新人教版高中数学（选修1-1）（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（基础版）（家教、补习、复习用）

1、新人教版高中数学（选修1-1）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习命题及其关系【学习目标】1了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”.2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理

2、数吗？”、“今天天气真好！”等.3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式.其中是命题的条件，是命题的结论.要点诠释：1. 一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2. 有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若，则”；逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非，

3、则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若，则”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系四种命题之间的真值关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一：命题的概念例1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是

4、假命题.（1）末位是0的整数能被5整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行，则斜率相等；（4）ABC中，若A=B，则sinA=sinB；（5）余弦函数是周期函数吗？【思路点拨】依据命题的定义判断。【解析】（1）是命题，真命题；（2）是命题，假命题；（3）是命题，假命题；（4）是命题，真命题；（5）不是命题.这是一个疑问句，没有做出判断.【总结升华】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行.举一反三：【变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1)；(2) 当时, ；(3) 你是男生吗？(4) 求证：是无理数.【答案】(1) 不是命题

5、；由于无法确定变量的值，所以无法确定其真假(2) 是命题；假命题(3) 不是命题；这是一个疑问句，没有做出判断(4) 不是命题；这是一个祈使句，没有做出判断【变式2】下列语句中是命题的是（ ）A B0N C元素与集合 D真子集【答案】B【变式3】判断下列语句是否是命题.（1）这是一棵大树；（2）sin30=；（3）x2+10；（4）梯形是平行四边形.【答案】（1）不是，无法确定“大”；（2）是；（3）是；（4）是.类型二：命题的结构例2.指出下面命题的条件和结论.对顶角相等；四边相等的四边形是菱形.【思路点拨】命题都是一定的条件下推出的一定的结果，所以据此确定哪是条件，哪是结论。【解析】（1）

6、原命题写成：若两个角是对顶角，则这两个角相等.条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等.（2）原命题可写成：如果一个四边形的四边相等，则这个四边形是菱形.条件：一个四边形的四边相等；结论：这个四边形是菱形.【总结升华】要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论.举一反三：【变式】指出下列命题的条件p和结论q.（1）若空间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心；（2）若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b平行.【答案】（1）条件p：空间四边形为正四面体；结论q：顶点在底面上的射影为底面的中心.（2）条件p：两直线a、b

7、都和直线c平行；结论q：直线a和b平行.【命题及其关系394803例3】例3. 将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假.（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（2）对角线相等的平面四边形是矩形.【解析】（1）“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，真命题.（2）“若一个平面四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形”，假命题.【总结升华】有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但适当的改写后可以写成“若p，则q”的形式，那么就能很清楚地看出其条件和结论.举一反三：“【变式1】把命题“6是12和24的公约数”写成若p则q的形式.【答案】若一个数等于6，则这个数是1

8、2和24的公约数.【变式2】将下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断真假.（1）偶数能被2整除；（2）奇函数的图象关于原点对称；（3）同弧所对的圆周角不相等.【答案】（1）若一个数是偶数，则它能被2整除；真命题.（2）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称；真命题.（3）若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等；假命题.类型三：命题的四种形式【命题及其关系394803例5】例4.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假.（1）若，则；（2）若，则；（3）若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等.【思路点拨】由原命题写出逆命题，否命题和逆否命题时注意规律：交换

9、原命题的条件和结论.所得命题就是逆命题.同时否定原命题的条件和结论所得命题就是否命题.交换原命题的条件和结论并且同时否定.所得命题就是逆否命题.【解析】（1）原命题：若，则； 假命题逆命题：若，则； 真命题否命题：若，则； 真命题逆否命题：若，则. 假命题（2）原命题：若，则； 真命题逆命题：若，则； 假命题否命题：若，则； 假命题逆否命题：若，则. 真命题（3）原命题：若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等；真命题逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等；真命题否命题：若一个三角形没有两条边相等，则这个三角形没有两个角相等；真命题逆否命题：若一个三角形没有两个角

