量子力学基础知识

1、量子力学基础知识氢原子的线状光谱和玻尔原子结构理论实物微粒的波粒二象性内容简介不确定度关系345光电效应和光子学说2黑体辐射和能量量子化1黑体辐射与普朗克（Planck）能量量子化假设 所有物体都是发射出热辐射，这种辐射是一定波长范围内的电 磁波。对于外来的辐射，物体有反射或吸收的作用。 黑体：能全部吸收照射到它上面的各种波长的辐射而无反射的 物体。 黑体辐射所研究的问题：辐射与周围物体处于平衡状态时的能 量按波长（或频率）的分布。 黑体辐射能量密度与波长的关系是19世纪末物理学家关心的重 要问题之一。经典物理学在此遭遇严重困难。带有一个微孔的空心的金属球，非常接近于黑体，进入金属小孔的辐射，

2、经过多次吸收、反射，使射入的辐射完全被吸收，当空腔受热时，又能发射出各种波长的电磁波。 黑体黑体辐射E: 黑体辐射的能量;Ed: 频率在到 +d范围内、单位时间、单位表面积上辐射的能量。以E对作图，得到能量分布曲线。 规律：随着温度升高，同一频率的E增大，极大值向高频移动。实验得出: 平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。 黑体辐射按照经典物理学的方法，Rayleigh-Jeans 及 Wien等分别作了很多研究工作，但都不能满意地解释黑体辐射实验的能量分布曲线。黑体辐射Wien公式只适用于短波部分维恩公式Rayleigh-Je

3、ans公式只适用于长波部分，却引出了“紫外灾难”的争论，即波长变短时能量趋于无穷大，而不象实验结果那样趋于零。瑞利-金斯公式普朗克能量量子化假设1. 黑体由带电的谐振子组成，谐振子吸收或发射辐射的能量是不连续的。2. 每个谐振子都具有能量，这个能量一定是某一最小能量单位的整数倍。辐射能量的最小单位为 0 h普朗克常数：h=6.62610-34 Js量子数：nPlanck Planck在量子假设的基础上，采用与 Rayleigh-Jeans完全相同的统计力学方法，推导得出单位时间、单位面积上黑体辐射的能量分布公式 虽然Planck是在黑体辐射这个特殊的场合中引入了能量量子化的概念，但后来发现许多

4、微观体系都是以能量或其他物理量不能连续变化为特征的，因而都称为量子化。标志着量子理论的诞生。Planck获得1918年的诺贝尔物理学奖 .Planck 能量量子化假设的提出，标志着量子理论的诞生。在1900-1926年间，人们逐渐地把能量量子化的概念推广到所有微观体系。 普朗克能量量子化假设1-1光电效应与爱因斯坦(Einstein)光子学说 经典物理无法解释的另一个现象来自 H.R.赫芝1887年的著名实验。 这一实验极为有趣和重要, 因为它既证实了Maxwell的电磁波理论该理论认为光也是电磁波, 又发现了光电效应（photoelectric effect）, 后来导致了光的粒子学说。阴极

5、K是镀有金属或金属氧化物的玻璃泡内壁，玻璃泡内抽成真空阳极A是金属丝网。G 为电流表, V 为电压表GVAK当光照射到阴极K上时，使阴极上金属中的一些自由电子的能量增加，逸出金属表面，产生光电子。 只有当光的频率高于临阈频率时，才能从金属表面打出电子，临阈频率只与金属种类有关。 随着光强的增加，发射的电子数目增加，光电流增大，但不影响光电子的动能。 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。 1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案实验事实：经典物理学观点：光的频率仅仅决定了光的颜色，而光的能量则是由光的强度（振幅）决定的。光频率光电子动能mv 2/2斜率为h纵截距为-光不是看成一种波，光

6、是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位，称为光的量子或光子，光子的能量与光子的频率成正比， 即 =hv h-Planck常数，v-光子的频率 光子看成粒子，不但有能量()，还有质量(m)，但光子的静止质量为零。按相对论的质能联系定理=mc2,光子的质量m =c-2 = hvc-2 ，所以不同频率的光子有不同的质量 。光子既然有质量，就必然具有一定的动量，光子具有一定的动量，p=mc=hv/c=h/ 光子的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子的密度 Einstein光子学说EinsteinEinstein 首先认识到 Planck 提出的能量量子化的重要性，他将能量量子化的概念应用

