x TOC o 1-5 h z -4 x 2r22、.0 x3解得。W1 即不等式的解集为.故选：B.2x0, x0,贝！I x./()(), ，xe(3,+co)时，f(x) 0 ,则 x./OvO,综上所述：不等式A- f(x) 0的解集为(-3,0) U (3, +0C).(2)(河南省金太阳2020年高一期中联考)已知偶函数f(x)在O.+x)上单调递增,/(4) = 3 , 则满足fix +1) 3的1的取值范围是.【解析】二/。)为偶函数且在。.y)上单调递增，匚/(幻在

16、(华上单调递减.结合偶函数的对称性可知，若/(x+l)v3,则Tvx+lv4,得5vx3,从而满足/U + 1) f (3)成立的x的取值范围是A. (1,+x) B. (-, 0)52, +00) C. (0,1) D. SO)【解析】根据题意，/(x+l)是偶函数，则函数/(X)的图象关于直线X=1对称，若y = /(x)在(-8, 1上单调递减，则/(X)在1, +00)上为增函数,/(2x-l)f(3) T2x 2II3 II,解可得x2,即x的取值范围是(-co, 0)D(2, +x)；故选B.(3)(202。.成都市实验外国语学校(西区)高一期中)已知函数人v)的图象关于)，轴对称

17、, 且危)在(一如0上单调递减,则满足/(3x + D/f1的实数.V的取值范围是()【详解】由题意/（x）是偶函数，且在。，）上单调递增,.不等式/(3x + l)/可变为/(|3x+l|).|3x+1|vL解得 J/2vxv故选：B.26【变式训练1】定义在-2, 2上的偶函数g（x）,当xO时，gG）单调递减,若g （1 m ） ca B. bacC. cabD. cba【解析】因为/（X）是R上的偶函数，所以 = /（2） = /（2）,匕=/（兀）=/（兀），又/支）在0,+8）上单调递增，所以/（兀）/（3）/（2）,即历c4.故选A.【变式训练3】已知定义在（7,+8）的偶函数/

18、*）在0,内）单调递减，若则%取值范围.2解：因为偶函数在0, +功单调递减，/（-l） = -p根据偶函数的对称性可知，f。）在（-8,0）上单调递增，且f（1）=-1,2由/（2x 1彦一；，可得TW2X -14，解得，0&W1,故答案为：0, 1【变式训练4】（2019.成都市第二十中学校高一月考）已知偶函数/（X）在。,十8）上单调递减，则满足/（2x 的范围为（）2A. （f,0）51，+o） B. （一，一） C. 0,1）D. （0,1）3【详解】因为/*）是偶函数，所以1|）,因为在。,*）单调递减,所以分一1|0时，/W1(1)判断函数/(x)是否为奇函数，(2)证明：/(X

19、)在R上是增函数，(3)若4) = 5,解不等式/(3/一一2)3.；解：(1)当。= =0时，解得/(0) = 1,显然函数不可能是奇函数，(2)任取网,乙火，且玉0，/./(x) ,/(电)_/(凡)0,/(1)在R上但增(3)令4=8 = 2,由题4) = 22)-1,则”2) = 3.f(3nr-/n-2)3 = f(2), (x)在R上单增，.3/_?_2v2，7,43m /? 40 ：.- m l时，/(x)0.(1)求/(1)与一1)的值；(2)判断并证明y = /(x)的奇偶性和单调性；(3)求不等式/(x) + f(x 1)为。，则上1,由题意得当X1时，/(x)0,所以x/

20、（-）0,则工2）= /（叫土）=”占）+ 马，即/（占）一/区）=/（ 2）。Vl玉玉X所以/。）在（0,+8）上为增函数，根据/（X）是偶函数，可得/*）在（-8,0）为减函数,综上/“）在（,0）为减函数，在（0,+8）上为增函数；t w 0（3）因为X）+ /（X_1）O,由题意可得/5*7）40,且_工0， 由（1）和（2）可得一 1Kx（x - 1）v0或Ovx（x - 1）K1,解得Kx0 或 Ovxvl 或 lx 1 ， 22故解集为Wx0或Ovxvl或1 x& -, ）【变式训练】（2020.四川成都市.树德中学高一月考）定义在/ = （2,0）口（0,2）上的函数/（x）,

21、对任意xye/,都有/（g，）= /（x） + /（），） 2,且当 Ovxvl 时，/（x）2.（1）求/与/（一1）的值；（2）证明/（力为偶函数：（3）判断 = /（）在（0,2）上的单调性，并求解不等式/（2工1）2.详解（1）令x=y = l,则/（1） = 2令x = y = l,则/（-1） = 2令丁 = 一1,则/（）= 工）+-1）-2 二 /（1），.工）为偶函数.（3）令= x = x2,设0再修2,则丁 = 土且0丁1/（%）-/（8）= /子2,/（内）再） y = f 0）在（0,2）上单调递减,又“X）为偶函数， TOC o 1-5 h z 322一11或 12

22、x12, 工0或1不 一,213/. x xvO或 1cx 一 22课后训练一、单选题(2。19.四川棠湖中学高一期中)设f(x) =必n + +A - 2是定义在2。,6 +可上的偶函数,贝+ +) =A. 10B. -10C. 8D. -8【详解】/(力=如3+/+/?工一2是定义在2。,6 + 4上的偶函数，f ( - x) =f (x)且 6+a+2a=0，即一优？+(戊2 一工一2 = 田？+以2 十/一？，且。=一2，一7 = /一b = b，即 “1 = 0, b = 0,/ (x) = -2r2/(m+ +/?) = /(2) = 8 2 = 10,故选：B(2020.成都市田

23、家炳中学高一月考)定义在R上的偶函数/(X)满足：对任意的.1/ f(x)-/(X ),%(,0(内。)，都有 ,” 。则()X2 一为A. /(3)/(-2)/(1)B. /(1)/(-2)/(3)C. /(-2)/(1)/(3)D. /(3)/(1)/(-2)【详解】由题意，对任意的不天(，/(内)一/(/)一2 -3. ./(-1)/(-2)/(-3),又/(X)是偶函数，./(-1) = /(1),/(-3) = /(3), ./(1)/(_2) =/(x) + /(x),则/(x) = /(r)./(x)为偶函数.故B正确，A不正确，选项C、D条件不够推不出来.故选：B.(2018.

24、四川省新津中学高一开学考试)定义在R上的奇函数/J),满足/=。，且在(0,)上单调递增，则#(a) 0的解集为(). xlxv-1 或X1B. xIOVXV 1 或一1 VX0C. xIO VX V 1 或X 1【解析】定义在R上的奇函数f(X)在(0, -Ho)上单调递增，且f (1) =0,函数f (x)在(-8, 0)上单调递增，且f ( - 1) =0, x0v (x0等价于l或-l&V-l, .不等式xf (x) 0的解集为xlxl或XV-1.故选A.(2019.四川省成都市郸都区第四中学高一期中)已知/)是定义在%,1-可上的偶函 数，且在纯0上为增函数，则/(2x l)/(2x)的解集为()【详解】(x)为以/。上的偶函数:A-b = -2l7,解得：b = -. / (在2,0上为增函数，在0,2上为减函数3-归 2x|由/(2彳-1)/(以)得：-22x-l2,解得:-x-22x2.2工-1)/(2力的解集为一天上，故选：B4 (2020.陕西西安市长安一中高一月考)函数在(-S,y)单调递减，且为奇函数.若/=-1,则满足一14/*-2)41的x的取值范围是().A. -2,2B. -1,1c, 0,4D. 1,3【解析】由函数由为奇函数,得/(1