10、相等，则这个三角形没有两条边相等. 真命题【总结升华】一般地，先将命题改写成“若，则”的形式，再写出其他命题形式；某些命题存在大前提，写其它命题时应注意保留.互为逆否命题的两个命题是等价的，同为真或同为假，因此在判定真假时，只需判定二者中的一个举一反三：【变式1】(2014 陕西文)原命题为“若，nN，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真、真、真B假、假、真C真、真、假D假、假、假【答案】an1an，nN，an为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若an，nN，则an不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互

11、为逆否命题，命题的逆命题，逆否命题都是真命题故选：A【变式2】写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.（1）对顶角相等； （2）空集A是非空集合B的真子集； 【答案】（1）原命题：如果两角是对顶角，那么这两角相等（真命题）；逆命题：如果两角相等，那么两角是对顶角（假命题）；否命题：如果两角不是对顶角，那么这两角不相等（假命题）；逆否命题：如果两角不相等，那么这两角不是对顶角（真命题）.（2）原命题：若A是空集，则A是非空集合B的真子集（真命题）；逆命题：若A是非空集合B的真子集，则A是空集（假命题）；否命题：若A不是空集，则A不是非空集合B的真子集（假命题）；逆否命题：若A

12、不是非空集合B的真子集，则A不是空集（真命题）.例5设命题: 若，则关于的方程有实数根试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假【思路点拨】判断原命题，逆命题，否命题，逆否命题的真假时，只要判断原命题与逆命题的真假，就可知道其它两个命题的真假，不必一一判断.【解析】逆命题：若关于的方程有实数根，则.否命题：若,则关于的方程无实数根逆否命题：若关于的方程无实数根，则.先判断原命题和逆否命题的真假. , 当时，方程有实数根当时，成立， 方程有实数根，原命题为真，逆否命题也为真判断逆命题和否命题的真假当方程有实数根，即时，推不出，逆命题为假，否命题也为假【总结升华】先将命题中的条件等价转化

13、，然后关于不等式的集合的命题可以借助于集合的韦恩图解决.举一反三：【变式1】试写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假（1）当集合，时，若，则.（2）若，则， （3）若，则【答案】（1）原命题：当集合，时，若，则（假命题）；逆命题：当集合，时，若，则（真命题）；否命题：当集合，时，若，则（真命题）；逆否命题：当集合，时，若，则（假命题）.（2）原命题：若，则（真命题）；逆命题：若，则（假命题）；否命题：若，则（假命题）；逆否命题：若，则（真命题）.（3）原命题：若，则（假命题）；逆命题：若，则（真命题）；否命题：若，则（真命题）；逆否命题：若，则（假命题）.【变式2】已知命题：

14、“如果，那么关于的不等式的解集是空集”，写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【答案】逆命题：如果关于的不等式的解集是空集，那么；否命题：如果,那么关于的不等式的解集不是空集；逆否命题：如果关于的不等式的解集不是空集，那么. 判断原命题的真假. 当时，,，故的解集为，故原命题为真，则逆否命题亦真. 对于逆命题，当的解为空集时，先研究得，满足题意，这样与矛盾，故命题为假，而否命题与逆命题互为逆否命题，故否命题亦为假.【巩固练习】一、选择题1下列语句中命题的个数为()0N他长得很高地球上的四大洋 5的平方是20A0B1C2D32若A、B是两个集合，则下列命题中真命题是()A如果AB，

15、那么ABAB如果ABA，那么(BA)BC如果AB，那么ABAD如果ABA，那么AB3有下列命题：若xy0，则|x|y|0；若ab，则acbc；矩形的对角线互相垂直其中真命题共有()A0个 B1个 C2个 D3个4下列语句中，不能成为命题的是()A512Bx0C若ab，则ab0D三角形的三条中线交于一点5. (2015 山东文)设mR,命题“若m0,则方程x2+xm=0有实根”的逆否命题是( ) A.若方程x2+xm=0有实根，则m0 B.若方程x2+xm=0有实根，则m0 C.若方程x2+xm=0没有实根，则m0 D.若方程x2+xm=0没有实根，则m06命题“若a5，则a225”与其逆命题、