7、于电磁辐射。1905年，Einstein提出了光子学说，内容如下： 光子与电子碰撞时服从能量守恒与动量守恒定律。 将频率为的光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一个光子的作用时，产生光电效应，光子消失，并把它的能量传给电子。电子吸收的能量，一部分用于克服金属表面对它的束缚力，另一部分就是电子离开金属表面后的动能 。式中W是电子逸出金属所需要的最小能量，称为逸出功，它等于h0；EK是电子的动能。 光子学说对光电效应的解释：1-2上式解释了光电效应实验的全部结果：当hW 时，光子没有足够的能量使电子逸出金属，不发生 光电效应；当h=W 时，光子的频率是产生光电效应的临阈频率(0) ；当hW 时，

8、从金属中发射的电子具有一定的动能，它随的增加而增加，与光强无关。 增加光的强度可增加光束中单位体积内的光子数，因此增加发射电子的数目。 （1-2）爱因斯坦光子学说对光电效应的解释 电子动能K = 光子能量E - 表面逸出能W 在承认光的波动的同时又承认光是由具有一定能量的粒子（光子）所组成。这样光具有波动和微粒的双重性质，就称为光的波粒二象性。标志光的粒子性的能量和动量，和标志波动性的光的频率和波长之间，遵循爱因斯坦关系式粒子波相互作用传播过程1-31-4光的波粒二象性光的波与粒子性的统一：粒子性标志： P 光强 （粒子的密度）波动性标志： 光强 2 所以：=k2 或 2 一般来说，与光的传播

9、有关的现象，如干涉，衍射和偏振，光的波动性表现的突出一些； 光与实物相互作用的有关现象，如光的反射（原子光谱），吸收（光电效应，吸收光谱）和散射等现象，光的粒子性表现的突出一些。 光具有波粒二象性，即在一些场合光的行为象粒子，在另一些场合光的行为象波。 粒子在空间定域，波不能定域。 光子模型得到的光能是量子化的。 光的波粒二象性氢原子的线状光谱与玻尔（Bohr）原子结构理论 当原子被电火花、电弧或其它方法激发时，能够发出一系列具有一定频率（或波长）的光谱线，这些光谱线构成原子光谱。 原子光谱光 谱借助于棱镜把复色光分解成单色光，被色散开的单色光按波长（或频率）大小而依次排列的图案 。 光谱分为

10、线状的、带状的和连续的。原子光谱谱线的特点：分立的、不连续的。里德堡公式(J.R.Rydberg)巴尔末公式（J.J.Balmer）巴尔末公式（J.J.Balmer）氢原子光谱的谱线系巴尔末系赖曼系帕邢系布喇开系普丰特系1903年，Thomson“葡萄干布丁”模型原子光谱是原子结构的信使。汤姆逊（）在研究电场中阴极射线的行为原子结构的认识原子结构的认识Rutherfold“行星绕日”模型实验基础 粒子散射实验主要观点1.原子内部存在着一个高度集中的原子核，它的直径比原子的直径小得多；2. 原子核带正电荷，正电荷量等于原子中的电子数量；3. 核外电子象行星绕太阳一样，在以核为中心，半径为10-8

11、cm的球内或球面上运动缺陷：1.电子为什么不落到原子核上？2.原子光谱为什么是分立的而不是连续的？ 3.宇宙间为什么只有有限多种原子？而不是无限多种？“玻尔”模型1913年Bohr= 普朗克能量量子说 + 爱因斯坦光子说 + 卢瑟福原子结构模型原子结构的认识原子结构的认识定态规则原子存在具有确定能量的状态 定态（能量最低的叫基态，其它叫激发态）定态不辐射能量。频率规则定态（E2）定态（E1）跃迁辐射 量子化规则电子轨道角动量核心 利用此模型，可以很好地说明原子光谱分立谱线这一事实，计算得到氢原子的能级和光谱线频率吻合得非常好。 1922年, Bohr获诺贝尔物理学奖. 但玻尔理论仅能够解释氢原

12、子和类氢离子体系的原子光谱。推广到多电子原子就不适用了。 Bohr的轨道角动量量子化对氢原子光谱的解释玻尔半径109737.31cm-1“爱因斯坦在1905年所作的发现应该可以推广到所有的物质粒子，明显地可以推广到电子任何物体伴随以波，而且不可能将物体的运动和波的传播相分离” 德布罗依实物粒子的波粒二象性实物微粒的波粒二象性及不确定原理 实物微粒是指静止质量不为零的微观粒子（m00）。 如电子、质子、中子、原子、分子等。 1924年de Broglie受到光的波粒二象性的启示，大胆提出了实物微粒粒子也具有波粒二象性的假设。他认为：19世纪在对光的研究上，重视了光的波动性而忽略了光的微粒性。但在

