圆内接四边形及四点共圆-教学案有答案

1、.wd.wd.wd.?圆内接四边形与四点共圆选学?教案设计引言：圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系,这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形。实际上,在许多题目的条件中，并没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论。确定四点共圆的方法有哪些呢思路一：用圆的定义：到某定点的距离相等的所有点共圆。假设连在四边形的三边的中垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。这三边的中垂线的交点就是圆心。产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。 基本模型：AO=BO=CO=DO A、B、C、D四点共圆O为圆心思路二：从

2、被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。 要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。思路三：运用有关性质和定理：对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的对角互补。 基本模型：或 A、B、C、D四点共圆张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，那么这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的 HYPERLINK :/baike.baidu /view

3、/557387.htm t _blank 同侧，假设能证明其顶角即：张角相等(同 HYPERLINK :/baike.baidu /view/270724.htm t _blank 弧所对的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/258644.htm t _blank 圆周角相等，从而即可肯定这四点共圆。 A、B、C、D四点共圆同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。产生原因：直径所对的圆周角是直角。 A、B、C、D四点共圆外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。 基本模型： A、B、

4、C、D四点共圆用相交弦定理或切割线定理的逆定理：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，假设能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆。相交弦定理的逆定理产生原因：相交弦定理。 基本模型： A、B、C、D四点共圆把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，假设能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆 HYPERLINK :/baike.baidu /view/639186.htm t _blank 割线定理的逆定理产生原因：割线定理。 基本模型： A、B、C、D四点共圆二、新课探究例1、如图，AD、BE、CF

5、是锐角的三条高，H为垂心。1图中共有多少组四点共圆2求证：。分析：练习：锐角ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中，能组成四点共圆的组数是A、4组 B、5组 C、6组 D、7组分析：例2、ABC为等腰直角三角形，C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于_。分析：理由：教师小结：在四点共圆的题目的条件中，通常没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把存在的圆找出来，然后再借助圆的性质进展相应的推导。练习：2011湖北武汉中考题改编如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，A

6、D上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，那么四边形BCDG的面积记作：S四边形BCDG与边CG的关系是_。分析：S四边形BCDG=CG2理由：BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60=BCD，点B、C、D、G四点共圆，BGC=BDC=60，DGC=DBC=60。BGC=DGC=60。过点C作CMGB于M，CNGD于N那么CBMCDNHL。S四边形BCDG=S四边形CMGN，S四边形CMGN=2SCMG。CGM=60，GM=CG，CM=CG，S四边形CMGN=2SCMG=2CGCG=CG2。例3 如图，锐角中，且O、I、H分别为的外心、内心和垂心。求证：OI=

7、IH。分析：连结AO、AI、OC、IC、HC。 练习：如图，四边形内接于一圆，的内心是，的内心是，的内心是。求证：1A、I、I、A四点共圆；2=90。分析：三、反响训练 如图，O是RtABC斜边AB的中点，CHAB于H，延长CH至D，使得CH=DH，F为CO上任意一点，过B作BEAF于E，连接DE交BC于G。求证：CAF=CDE；分析：四、课外拓展1、ABC中，ACB=90，AB边上的高线CH与ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证：EFAB。2、如以下列图，I为ABC的内心，求证：BIC的外心O与A、B、C四点共圆。3、如图，BD，CE是ABC

8、的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是ABC的外心求证：AOFG。题单1、假设一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，那么这个梯形是_梯形。分析：2、如图，ABC中，BAC90，ADBC，BEAC，且AD、BE交于点H，连接CH，那么ACH+BAE=_。提示：过A作O的切线交BC的延长线于点F。答案：90理由：3、如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上。分析：4、如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm。P为正方形内一点，且OPB=45，PA：PB=5：14那么PB=_。提示：连结OA、OB分析：42cm。理由：5、2011山东济南中考压轴题如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰ACD和BCE，CACD，CBCE，ACD与BCE都是锐角，且ACDBCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP。(1)求证：ACEDCB；(2)请你判断ACM与DPM的形状有何关系并说明理由；(3)求证：APCBPC。分析：解：(1)证：ACDBCE，ACEDCB。又CACD，CE CB，ACE