16、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A原命题、否命题 B原命题、逆命题C原命题、逆否命题 D逆命题、否命题二、填空题7命题“一元二次方程ax2bxc0有两个不相等的实数根”，条件：_，结论_是_命题8给出下列命题若acbc，则ab；方程x2x10有两个实根；对于实数x，若x20，则x20；若p0，则p2p；正方形不是菱形其中真命题是_，假命题是_9命题“若x3，y5，则xy8”的逆命题是_；否命题是_，逆否命题是_10原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线其逆命题为_(真、假)三、解答题11.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假(1)如果两圆外切

17、，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除12.把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断真假(1)当acbc时，ab；(2)已知x、y为正整数，当yx1时，y3，x2；(3)当时，mx2x10无实根；(4)当abc0时，a0或b0或c0；(5)当x22x30时，x3或x1.13命题“若m0，则2x23xm0有实根”是真命题吗？证明你的结论14.写出下列命题的否定和否命题(1)正n(n3)边形的n个内角全相等；(2)0的平方等于0.15.设原命题为“已知a、b是实数，若ab是无理数，则a、b都是无理数”写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假【答案与解析】1. 【答案

18、】C【解析】是命题，不是命题地球上的四大洋是不完整的句子2.【答案】A【解析】由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题3. 【答案】B【解析】只有中的命题是真命题4. 【答案】B【解析】x0是开语句，故不是命题5. 【答案】D【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D.6. 【答案】D【解析】原命题为真，逆命题为假，逆否命题为真，否命题为假7. 【答案】一个方程是一元二次方程ax2bxc0它有两个不相等的实数根假【解析】题意即“对任意一个一元二次方程ax2bxc0，它都有两个不相等的实数根”8. 【答案】【解析】对假命题，举反例即可对于，x3即x3或xb

19、c，则ab，假命题(2)已知x、y为正整数，若yx1，则y3且x2，假命题(3)若，则mx2x10无实根，真命题(4)若abc0，则a0或b0或c0，真命题(5)若x22x30，则x3或x1，真命题13【解析】是真命题m0，98m0，方程2x23xm0有实根，故原命题“若m0，则2x23xm0有实根”是真命题14【解析】(1)命题的否定：正n(n3)边形的n个内角不全相等；否命题：不是正n(n3)边形的n个内角不全相等(2)命题的否定：0的平方不等于0否命题：不等于0的数的平方不等于0.15. 【解析】逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则ab是无理数如，ab0为有理数，故为假命题否

20、命题：已知a、b是实数，若ab不是无理数，则a、b不都是无理数由逆命题为假知，否命题为假逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则ab不是无理数如a2，则是无理，故逆否命题为假充分条件与必要条件【学习目标】1理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.充分条件、必要条

21、件与充要条件若，称是的充分条件，是的必要条件.如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.“若，则”为真命题；是的充分条件；是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；若，且，即，则、互为充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：xA，q：xB， 若AB，则是的充分条件，是

22、的必要条件；若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件；若A=B，则、互为充要条件；若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：确定哪是条件，哪是结论；尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若，则”如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为

23、真命题；如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，是的什么条件？(1) : ， : ；(2) : ，: 抛物线过原点(3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等【解析】(1): 或, : 且,是的必要不充分条件；(2)且,是的充要条件；(3)且，是的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件找推式下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，是的什么条件？（1）：，：和是对顶角.

24、（2），；【答案】（1）且，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件.（2），但，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中是的什么条件.（1）:且, :（2）:, : .【答案】（1）是的充分不必要条件.且时，成立；反之，当时，只要求、同号即可.必要性不成立.（2）是的既不充分也不必要条件在的条件下才有成立.充分性不成立，同理必要性也不成立.【充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p：0 x3，q：|x-1|2，则p是q的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件XO3-112PQ【解析】q：|x-1|2，解得-1

25、x3，亦即q：-1x3.如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看PQ， pq，但qp，所以选择（A）.【总结升华】先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D.【答案】A【变式2】（2015 天津文）设xR，则“1x2”是“|x2|1”的（ ）A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】由|x2|1 1x211x3，可知“1x2”是“|x2|1”