13、对实体的研究上，则可能发生了相反的情况，即过于重视实体的粒子性而忽略了实体的波动性。因此，他提出实物微粒也具有波性，以此作为克服旧量子论的缺点，探求微观粒子运动的根本途径，这种实物微粒所具有的波就称为物质波或德布罗依波。 德布罗依（De Brogile）关系式1-51-6式中， 为物质波的波长，P为粒子的动量，h为普郎克常数, E为粒子能量， 物质波频率。自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布罗意关系可知：与自由粒子联系的波，它的频率和波矢（或波长）都不变，即它是一个平面波。这个假设形式上与Einstein关系式相同，但它实际上是一个完全崭新的假设，因为它不仅适用于光，而且对实物微粒也适用。

14、De Broglie波的传播速度为相速度u, 不等于粒子运动速度v; 它可以在真空中传播，因而不是机械波；它产生于所有带电或不带电物体的运动，因而也不是电磁波.德布罗依（De Brogile）关系式 将动量为P的向一维方向运动的自由粒子（位能V=常数或V=0）与一维平面单色波相联系，可得一维实物波波函数。 1-8复数形式：量子力学中描写自由粒子的平面波必须用复数形式（1-8），而不能用实数形式（1-7）。实数形式：1-7 从科学方法论的角度讲, 由光的波粒二象性到实物微粒的波粒二象性是一种类比推理。 类比是由两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的思想方法

15、，是一种由特殊到特殊、由此类及彼类的过程。 类比可以提供重要线索，启迪思想，是发展科学知识的一种有效的试探方法。我们在研究工作中需要重视这种方法。然而，它是一种或然性推理，而不是必然性推理。因而有局限性，其结论的正确与否必须由实践来检验。De Broglie波的提出是类比法的成功典范动量为p的自由粒子，当它的运动速度比光速小得多时（c） 对电子等实物粒子，其德布罗依波长具有数量级。 1-9德布罗波波长的估算以1.0106ms-1的速度运动的电子，其de Broglie波波长为计算得到的波长大小相当于分子大小的数量级，说明原子中和分子中电子运动的波效应是重要的。但与宏观体系的线度相比，波效应是微

16、小的。 =（6.610-34J.s）/(9.110-31kg1.0106m.s-1)= 710-10m = 7 例 当V=102104V时，从理论上已估算出电子德布罗依波长为1.20.12，与x光相近（0.1100 ），用普通的光学光栅（周期 ）是无法检验出其波动性的。戴维逊实验单晶镍（）单晶衍射实验证实电子确实具有波动性。汤姆逊实验金-钒多晶（）电子多晶衍射实验也证实电子确实具有波动性。De Brogile波的实验证实观察散射电子束的强度和散射角之间的关系电子在单晶金上的衍射 对Dovissn和Germer单晶电子衍射实验，由布拉格（Bragg）方程 和 可分别计算出衍射电子的波长。两种方法

17、的计算结果非常吻合。 戴维逊单晶电子衍射实验电子在金-钒多晶上的衍射 Thomson 多晶电子衍射实验 对Thomson 多晶电子衍射实验，由花纹的半径及底片到衍射源之间的距离等数值，也可以求出。都证明实验结果与理论推断一致。 后来，人们采用电子、质子，氢原子和氦子等粒子流，也观察到衍射现象，充分证明了实物微粒具有波性，而不只限于电子。电子显微镜以及用电子衍射和中子衍射测定分子结构都是实物微粒波性的应用。 电子衍射实验证实了电子等实物微粒具有波动性，而电子等实物微粒具有粒性这更是早已证实了的。 从经典物理理论来看，波动是以连续分布为特征的；而粒性则是以分立分布为特征的。那么，应该如何理解实物粒

18、子波性和粒性之间的关系？实物微粒的波到底是一种什么波呢？这是许多科学家关心和研究的问题。De Brogile波的统计解释波粒二象性的统计解释Born对应于空间的一个状态，就有一个伴随这状态的德布罗依波的几率。若与电子对应的波函数在空间某点为零，这就意味着在这点发现电子的几率小到零。 波恩 1926年，玻恩（Born）提出实物微粒波的统计解释。他认为：在空间任何一点上波的强度（即振幅绝对值的平方2 ）和粒子出现的几率密度成正比。按照这种解释描述的实物粒子波称为几率波。 当电流强度很大时，人们可以在较短的时间内就得到一个衍射环的完整图形，当电流强度很小时，小到电子一个一个地到达底片或屏上，这时底片

