清华信号与系统2nd

1、第2章 连续时间系统的时域分析系统的时域分析方法 微分方程的求解 零输入响应和零状态响应 单位冲激响应与阶跃响应 卷积 卷积的性质2.1 引言系统分析的目的(1)已知激励、系统特性，求响应响应的予估； (2)已知激励、响应，求系统特性系统辩识；(3)已知系统特性、响应，求激励激励的识别。系统激励响应系统的时域分析方法直接求解系统的微分方程，涉及函数变量都是t时域分析的特点物理概念清楚，方法直接；计算速度慢，方法不是最佳。分析方法输入输出法状态变量法经典法零状态响应卷积法(LTI)零输入响应经典法双零法经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问题有待进一步解决；卷积法:任意激励下的

2、零状态响应 可通过冲激响应来求解。2.2 LTI系统微分方程的求解微分方程的求解 an=1，ak、bk均为实常数。已知激励e(t)，初始条件r(n)(0)，求响应r(t)对于连续LTI系统，可以用常系数线性微分方程描述时域经典解法完全解 = 齐次解 + 特解全响应 = 自由响应 + 强迫响应近代时域解法全响应 = 零输入响应 + 零状态响应求解系统微分方程的经典法待定系数,由初始条件确定n阶微分方程对应的齐次方程由其特征方程求出特征根 1、 2、 n，重根互异根则齐次方程的解答形式为(其中ci为待定系数)系统的完全解齐次解与系统有关，与激励无关。特解的形式与激励有关。自由分量强迫分量几种典型激

3、励函数相应的特解激励函数e(t)响应函数r(t)的特解由r(0)=1, r (0)=0,求出 c1= -1；c2=1求待定系数 c1、c2，所以查表求特解代入方程，比较系数齐次解特征根例2-1特征方程解2.3 起始点的跳变 从0-到0+状态的转换微分方程 + 初始条件 方程的唯一解。系统分析中，要根据激励接入瞬时的系统状态决定初始条件,它包含了激励作用前系统的全部过去信息。以0-、 0+来表示激励接入前后的瞬时；分析系统时，常给出 r(k)(0-)，(称为起始状态)；方程求解时，需要知道 r(k)(0+)，(称为初始状态)当r(k)(0-) r(k)(0+)时，系统的起始值发生了跳变。一、微分

4、方程的初始条件初始条件二、用物理概念确定系统从0-到0+状态变化电容上施加冲激电流或阶跃电压, uC发生跳变电感上施加冲激电压或阶跃电流，iL发生跳变磁链守恒电荷守恒由确定电路的初始条件t=0Cu(t)t=0C(t)(t)t=0Lu(t)t=0L1电容电压的突变如果iC(t)为有限值，此时vC(0+)= vC(0-)如果iC(t)为(t),当有冲激电流作用于电容时， vC(0+) vC(0-)当阶跃电压作用于电容时， vC(0-)=0，vC(0+)=E显然vC(0+) vC(0-)，此时2电感电流的突变如果为有限值，冲激电压或阶跃电流作用于电感时：三、冲激函数匹配法确定初始条件当系统用微分方程

5、表示时，系统状态0-到0+有无跳变，取决于方程右端是否包含(t)及各阶函数。当t=0时，微分方程左右两端的(t)及其各阶导数的系数应该平衡相等.引入0-到0+的单位跳变函数 u(t)在0点附近积分微分应用拉氏变换法可以自动地把0-到0+初始状态的跳变包含进去。u(t)t0u(t) 表示0- 到0+ 的相对跳变函数例2-2 已知 r(0-), 求 r(0+)分析： 右端含3(t)dr(t)/dt 中必含 3 (t) r(t)中包含 3(t）右端不含3(t)dr(t)/dt中必含-6(t)以平衡 3r(t)中的6(t）dr(t)/dt 中的-6(t） 在r(t)中t=0时刻有-6u(t)设则代入方程得出所以得即即数学描述或例2-3(1) 将e(t)代入微分方程，t0 得用冲激函数匹配法求输入e(t) 如图，已知描述 LTI 系统的微分方程为 Ot()te24解方程右端的冲激函数项最高阶次是 (t)，因而有 (2)00(+-0，为实数。(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5e(t)时的