26、的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】若lm，因为m垂直于平面，则l或l；若l，又m垂直于平面，则lm，所以“lm”是“l”的必要不充分条件，故选B 类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x、yR，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么x=0，y0；x0，y=0；x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy0，即x0，y0或x0，y0，当x0，y0时，|x+y

27、|=x+y=|x|+|y|.当x0，y0时，|x+y|=(x+y)=x+(y)=|x|+|y|.总之，当xy0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、yR，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，xy0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系

28、（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2, ac0, x1x2=0, x20，则x1x2=0，ac0综上可得ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a0时，

29、显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足；若方程有两个负的实根，则必须满足综上知，若方程至少有一个负的实根，则a1；反之，若a1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a1类型三：充要条件的应用例4. 已知p：AxR|x2ax10，q：BxR|x23x20，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解析】BxR|x23x20 x|1x2，p是q的充分不必要条件，即AB，可知或方程x2ax10的两根要在区间1,2内a240或，得2a2.【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的

30、因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p：1cx0)，命题q：x7或x1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是_【答案】0c2【解析】命题p对应的集合Ax|1cx0，同理，命题q对应的集合Bx|x7或x0，综上所述得00的解集为R，命题q：0a1，则p是q成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6设，则“xsin2x1”是“xsinxb，cd”是“acbd”的_10. 函数f(x)ax2bxc(a0)的图象关于y轴对称的充要条件是_三、解答题11下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x1；q

31、：x1.(2)p：1x5；q：x1且x5.(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形12(1)写出|x|-1的一个必要不充分条件；(3) 写出2的一个充要条件13已知p: x2-8x-200, q: x2-2x+1-a20, 若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.14不等式x22mx10对一切1x3都成立，求m的取值范围15证明：方程ax2bxc0有一根为1的充要条件是abc0.【答案与解析】1. 【答案】C【解析】由题意AC，则UCUA，当BUC，可得“AB”；若“AB”能推出存在集合C使得AC，BUC，U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”

32、的充分必要的条件故选：C2. 【答案】A【解析】 ，由已知得，即而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件故答案为：A 3. 【答案】B【解析】当a5，b0时，满足ab4，但a2且b2不成立，即充分性不成立，若a2且b2，则必有ab4，即必要性成立，故“ab4”是“a2且b2”的必要不充分条件，故选：B4. 【答案】A【解析】若bc0，则二次函数yax2bxcax2经过原点，若二次函数yax2bxc过原点，则c0，故选A.5. 【答案】B【解析】当a0时，不等式ax22ax10的解集为R；当，即0a0的解集为R.综上，不等式ax22ax10的解集为R时，0a1，故选B.6. 【答案

33、】B【解析】本题考查了充要条件及不等式关系，0sinx10sin2xsinx1，xsin2xxsinx则xsinx1xsin2x0且b24ac0a0且b24ac08. 【答案】充分不必要【解析】点Pn(n，an)都在直线y2x1上，即an2n1，an为等差数列，但是an是等差数列却不一定就是an2n1.9. 【答案】(1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件10【答案】b0【解析】f(x)关于y轴对称.11. 【解析】(1)充分不必要条件当x1时，x1成立；当x1时，x1或x2.(2)充要条件1x5x1且x5.(3)充分不必要条件等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形

34、不一定都是等边三角形12. 【解析】(1)此题为开放题，只要写出x|-2x-1的集合即可，如x|x-2即x-2.(3) 0 x0，得p: A=x|x10或x0，得q: B=x|x1+a或x1-a, a0依题意，pq且qp, 说明AB，于是有 且等号不同时成立，解得：0a3, 正实数a的取值范围是00对一切1x3都成立，只需f(x)x22mx1在1,3上的最小值大于0即可（1）当m1时，f(x)在1,3上是增函数，f(x)minf(1)2m0，解得m0，又m1，m0，解得，又m3，此时不成立（3）当1m0不成立，综上所述，m的取值范围为m4.【答案】（1）pq：平行四边形的对角线互相平分且相等；