19、上没有环纹而是一个个斑点，得不到衍射现象说明了电子的粒子性。当然，一开始这些斑点的位置是无法预言的，看起来似乎毫无规则地散布于屏上。可是，只要时间足够长，通过的电子足够多时，这些逐渐增多的斑点也形成了衍射图像，显示出波性。从电子的衍射实验出发： 电子的波性是和粒子的统计行为联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，衍射强度小的地方，粒子出现的数目就小。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复做多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方，粒子出现的机会多，在衍射强度小的地方，粒子出现的机会少。 在点（x,y,

20、z）附近的微体积元内，电子密度为： 波的强度 2 ，由此推得：电子密度与实物波的强度成正比，即： 2 可以这样理解，粒子密度大的地方，出现的几率就大。因此，电子密度与实物波的强度成正比的表述转化为“几率密度与实物波的强度成正比”。微体积内发现电子的几率为： k为比例系数，事实上描写的是同一状态， 称为几率密度，即在单位体积中找到粒子的几率。 1-10以多晶粉末电子衍射花纹图案为例说明 实物微粒波的物理意义与机械波（水波、声波）和电磁波等不同，机械波是介质质点的振动，电磁波是电场和磁场在空间传播的波，而实物微粒的波没有这种直接的物理意义。实物微粒波的强度反映粒子出现几率的大小，故称几率波。但是有

21、一点和经典波是相似的，即都表现有波的相干性。所有这些和经典力学既有本质的差异，又有密切联系的现象，正是微观体系的本性特点之所在。 实物微粒波与机械波的物理意义异同 在经典物理学中，粒子应服从牛顿力学。它在一定的运动条件下有可以预测的运动轨道。一束电子在同样的条件下通过晶体，每个电子都应到达底片上同一点，观察不到衍射现象。事实上，电子通过晶体时并不遵循牛顿力学，它有波性。每次到达的地方无法准确预测。只有一定的与波的强度成正比的概率分布规律，出现衍射现象。 实物微粒的微粒与经典的“质点”的不同不确定原理（uncertainty principle） 不确定原理又称测不准关系或测不准原理，是由微观粒

22、子本质特性决定的物理量间的相互关系的原理，它反映物质波的一种重要性质。同理1927年，海森堡（Heisenberg）推导得出不确定关系式： 因为实物微粒具有波粒二象性，从微观体系得到的信息会受到某些限制。例如一个粒子不能同时具有确定的坐标和相同方向的动量分量。1-11电子束的单缝衍射 如图所示，一个沿y方向传播的电子，通过狭缝之前，粒子在x方向的速度为零，动量px=mvx也为零。 对经典粒子，通过狭缝时总是走直线，一束这样的粒子在屏幕上显示的宽度应为 狭缝的宽度。而具有波动性的电子通过狭缝时会展宽，得到衍射图样，图中曲线表示屏幕上各点的波强度。 曲线的极大值和极小值是由于从狭缝不同部位来的波互

23、相迭加与互相抵消的结果。当两列波的波程差为波长的整数倍时，互相迭加得到最大程度的加强；当两列波的波程差为半波长的奇数倍时，互相抵消得到最大程度的减弱。对一级衍射 由于从狭缝到屏幕的距离l比狭缝的宽度D大得多，当PAC, PCA, ACO 均接近于90 yPPACODeAOQPx从电子的粒子性考虑，狭缝的衍射会使电子改变运动方向，大部分电子在-到+范围。Px为p在x方向的不确定度px，所以 已知关于坐标x的不确定度为狭缝的宽度D，即x=D ,故xpxh（考虑落在主峰范围内的一级衍射）考虑一级衍射及二级衍射：xpxh落在屏幕上P点附近的电子，在穿过狭缝时它的动量在x方向的分量为px1-12上式说明

24、动量的不确定程度乘坐标的不确定程度不小于一常数h（有些教材中给出xpxh/2，这是因为取坐标不确定量x为单缝宽度D的一半)。同样，时间t和能量E的不确定程度也有类似的测不准关系式tEh E是能量在时间t1和t2时测定的两个值E1和E2之差，它不是在给定时刻的能量不确定量，而是测定能量的精确度E与测量所需时间t二者所应满足的关系。 xpxh表明微观粒子不能同时有确定的坐标和动量，当它的某个坐标确定的越准确，其相应的动量就越不准确，反之亦然。 不确定度关系坐标与同一方向上的动量分量不能同时确定。x与 Py 之间不存在上述关系。测不准原理关系在宏观体系中也适用，只不过是测不准量小到了可忽略的程度。 说明可用于判断哪些物体其运动规律可用经典力学处理，而哪些则必须用量子力学处理。 应用测不准关系式对