《高等代数》第十章习题及答案

1、习题10.1解答1.设矩阵A()=diag(d1(), d2(),., d5()如果dj()|dj+1(),j=1,2,3,4，求的前三项行列式因子解A()的1阶行列式因子显然为d1(), 2阶行列式因子显然为d1()d2(), 3阶行列式因子显然为d1()d2()d3(), 4阶行列式因子显然为d1()d2()d3()d4(), 5阶行列式因子显然为d1()d2()d3()d4()d5()2.设矩阵A()=把A()写成A22+A1+A0的形式，其中A2 ，A1，A0都是数字矩阵，又将(A()2也写成上述形式解A()= +=+(A() 2=(A22+A1+A0)2=+3.求Jordan块J(0

2、,n)的平方的特征矩阵的各阶行列式因子解 (J(0,n)2=n阶行列式因子为n有一个n-2阶子式等于(-1)n-2，所以n-2阶行列式因子为1阶数小于n-2的行列式因子均为1n-1阶行列式因子一定整除n阶行列式因子，且因为只有n-2个-1，要使n-1阶子式不为零，必须有，但多一个，就会少一个-1可以从第2行开始，偶数行取，奇数行取-1相乘，当n为奇数时，乘的结果取正号时为(n-1)/2；当n为偶数时，乘的结果取正号时为n/2所以当n为奇数时，A的n-1阶行列式因子为(n-1)/2；当n为偶数时，A的n-1阶行列式因子为n/210.2习题解答1.求A的特征矩阵的不变因子组：A= 解 E-A=A的

3、不变因子组为1，+1，(+1)2 E-A=A的不变因子组为1，1，(-1)32.求A()的标准形： A()= A()=A()=解 A()= A()=A()=习题10.5解答如果矩阵A的不变因子组如下，求矩阵A的若当标准形1，1，(-1)，(-1) 31，1，1，(-1)(-1) 31，1，1，1，1，(+1) 2，(+1) 2，(+2) 2(-3)2解 A的初等因子组为(-1)，(-1) 3，A的若当标准形为J=A的初等因子组为(-1) 4，A的若当标准形为J= A的初等因子组为(+1) 2，(+1) 2，(+2) 2，(-3)2，A的若当标准形为 J=2.求下述矩阵的若当标准形 解 E-A=

4、A的初等因子为(+1),( +1)2，A的若当标准形为J= E-A=A的初等因子为(-2)3，A的若当标准形为J= E-A=A的初等因子为，(+1)2，A的若当标准形为J= E-A= E-A=A的初等因子为(-1)2，(-1)2，A的若当标准形为J=3.设AMatnn(C)证明A的不变因子组中的最后一个不变因子恰是A的最小多项式证 设A的初等因子组为(-1)n1，(-2)n2，. ,(-s)ns，则A的特征多项式为f()= (-1)n1(-2)n2.(-s)ns其中1，2，.，s中有些是相同的，当i和j相同，则去掉(-i)ni，(-j)nj，中指数较小的一个，不妨设1，2，.，t中互不相同，且

5、在(-1)n1，(-2)n2，. ,(-s)ns对应最大指数，令 m(x)= (x-1)n1(x-2)n2.(x-t)nt设A的若当标准形为J，则存在可逆矩阵C使A=C-1JC，显然m(A)=C-1m(J)C =C-10C=0假设A的最小多项式为m1(x),则m1(x)|m(x)，根据初等因子与若当块的对应关系知，假若m1(x)= (x-1)p1(x-2)p2.(x-t)pt 的次数比m(x)小不妨设p1n1，则m1(J)= (J-1E)p1(J-2E)p2.(J-tE)pt，右边各项中第一个若当块对应的分块对角阵都不为零，从而m1(J)不为零，所以m1(A)不为零，矛盾故m(x)是A的最小多项式4.求(J(0,n)2的若当标准形解 在习题10.1的第3题中得(J(0,n)2的n阶行列式因子为n；n-2阶行列式因子为1阶数小于n-2的行列式因子均为1当n为奇数时，(J(0,n)2的n-1阶行列式因子为(n-1)/2；当n为偶数时，(J(0,n)2的n-1阶行列式因子为n/2所以当n为奇数时，(J(0,n)2的初等因子组为(n-1)/2，(n+1)/2，对应的若当标准形为dia