35、 （2）pq：集合A是AB的子集，且是AB的子集； （3）pq：，且34.【变式2】分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题。李明是老师，赵山也是老师；1是合数或质数；他是运动员兼教练员；【答案】（1）这个命题是“且”形式，其中p：李明是老师，q：赵山是老师。（2）这个命题是“或”形式，其中p：1是合数，q：1是质数。（3）这个命题是“且”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员。例3已知命题、，写出或、且、非的形式并判断真假。（1）: , ：.（2）: , :【解析】（1）或：或，即（真命题），且：且（假命题），非（）：（真命题），（2）或：或，即（真命题），且：且（假命题），非（）：，即

36、（假命题）.【总结升华】 先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题，最后判断复合命题的真假举一反三：【变式】已知命题、，试写出或、且、非的形式的命题并判断真假. (1) :平行四边形的一组对边平行，:平行四边形的一组对边相等(2) ：，：(3) :, :【答案】（1）或：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）；且：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）；非：平行四边形的一组对边不平行（假命题）。（2）或：或，即（真命题）且：且（假命题）非：（真命题）（3）或：或（真命题）且：且（真命题）非：（假命题）类型二：复合命题真假的判定例4. (2015 湖南)已知命题p：若xy

37、，则xy；命题q：若xy，则x2y2，在命题pq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是()ABCD【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若xy，则xy成立，即p为真命题，当x1，y1时，满足xy，但x2y2不成立，即命题q为假命题，则pq为假命题；pq为真命题；p(q)为真命题；(p)q为假命题，故选：C【总结升华】解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析，也就是由给出复合命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况，再判断相关命题正确与否.举一反三：【变式1】(2014 重庆文)已知命题：p：对任意xR，总有|x|0，q：x1是方程x20的根；则

38、下列命题为真命题的是()ApqBpqCpqDpq【答案】根据绝对值的性质可知，对任意xR，总有|x|0成立，即p为真命题，当x1时，x230，即x1不是方程x20的根，即q为假命题，则pq，为真命题，故选：A【变式2】已知命题p：33；q：34，则下列判断正确的是（ ）A为真，为真，为假B为真，为假，为真C为假，为假，为假D为真，为假，为假【答案】D【简单的逻辑联结词xxxxxx例5】【变式3】已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（ ） （A）(p)q （B） pq （C）(p)(q) （D）(p)(q)【答案】C类型三：命题的否定与否命题例5写出

39、下列命题的否定和否命题，并判定其真假.（1）：在整数范围内，、都是偶数，则是偶数（2）：若且，则【解析】(1) ：在整数范围内，、都是偶数，则不是偶数（假命题）；的否命题是：在整数范围内，若、不都是偶数，则不是偶数（假命题）； (2) ：若且，则（假命题）；的否命题是：若或，则（假命题）.【总结升华】“且”的否定是“或”；“ 、都是偶数的否定为“、不都是偶数” 命题的否定和否命题是不一样的.举一反三：【变式1】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假.（1）：若，则,全为零； （2）：若且，则.【答案】（1）的否定：若，则,不全为零（假命题）；的否命题：若，则,不全为零（真命题）；（2）的否定

40、：若且，则（假命题）；的否命题：若或，则（假命题）.【变式2】“”是指 （填出符合条件的所有选项）A.且 B.或 C.,至少有一个不是0D.,都不是0 E. ,不都是0【答案】A、D； 【解析】指,都不是0，即且.【巩固练习】一、选择题1有下列命题：2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；10的倍数一定是5的倍数；方程x21的解x1.其中使用逻辑联结词的命题有()A0个 B1个C2个 D3个2如果原命题的结构是“p且q”的形式，那么否命题的结构形式为()Ap且qBp或qCp或q Dq或p3若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有()Ap真q真 Bp假q假Cp真q假 Dp假q真

41、4（2015 北京市东城区高三二模数学（理）已知p,q是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5（2014 滕州市校级期中）已知命题p:, 则非p是（ ）A. B. 或 C. 且 D. 6(2015 北京市西城区高三二模数学（文）)设命题p：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数，则下列命题中真命题是()Apq B（p）q C（p）（q ） Dp（q ）二、填空题7p：axb0的解集为，q：(xa)(xb)0的解为ax0.14. 已知命题p：方程的两根都是实数；q：方程的两根不相等，试写出由这组命题

