平均数、标准差和变异系数

1、上章内容回顾试验资料的整理：检查和核对；制作次数分布表和分布图（柱形图、折线图、条形图，饼图）试验资料计数资料（非连续）质量性状资料（数量化处理）数量性状资料计量资料（连续变量）试验资料搜集常用的方法：调查和试验试验资料均具有集中性和离散性两种基本特征，平均数是反映集中性的特征数，变异数是反映离散型的特征数第三章 平均数、标准差和变异系数平均数（mean）用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质。 标准差（standard deviation）与变异系数（variation coefficient）反映资料的离散性，即观测值分散变异的性质。第一节 平均数一、平均数的意义和种类

2、二、算术平均数的计算方法三、算术平均数的重要特性四、算术平均数的作用五、总体平均数一、平均数的意义和种类 平均数(average)是数据的代表值，表示资料中观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情况。 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有： 算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 调和平均数（harmonic mean） 算术平均数: 一个数量资料中各个观察值的总和除以观察值个数所得的商数，称为算术平均

3、数(arithmetic mean)，记作 。因其应用广泛，常简称平均数或均数(mean)。均数的大小决定于样本的各观察值。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10平均数 = 5平均数 = 6 1 2 3 4 5 6 7 141、算术平均数2、中位数 中位数: 将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察值称为中数(median)，计作Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。 中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列，找到中间的1个数（n为奇数）或2个

4、数（ n为偶数），之后求平均即可。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10中位数= 5中位数= 5众数: 资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称为众数(mode)，记为M0。如棉花纤维检验时所用的主体长度即为众数。3、众数众数可能不存在可能有多个众数多用于属性数据0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 众数 = 9没有众数几何平均数: 如有n个观察值，其相乘积开n次方，即为几何平均数(geometric mean)，用G代表。其计算公式如下： 4、几何平均数 为了计算方便，可将各观测值取对数后相

5、加除以n，得lgG，再求lgG的反对数，即得G值，即： 调和平均数:（harmonic mean）各观测值倒数的 算术平均数 的倒数，称为调和平均数，记为H。即 （）5、调和平均数对于同一资料： 算术平均数几何平均数调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。(一)直接法主要用于未经分组资料平均数的计算。二、算术平均数的计算方法 设某一资料包含n个观测值： x1、x2、xn， 则样本平均数可通过下式计算：（）简写： 【例1】 某植保站测得10只某类害虫的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、

6、505、490（mg），求其平均数。由于 x = 500 + 520 + 535 + 560 + 585 + 600 + 480 + 510 + 505 + 490 = 5285， n =10得：即 10只害虫的平均体重为528.5 mg。（二）加权法（）式中： xi -第i 组的组中值； fi -第i组的次数；k -分组数 第i组的次数 fi 是权衡第i组组中值 xi 在资料中所占比重大小的数量，因此将 fi 称为是 xi 的“权”，加权法也由此而得名。 对于样本含量 n30 以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：【例2】 从A、B两小区分别抽取4个和

7、5个小麦麦穗，测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计算结果。 【例3】 140行水稻产量（P38），用两种方法求其平均数，并比较计算结果。（1）直接法：（2）加权法： 1、算术平均数的计算与每一个数（值）都有关。 2、如果 是n1个值的平均数, 是n2个值的平均数，那么全部n1n2个值的算术平均数是 （加权平均数） 三、算术平均数的重要特性 3、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。 或简写成 4、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。（常数 ）或简写为：5、若A为任意常数，6、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。注意：必须性状同质时， 才

8、有代表性。 算术平均数是描述观测资料的重要特征数，它的作用主要有以下两点： 1. 指出数据资料的中心位置，标志着资料所代表性状的数量水平和质量水平。 2. 可以作为样本或资料的代表数据与其他资料进行比较。四、算术平均数的作用 对于总体而言，通常用表示总体平均数，有限总体的平均数为： （） 式中，N 表示总体所包含的个体数。 当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。 统计学中常用样本平均数（ ）作为总体平均数（）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数的无偏估计量。五、总体平均数第二节 变异数 平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变

9、异程度的影响。每个样本有一批观察值，除以平均数作为样本的集中性表现外，还应该考虑样本内各个观察值的变异情况，才能通过样本的观察数据更好地描述样本，乃至描述样本所代表的总体，为此必须有度量变异的统计数。常用的描述变异程度指标有：1、极差（range）2、方差（variance）3、标准差（standard deviation）4、变异系数（variation coefficient）一、极差极差(range)，又称全距，记作R，是资料中最大观察值与最小观察值的差数。极差虽可以对资料的变异有所说明，但它只是两个极端数据决定的，没有充分利用资料的全部信息，而且易于受到资料中不正常的极端值的影响。所以

10、用它来代表整个样本的变异度是有缺陷的。 二、方差为了正确反映资料的变异度，较合理的方法是根据样本全部观察值来度量资料的变异度。这时要选定一个数值作为共同比较的标准。平均数既作为样本的代表值，则以平均数作为比较的标准较为合理，但同时应该考虑各样本观察值偏离平均数的情况，为此这里给出一个各观察值偏离平均数的度量方法。 为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，( ) ，称为离均差。 虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均差之和 为零，即( ) = 0 ，因 而 不 能 用离均差之

11、和 ( )来 表 示 资料中所有观测值的总偏离程度。 为了解决离均差有正 、有负，离均差之和为零的问 题，可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数n 求 得 平 均 绝 对 离差，即|x x |/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度 ，但由于平均绝对离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，在统计学中未被采用。 我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。 先将各 个离 均差平方，即 ( )2 ，再求 离均差平方和 ， 即 ，简称平方和，记为SS； 由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小

12、 而 改 变 ，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响 ， 用平方和 除 以 样 本 大 小， 即 ，求出离均差平方和的平均数 ； 为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我们 采 用统计量 表示资料的变异程度。 统计量 称为均方（mean square, 缩写为MS）, 又称样本方差，记为S2，即 S2= （） 相应的总体参数叫 总体方差 ，记为2。对于有限总体而言，2的计算公式为： （）标准差为方差的正平方根值，用以表示资料的变异度,其单位与观察值的度量单位相同。从样本资料计算标准差的公式为：

13、同样，样本标准差是总体标准差的估计值。总体标准差用表示： 由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这 时应 将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准差，记为S，即：三、标准差由于所以（ 4.9 ）式可改写为：（） 相应的总体参数叫总体标准差，记为。对于有限总体而言，的计算公式为： （） 在统计学中，常用样本标准差S估计总体标准差。四、变异系数 标准差和观察值的单位相同，表示一个样本的变异度。若比较两个样本的变异度，则因单位不同或均数不同，不能用标准差进行直接比较。这时可计算样本的标准差对均数的百分数，称为变异系数(coefficient of variation)。 变异系数是无量纲的量，可以用于不同单位、不同尺度下各样本变异程度的比较。 【