新华师大版九年级上册初中数学锐角三角函数与特殊角(含解析)

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档锐角三角函数与特殊角 一.选择题1. （2019天津3分）的值等于A. 1 B. C. D. 2【答案】B【解析】锐角三角函数计算，=2=，故选A.2.（2019四川自贡4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则cos（+）【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出30，同理，可得出：CDECED30，由AEC60结合AEDAEC+CED可得出AED90，设等边三角形的边长为a，则AE2a，DEa，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（+）的值【解答】解：给图中

2、各点标上字母，连接DE，如图所示在ABC中，ABC120，BABC，30同理，可得出：CDECED30又AEC60，AEDAEC+CED90设等边三角形的边长为a，则AE2a，DE2sin60aa，ADa，cos（+）故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于+的直角三角形是解题的关键3.（2019浙江杭州3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OCOB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知ABa，ADb，BCOx，则点A到OC的距离等于（）Aasinx+bsinxBacosx+bcosxCasinx+bcosxDacosx

3、+bsinx【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决【解答】解：作AEOC于点E，作AFOB于点F，四边形ABCD是矩形，ABC90，ABCAEC，BCOx，EABx，FBAx，ABa，ADb，FOFB+BOacosx+bsinx，故选：D【点评】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答二.填空题1. （2019江苏宿迁3分）如图，MAN60，若ABC的顶点B在射线AM上，且AB2，点C在射线AN上运动，当ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是BC【分析】当点C在射线AN上运动，

4、ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值【解答】解：如图，过点B作BC1AN，垂足为C1，BC2AM，交AN于点C2在RtABC1中，AB2，A60ABC130AC1AB1，由勾股定理得：BC1，在RtABC2中，AB2，A60AC2B30AC24，由勾股定理得：BC22，当ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时BC2故答案为：BC2【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解考察直角三角形中30的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点2.

5、 （2019浙江杭州4分）在直角三角形ABC中，若2ABAC，则cosC或【分析】讨论：若B90，设ABx，则AC2x，利用勾股定理计算出BCx，然后根据余弦的定义求cosC的值；若A90，设ABx，则AC2x，利用勾股定理计算出BCx，然后根据余弦的定义求cosC的值【解答】解：若B90，设ABx，则AC2x，所以BCx，所以cosC；若A90，设ABx，则AC2x，所以BCx，所以cosC；综上所述，cosC的值为或故答案为或【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算3. （2019浙江湖州12分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形

6、OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA3，tanOAC，D是BC的中点（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长【分析】（1）由OA3，tanOAC，得OC，由四边形OABC是矩形，得BCOA3，所以CDBC，求得D（，）；（2）由易知得AC

7、BOAC30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B处，则DBDBDC，BDFBDF，所以BDB60，BDFBDF30，所以BFBDtan30，AFBF，因为BFDAEF，所以BFAE90，因此BFDAFE，AEBD，点E的坐标（，0）；动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为yx2+x，因此E（，0），直线DE：yx+，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为yx2+x+，所以E（6，0），直线DE：yx+，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为F1F2，即G运动路径的长为【解答】解：（1）OA3，tanOAC，OC，四边形OABC是矩形，BCOA3

8、，D是BC的中点，CDBC，D（，）；（2）tanOAC，OAC30，ACBOAC30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B处，则DBDBDC，BDFBDF，DBCACB30BDB60，BDFBDF30，B90，BFBDtan30，AB，AFBF，BFDAEF，BFAE90，BFDAFE（ASA），AEBD，OEOA+AE，点E的坐标（，0）；动点P在点O时，抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为yx2+x，E（，0），直线DE：yx+，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为yx

9、2+x+，E（6，0），直线DE：yx+，F2（3，）；点F运动路径的长为F1F2，DFG为等边三角形，G运动路径的长为【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键三.解答题1. （2019贵阳8分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中若阀门的直径OBOP100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OAOB（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中PO

10、B的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角CAB67.5，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度（结果保留小数点后一位）（1.41，sin67.50.92，cos67.50.38，tan67.52.41，sin22.50.38，cos22.50.92，tan22.50.41）【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）根据余角的定义得到BAO22.5，根据等腰三角形的性质得到BAOABO22.5，由三角形的外角的性质得到BOP45，解直角三角形即可得到结论【解答】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB的取值范围为：9

11、0POB0；（2）如图，CAB67.5，BAO22.5，OAOB，BAOABO22.5，BOP45，OB100，OEOB50，PEOPOE1005029.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形注意方程思想与数形结合思想的应用2. （2019铜仁10分）如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45和60，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h（结果取整数，1.7

12、32）【解答】解：由题意得，A30，B45，AB10km，在RtAPM和RtBPM中，tanA，tanB1，AMh，BMh，AM+BMAB10，h+h10，解得：h1556；答：h约为6km3. （2019海南10分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里（1）填空：BAC30度，C45度；（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）【分析】（1）由题意得：BAC906030，ABC90+15105，由三角形内角和定理即可得出C的度数；（2）证出BCP是等腰直角三角形，

13、得出BPPC，求出PABP，由题意得出BP+BP10，解得BP55即可【解答】解：（1）由题意得：BAC906030，ABC90+15105，C180BACABC45；故答案为：30，45；（2）BPAC，BPABPC90，C45，BCP是等腰直角三角形，BPPC，BAC30，PABP，PA+PCAC，BP+BP10，解得：BP55，答：观测站B到AC的距离BP为（55）海里【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键5. （2019浙江湖州12分）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，

14、OA3，tanOAC，D是BC的中点（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长【分析】（1）由OA3，tanOAC，得OC，由四边形OABC是矩形，得BCOA3，所以CDBC，求得D（，）；（2）由易知得ACBOAC30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在A

15、C上的B处，则DBDBDC，BDFBDF，所以BDB60，BDFBDF30，所以BFBDtan30，AFBF，因为BFDAEF，所以BFAE90，因此BFDAFE，AEBD，点E的坐标（，0）；动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为yx2+x，因此E（，0），直线DE：yx+，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为yx2+x+，所以E（6，0），直线DE：yx+，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为F1F2，即G运动路径的长为【解答】解：（1）OA3，tanOAC，OC，四边形OABC是矩形，BCOA3，D是BC的中点，CDBC，D（，）；（2）tanOAC，OAC30，ACBOAC30，设将DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B处，则DBDBDC，BDFBDF，DBCACB30BDB60，BDFBDF30，B90，BFBDtan30，AB，AFBF，BFDAEF，BFAE90，BFDAFE（ASA），AEBD，OE