42、构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并指出其真假15. 已知命题p：x25x60；命题q：0 x3；q：53.此命题为真命题，因为p为真，q为假，所以“p或q”为真命题(2)此命题为“p且q”形式的命题，其中，p：(n1)n(n1)(nN*)能被2整除；q：(n1)n(n1)(nN*)能被3整除此命题为真命题，因为p为真命题，q也是真命题所以“p且q”为真命题(3)此命题为“p且q”的形式，其中，p：是的元素；q：是的真子集此命题为真命题，因为p为真，q也为真，故“p且q”为真命题13【解析】(1)a、b、c不都相等，也就是说a、b、c中至少有两个不相等(2)ycosx不是偶函数

43、或不是周期函数(3)因为(x2)(x5)0表示x2，所以它的否定是x5且x2，即5x2.另解：(x2)(x5)0的否定是(x2)(x5)0，即5x2.14【解析】“p或q”的形式：方程的两根都是实数或不相等“p且q”的形式：方程的两根都是实数且不相等“非p”的形式：方程无实根24240，方程有相等的实根，故p真，q假p或q真，p且q假，非p假15. 【解析】由x25x60得x3或x2.命题q为假，x0或x4.则x|x3或x2x|x0或x4x|x0或x4满足条件的实数x的范围为(，04，)全称量词与存在量词【学习目标】1理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2能准确地使用全称量词和存

44、在量词符号“” “”来表述相关的教学内容；3掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对中任意一个，有成立”，记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）

45、“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“”表示，读作“存在”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在中一个元素，有成立”，记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命

46、题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，的否定：，；从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题：，的否定：，；从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.要点诠释：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的. （3）正面词：等于、 大于、小于、是、都是、至少一个、

47、至多一个、小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、一个也没有、至少两个、大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题【全称量词与存在量词395491例1】例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）xR，x2+11； （2）

48、所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。【总结升华】通过量词来确定命题是全称命题还是特称命题. 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.举一反三：【变式】下列命题中全称命题的个数为()平行四边形的对角线互相平分梯形有两边平行存在一个菱形，它的四条边不相等A0B1C2D3【答

49、案】C【解析】是全称命题，是特称命题类型二：判断全称命题、特称命题的真假例2. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；（3），是无理数；（4），.【解析】（1）全称命题，真命题.（2）特称命题，真命题.（3）全称命题，假命题，例如，但是有理数.（4）特称命题，真命题.【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这

50、个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式1】下列全称命题中真命题的个数为（ ）末位是0的整数，可以被2整除；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；正四面体中相邻两侧面的夹角相等.A1 B2 C3 D0【答案】C 【全称量词与存在量词395491例2】【变式2】判断下列命题的真假.（1）p：xR，； （2）p：xN，. 【答案】（1）命题为真；（2）命题为假；类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3. 写出下列命题的否定并判断真假（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于；（4）p：有

51、的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.【解析】（1）存在未位数字是0或5的整数但它不能被5整除，假命题；（2）存在一个非负数的平方它不是正数，真命题；（3）任何一个三角形它的内角和都不大于180，真命题；（4）所有的四边形都有外接圆，假命题；（5）任一梯形的对角线都不互相平分，真命题【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.举一反三：【变式1】(2015 浙江)命题“ 且的否定形式是（ ）A. 且 B. 或C. 且 D. 或 【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.【变式2】命题，的否定是_ _ _.【

52、答案】，【变式3】写出下列命题的否定，并判断真假.（1）； （2）所有的正方形都是矩形； （3）； （4）至少有一个实数x0，使得.【答案】（1）：（假命题）；（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）：（真命题）； （4）：（真命题）.类型四：含有量词的命题的应用例4已知，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】 q:x2-2x+1-m20 x-(1-m)x-(1+m)0 又m0 不等式的解为1-mx1+m 是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件” 不等式的解集是x2-2x+1-m20(m0)的解集的子集. 实数m的取值范围是【总结升华】本

