2022-2023学年人教A版必修第一册 第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性 学案

1、第三章 函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1 单调性与最大（小）值第1课时 函数的单调性素养导引1.能从教材实例中抽象出函数单调性的概念(数学抽象)2.能从教材实例中归纳出利用定义证明函数的单调性的步骤(数学运算)3.能利用定义证明函数的单调性，能利用函数的单调性解决相关的不等式问题(逻辑推理) 一、函数的单调性函数增函数减函数图示条件设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2D，x1x2都有f(x1)f(x2)都有f(x1)f(x2)结论f(x)在区间D上单调递增f(x)在区间D上单调递减【批注】x1，x2的三大特征：(1)属于同一区间：D是函数定义域的子区间，不一定是整

2、个定义域；(2)任意性：函数单调性的定义中的“”即“任意”，是全称量词，与“所有”“每一个”“全部”等同义；(3)有大小：通常规定x1x2，与函数值符号一致为单调递增，相反为单调递减诊断辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)函数f(x)2x2，若f(1)f(2)，则函数在R上是增函数()提示：函数f(x)2x2在(0，)上是增函数，在(，0)上是减函数(2)函数f(x) eq f(1,x) 在(，0)(0，)上是减函数()提示：函数f(x) eq f(1,x) 的减区间为(，0)，(0，)，不能用并表示(3)若f(x)在R上是增函数，且f(x1)f(x2)，则x1x2.( )提示：因为f(

3、x)在R上是增函数，且f(x1)f(x2)，所以x1x2.二、函数的单调性与单调区间单调性条件：函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减结论：函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性单调区间区间D诊断1(教材P76图3.21改编)函数yf(x)，x4，4的图象如图所示，则函数f(x)的所有单调递减区间为()A.4，2B1，4C4，2，1，4D4，21，4【解析】选C.由题图可得，f(x)在区间4，2上单调递减，在区间2，1上单调递增，在区间1，4上单调递减，可得f(x)的单调递减区间为4，2，1，4.2(教材P78例1改角度)若函数f(x)kxb在(，)上单调递减，则k的取值范围为_【解

4、析】因为函数f(x)kxb在(，)上单调递减，所以对x1，x2R，且x1x2，有f(x1)f(x2)，即kx1bkx2b，所以kx1kx2，又x1x2，所以k0，所以k的取值范围为(，0).答案：(，0)学习任务一利用图象求函数单调区间(直观想象)1(多选题)下列函数在区间(0，1)上单调递减的是()Ay12x By eq f(1,x) Cy2x Dyx22x【解析】选ABC.在同一坐标系内分别画出各选项的图象根据图象可知：函数y12x在区间(0，1)上单调递减；函数y eq f(1,x) 在区间(0，1)上单调递减；函数y2x在区间(0，1)上单调递减；函数yx22x在区间(0，1)上单调递

5、增2(1)函数y|2x|的单调递增区间为_【解析】 画出函数草图由图象可知，函数的单调递增区间为0，).答案：0，)(2)函数y|x22x|的单调递减区间为_【解析】画出函数草图由图象可知，函数的单调递减区间为(，0，1，2.答案：(，0，1，21图象的作用函数的图象是确定函数单调性的重要工具，因此应熟记常见函数的图象；2正确表示单调区间函数的单调区间可以用“，”连接，如两个增区间应表示为(，0)，(0，)，不能表示为(，0)(0，).3含绝对值的函数图象的变换含绝对值的函数，其绝对值符号出现的方式有以下三种情况(1)整“绝”(函数式右边整个加绝对值)：y|f(x)|，例如y|x1|；整“绝”

6、函数的图象，一般用翻折法画图，方法是“上留下翻”：先画yf(x)图象，将x轴上方部分留着，将在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上边去，即得y|f(x)|图象(2)x“绝”(函数式右边纯x处均加绝对值)：yf(|x|)，例如y|x|1；x“绝”函数的图象，一般用翻折法画图，方法是“右留翻左”：先画yf(x)图象，将y轴右方部分留着，并将它以y轴为对称轴翻折到y轴左边去，即得yf(|x|)图象(3)乱“绝”(函数式右边杂乱无章地加绝对值)：例如yx22|x1|1乱“绝”函数的图象，一般需要先化为分段函数，再画图学习任务二利用定义证明函数的单调性(逻辑推理)【典例】利用定义证明函数f(x)x

