2022年二阶导数意义

1、二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次,意义如下：（1）斜线斜率变化的速度,表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性；（3）判定极大值微小值；结合一阶、二阶导数可以求函数的极值；当一阶导数等于零,而二阶导数大于零时,为微小值点；当一阶导数等于零,而二阶导数小于零时,为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时,为驻点；一、用二阶导数判定极大值或微小值定理设fx在x 二阶可导,且fx 00 ,fx 00 x3处1 如fx00,就fx 在x0取得极大值；在0 x取得微小值2 如fx 00,就fxxasinx1sin3x在例试问 a 为何值时,函数f3取得极值？它是极大值仍是微小值？求此极值

2、解ffxac o sc o s x由假设知2,从而有a1300,即a2又当a2时,fx2sinx3sin3x,且f330,所以fx2sinx1sin3x在x3处取3得极大值,且极大值f335的极大值与微小值例求函数fx x33x29x解fx在24,上连续,可导令1 x3 0,fx 3x26x93 x得fx在x1x1和x3,x3取得极大仍是极摸索：取得极大仍是微小值？在小值？f 6 x 6-1 代入二阶导数表达式为 -12,f x 在 x 1 取得极大值3 代入二阶导数表达式 12,在 x 3 取得微小值三、函数图像凹凸定理 如 f x 在 a , b 内二阶可导,就曲线yfx在a,b内的图像是

3、凹曲线的充要条件是fx 0,xa,bfx在a ,b 内 的 图 像 是 凸 曲 线 的 充 要 条 件 是曲 线yfx 0,xa ,b；fx 在某个区间 I 上有f 0几何的直观说明：假如假如一个函数恒成立,那么在区间 I 上 fx 的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方；.曲线的凸性 对函数的单调性、 极值、最大值与最小值进行了争论,使我们知道了函数变化的大致情形 但这仍不够, 由于同属单增的两个可导函数的图形, 虽然从左到右曲线都在上升, 但它们的弯曲方向却可以不y 同如图 11 中的曲线为向下凸,而图y 12 中的曲线为向上凸o图x1o

4、1 x图 12 f x 1 f x 2 f x 1 x 2 2 2定义 4.5.1 设 y f x 在 a , b 内可导,如曲线 y f x 位于其每点处切线的上方, 就称它为在 a , b 内下凸 或上凹 ；如曲线 y f x 位于其每点处切线的下方,就称它在 a , b 内上凸 或下凹 相应地,也称函数 y f x 分别为 a , b 内的下凸函数和上凸函数 通常把下凸函数称为凸函数 从图 11 和图 12 明显看出,下凸曲线的斜率tanfx其中为切线的倾角 随着 x 的增大而增大,即 f x 为单增函数；上凸曲线斜率 f x 随着 x的增大而减小,也就是说,f x 为单减函数但 f x

5、 的单调性可由二阶导数 f x 来判定,因此有下述定理定理 4.5.1 如 f x 在 a , b 内二阶可导,就曲线 y f x 在 a , b 内下凸 凹函数 的充要条件是f x 0 x a , b 例 1 争论高斯曲线 y e x 2的凸性2 2解 y 2 xe x,y 2 2 x 21 e x所以当 2 x 2 1 0,即当 x 1 或 x 1 时 y 0；2 2当 2 x 2 1 0,即当 1x 1 时 y 02 2因此在区间 , 1 与 1, 内曲线下凸；在区间 1, 1 内曲线2 2 2 2上凸四川高考数学 2022理 22 压轴题22,已知函数f x x22alnx,证明 fx的导函数 f xx对 于 任 意 两 个 不 相 等 的 正 数x1 , x2 , 当a0时 , 有f x 12f x 2fx 12x 2证法一：由f x x22alnxxf x 12f x 212 x 1x 2211alnx 1lnx 22x 1x 22=1 2x 12x 22x 1x 2alnx x 2x x 2fx 12x 2x 12x 22x 14x 2alnx 12x 2比较大小,会算吗？二