53、题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.举一反三：【变式1】已知p：x2或y3；q：x+y5，判断 p是q的什么条件.【答案】；qp是q的必要不充分条件.【变式2】(2015 山东)若“，”是真命题，则实数m的最小值为 。【答案】1【解析】若“，”是真命题 则，其中 函数 的最大值为1 即的最小值为1，所以答案应填1.【巩固练习】一、选择题1将“x2y22xy”改写成全称命题，下

54、列说法正确的是()A任意x，yR，都有x2y22xyB存在x，yR，都有x2y22xyC任意x0，y0，都有x2y22xyD存在x0，y0，都有x2y22xy2下列特称命题中真命题的个数是()xR，x0至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数xx|x是整数，x2是整数A0 B1 C2 D33（2015 河南模拟）已知函数，则下列命题为真命题的是( )A都有B都有C使得D使得4(2014 安徽文)命题“xR，|x|x20”的否定是()AxR，|x|x20BxR，|x|x20Cx0R，|x0|x020 Dx0R，|x0|x0205(2015 河南)设命题,则为A B，C D，6下列命题中，是真命题

55、且是全称命题的是()A对任意的a，bR，都有a2b22a2b21”，用符号表示为_；此命题的否定是_(用符号表示)，是_(填“真”或“假”)命题9下列命题中真命题为_，假命题为_末位是0的整数，可以被2整除角平分线上的点到这个角的两边的距离相等正四面体中两侧面的夹角相等有的实数是无限不循环小数有些三角形不是等腰三角形所有的菱形都是正方形10命题“存在xR，使得x22x50”的否定是_三、解答题11写出下列命题的否定(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x120的根；(3)对任意实数x，存在实数y，使xy0；(4)有些质数是奇数12判断命题的真假，并写出命题的否定(1)存在一个

56、三角形，它的内角和大于180.(2)所有圆都有内接四边形13写出下列命题的否定：(1)若2x4，则x2；(2)若m0，则x2xm0有实数根；(3)可以被5整除的整数，末位是0；(4)被8整除的数能被4整除；(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等14. 命题“存在xR,2x23ax90”为假命题，求实数a的取值范围15.设有两个命题：p：不等式|x|+|x1|m的解集为R；q：函数是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的范围.【答案与解析】1. 【答案】A【解析】 全称命题是任意x，yR，x2y22xy都成立，故选A.2. 【答案】D【解析】都是真命题3. 【答案】 B【解析

57、】 函数显然都有f(x)g(x),故选：B.4. 【答案】C【解析】 根据全称命题的否定是特称命题，则命题“xR，|x|+x20”的否定x0R，|x0|+x020，故选：C5. 【答案】C【解析】命题的否定，为：，n22n，故选C6. 【答案】D【解析】A中含有全称量词“任意的”，因为a2b22a2b2(a1)2(b1)20；故是假命题B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.7. 【答案】是【解析】所有末位为0的整数都可以被5整除8. 【答案】x，yR，xy1；x，yR，xy1；假【解析】注意练习符号、等，原命题为真，所

58、以它的否定为假9. 【答案】【解析】正方形的集合是菱形集合的子集.10【答案】对xR，都有x22x50.【解析】该题考查命题的否定注意存在性命题的否定是全称命题11.【答案】(1)的否定：有些自然数的平方不是正数(2)的否定：存在实数x不是方程5x120的根(3)的否定：存在实数x，对所有实数y，有xy0.(4)的否定：所有的质数都不是奇数12. 【答案】(1)假命题所有的三角形，它的内角和都不大于180.(2)真命题存在一个圆，没有内接四边形13【答案】(1)的否定：存在实数x0，虽然满足2x04，但x02.(2)的否定：存在一个实数m0使x2xm0无实根(3)的否定：存在一个可以被5整除的

59、整数，其末位不是0.(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除(5)存在一个四边形，虽然它是正方形，则它的四条边中至少有两条不相等14【答案】【解析】题目中的命题为假命题，则它的否命题“任意xR,2x23ax90”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需9a24290，即可解得.15. 【答案】【解析】 由不等式|x|+|x1|m的解集为R，得m1；由函数是减函数，得若这两个命题中有且只有一个真命题，则常用逻辑用语全章复习与巩固【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相

60、互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【知识网络】【要点梳理】要点一：命题（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为，（3）存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一