7、eq f(4,x) 在(2，)上单调递增【证明】 eq blc rc(avs4alco1(x1，x2（2，），,且x1x2，) 取值 eq blc rc(avs4alco1(f（x1）f（x2）x1f(4,x1)x2f(4,x2) 作差 eq blc rc(avs4alco1(（x1x2）f(4（x2x1）,x1x2),f(（x1x2）（x1x24）,x1x2) 变形 eq blc rc(avs4alco1(因为2x1x2，,所以x1x20，x1x24，x1x240，,所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.) 定号 eq blc rc(avs4alco1(所以函数f（x）xf(4

8、,x),在（2，）上单调递增) 结论定义法证明函数单调性的步骤取值设x1，x2是区间内的任意两个值，且x1x2作差作差f(x1)f(x2)或f(x2)f(x1)变形向有利于判断符号的方向变形定号确定差的符号结论根据函数单调性的定义下结论 闪问常用的变形的方法有哪些？提示：常用的变形的方法有因式分解、配方、有理化等证明：函数f(x)x eq f(2x,x1) 在(，1)上是增函数【证明】x1，x2(，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1 eq f(2x1,x11) (x2 eq f(2x2,x21) )(x1x2)(1 eq f(2,（x11）（x21）) )因为x1x21，所以x110

9、，x210，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以函数f(x)x eq f(2x,x1) 在(，1)上是增函数【补偿训练】 证明函数f(x) eq f(x1,2x) 在区间3，5上是增函数【证明】设x1，x2是区间3，5上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2) eq f(x11,2x1) eq f(x21,2x2) eq f(x1x2,（2x1）（2x2）) .因为3x1x25，所以2x10，2x20，x1x20.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以f(x)在3，5上是增函数学习任务三函数单调性的简单应用(逻辑推理、数学运算)【金榜

10、原创易错变变通】(1)已知函数f(x)在R上单调递增，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_(2)已知函数f(x)在区间2，2上单调递增，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_(3)已知函数f(x)在区间2，2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_【解析】(1)由题意知，1mm，解得m eq f(1,2) .(2)由题意知， eq blc(avs4alco1(21m2,2m2,1mm) ，解得 eq f(1,2) m2.(3)由题意知， eq blc(avs4alco1(21m2,2m2,1mm) ，解得1m eq f(1,2) .答案：(1)( eq f(1,2

11、) ，)(2)( eq f(1,2) ，2(3)1， eq f(1,2) )题(1)中的函数是一个增函数，则不需再考虑1m和m的范围；题(2)是在区间2，2上单调递增，则1m和m必须在这个范围内；题(3)是在区间2，2上单调递减，则要注意1m与m的大小解抽象函数不等式问题的步骤(1)依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉；(2)列出关于未知量的不等式(组)；(3)求解不等式(组)，注意函数的定义域与单调区间的关系1(2022石家庄高一检测)定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2R，且x1x2，都有(x1x2)(f(x1)f(x2)0，则有()Af(2)f(1)f(3)Bf(1)

12、f(2)f(3)Cf(3)f(2)f(1)Df(3)f(1)f(2)【解析】选A.由对任意x1x2，都有(x1x2)(f(x1)f(x2)0成立，所以f(x)是R上的增函数，因为213，所以f(2)f(1)f(3).2函数f(x)kx2(3k2)x5(k0)在区间1，)上单调递增，则实数k的取值范围是()A(0，) B(， eq f(2,5) C eq f(2,3) ，) D eq f(2,5) ，)【解析】选D.因为函数f(x)kx2(3k2)x5在区间1，)上单调递增，所以 eq blc(avs4alco1(f(23k,2k)1,k0) ，解得k eq f(2,5) .【“源”来如此】教材

13、P86第8题：(1)根据函数单调性的定义证明函数yx eq f(9,x) 在区间3，)上单调递增；(2)讨论函数yx eq f(9,x) 在区间(0，)上的单调性；(3)讨论函数yx eq f(k,x) (k0)在区间(0，)上的单调性【“链”接有道】函数yx eq f(a,x) (a0)的单调性(1)若a0，函数yx eq f(a,x) 的图象如图1所示，则函数yx eq f(a,x) 的单调增区间是(， eq r(a) 和 eq r(a) ，)；单调减区间是( eq r(a) ，0)和(0， eq r(a) .(2)若a0，其图象如图2所示，函数yx eq f(a,x) 的单调增区间为(，