《高等代数》第三章习题及答案

1、习题3.1计算下列行列式： 解 =(a+2)(a-5)+3=a2-3a-7=(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2) = a3+2a习题3.2求从大到小的n阶排列(n n-1 2 1)的逆序数解 (n n-1 2 1)=(n-1)+(n-2)+1+0=习题3.31.在6阶行列式中，项a23a31a42a56a14a65和项a32a43a14a51a66a25应各带有什么符号？解 因为a23a31a42a56a14a65=a14a23a31a42a56a65，而(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a23a31a42a56a14a

2、65带有正号又因为项a32a43a14a51a66a25=a14a25a32a43a51a66，而(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a32a43a14a51a66a25带有正号2.计算：解 因为a15a24a33a42a51的逆序数为(5 4 3 2 1)=54/2=10，带有正号，所以=53214=120习题3.4计算：解 =100=-294105习题3.51.计算下列行列式： 解 =-726=-5=-1002. 计算下列n阶行列式（n2）： 解 =+ =an+(-1)n+1bn Dn=an-1Dn-1+(-1)n+1= an-1Dn-1+(-1)n+1(-1)1

3、+(n-1)=an-1Dn-1-a1a2an-2=an-1(an-2Dn-2-a1a2an-3)-a1a2an-2=an-1an-2Dn-2-an-1a1a2an-3-a1a2an-2= an-1an-2a2D2-an-1an-2a3a1-an-1an-2a1a2an-4-an-1a1a2an-3-a1a2an-2= an-1an-2a2-an-1an-2a3a1-an-1an-2a1a2an-4-an-1a1a2an-3-a1a2an-2=-an-1an-2a2-an-1an-2a3a1-an-1an-2a1a2an-4-an-1a1a2an-3-a1a2an-2=- Dn=anx1x2xn

4、-1+xnDn-1=anx1x2xn-1+xn(an-1x1x2xn-2+xn-1Dn-2)=anx1x2xn-1+xnan-1x1x2xn-2+xnxn-1Dn-2=anx1x2xn-1+xnan-1x1x2xn-2+xnxn-1x4a3x1x2+xnxn-1x4x3D2=anx1x2xn-1+xnan-1x1x2xn-2+xnxn-1x4a3x1x2+xnxn-1x4x3(a1+x1)x2+a2x1=Dn+1=2!3!.n!3.计算下列n阶行列式（n1）：解 Dn=+=+=anDn-1-a1a2an-1=an(an-1Dn-2-a1a2an-2)-a1a2an-1=anan-1Dn-2-a

5、na1a2an-2-a1a2an-1= (ai0)Dn=+=xn(-a)n-1(x1+x2+xn)+(-a)n4.证明：n阶行列式其中zy解 Dn=(x-z)Dn-1-(y-x)=(x-z)Dn-1-(y-x)z=(x-z)Dn-1-(y-x)z=(x-z)Dn-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)Dn-1+z(x-y)n-1即有 Dn=(x-z)Dn-1+z(x-y)n-1 (1)又Dn=(x-y)Dn-1-(z-x)=(x-y)Dn-1-(z-x)y=(x-y)Dn-1-(z-x)y=(x-y)Dn-1-(z-x)y(x-z)n-2即有Dn=(x-y)Dn-1+y(x-z)n-1

6、(2)联立式（1）和式（2）得习题3.61.设A,B,PMatnn(F)，并且P是可逆的，证明：如果B=P-1AP，则|B|=|A|证 因为|P-1|P|=1，所以|B|=|P-1AP|=|P-1|A|P|=|A|2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1证 设A，B都是nn矩阵，则=另一方面，对的第2行小块矩阵乘以A加到第一行上去，有=所以习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵 解 设原矩阵为A，则A11=-1，A21=-1，A12=1，A22=2，伴随矩阵A*=，|A|=-2+1=-1，所以，A-1=设原矩阵为A，则A11=-9+8=-1，A21=-（-15+14）=

7、1，A31=20-21=-1，A12=38，A22=-41，A32=34，A13=-27，A23=29，A33=-24伴随矩阵A*=，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A-1=2.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零证 因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零3.设A是nn矩阵证明：A是可逆的，当且仅当A*也是可逆的证 因为 AA*=|A|E，

8、两边取行列式得|A|A*|=|A|n若A可逆，则A的行列式|A|0，从而有|A*|=|A|n-10，所以A*可逆反之，若A*可逆，设A*的逆阵为(A*)-1用反证法，假设A不可逆，则A的行列式|A|=0，所以AA*=|A|E=0，对AA*=0两边同时右乘(A*)-1，得A=0，从而A的任一n-1阶子式必为零，故A*=0，这与A*可逆相矛盾，因此A可逆4.证明定理3.7.2的推论1推论1的描述：设A是分块对角矩阵，A=diag(A1,A2,As)，证明：A可逆当且仅当A1,A2,As均可逆，并且A-1=diag(A1-1,A2-1,As-1)证 A可逆，当且仅当A的行列式|A|0，而|A|=|A

9、1|A2|As|，所以|A|0当且仅当|A1|，|A2|，|As|都不为零，即A1,A2,As均可逆令B=diag(A1-1,A2-1,As-1)，则有AB=E故A-1=diag(A1-1,A2-1,As-1)4.设A=是实矩阵（实数域上的矩阵），且a33=-1证明：如果A的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1证 如果A的每一个元都等于它的代数余子式，则A的伴随矩阵A*=AT所以|A*|=|A|，又AA*=|A|E，两边取行列式得|A|2=|A|3由a33=-1，得AA*=比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a312+a322+10，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|

10、A|=16.设A=(aij)是nn可逆矩阵，有两个线性方程组（）（）如果（）有解证明：当且仅当u=v时，（）有解证 设方程组（）的解为x1*, x2*, xn*，代入方程组（）得（）当u=v时，因为 A=(aij)是nn可逆矩阵，A的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（）的前n个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x1*, x2*, xn*，代入方程组（）的前n个方程中得（）对等式组（）中第1个等式的两端同时乘以x1*,第2个等式的两端同时乘以 x2*, 第n个等式的两端同时乘以 xn*，然后将n各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（）式，可得b1x1*+b2x2*+bnxn*=c1x1*+ c2x2*+ cnxn*=u由u=v，得b1x1*+b2x2*+bnxn*=u即x1*, x2*, xn*也满足（）中最后一个方程所以方程组（）有解反之，若方程组（）有解，设其解为x1*, x2*, xn*，代入（）得到（）对等式组（）中第1个等式的两端同时乘以x1*,第2个等式的两端同时乘以 x2*, 第n个等式的两端同时乘以 xn*，然后将n各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（）式，可得c1x1*+c2x2*+cnxn*=b1x1*+ b2x2*+ b