rmf第二章逻辑代数基础25261课件

1、第二章 逻辑代数基础 逻辑代数的基本运算 逻辑函数及其化简基本运算基本公式和常用公式基本定理逻辑函数的几种表示方法逻辑函数的化简具有无关项的逻辑函数公式化简法卡诺图化简法1第1页，共31页。2.5逻辑函数及其表示方法 2.5.1 逻辑函数 输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数，写作 Y = F(A，B，C，) A、B、C、D为有限个输入逻辑变量；F为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。表示逻辑函数的表示方法有：逻辑函数表达式、真值表、逻辑图以及波形图。2第2页，共31页。真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。1个输入变量有0和1两种取

2、值， n个输入变量就有2n个不同的取值组合。例：逻辑函数Y=AB+BC+AC 表1-11逻辑函数的真值表 A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1三个输入变量，八种取值组合 1. 真值表2.5.2 逻辑函数的表示方法 000101113第3页，共31页。A B CY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11真值表的特点： 唯一性; 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。 4第4页，共31页。2. 逻辑表达式 按照对应的逻辑关系，把输出

3、变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。由真值表可以方便的写出逻辑表达式。方法为： 找出使输出为1的输入变量取值组合； 输入取值为1用原变量表示，取值为0的用反变量表示，则输入变量可写成一个乘积项； 将所有输出为1的乘积项取或即得输出逻辑表达式。 ABY001010100111Y = AB + ABABAB5第5页，共31页。3. 逻辑图 将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用相应的逻辑符号表示出来，就可以画出表示逻辑函数的逻辑图。Y = A + BCAYBC逻辑图6第6页，共31页。4. 波形图 如果将逻辑函数输入变量的每一种可能出现的

4、取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来，就得到了该逻辑函数的波形图，也称时序图。Y=A(B+C)输 入输出ABC Y 00000101001110010111011100000111A0tB0tC0tY0t000000100100011010001011110111117第7页，共31页。5. 各种表示方法间的相互转换（1）真值表逻辑函数式 真值表 逻辑函数式 将真值表中，函数值1的行挑出来； 将挑出来的每一行写成一个乘积项； 取值为0的变量写成反变量，取值为1的写为原变量的形式，再构成乘积项； 将所有的乘积项加起来，即得逻辑函数式。 逻辑函数式 真值表 将自变量的各种取值带入逻辑函数式中运

5、算，求出相应的函数值，再列成表即可。（2）逻辑函数式逻辑图 逻辑函数式逻辑图 用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。 逻辑图逻辑函数式（逻辑表达式） 对逻辑图逐级写出逻辑函数式8第8页，共31页。例：写出下列逻辑图的逻辑函数式AYBCY=(B+C) A=A(B+C) 9第9页，共31页。结论：一个逻辑函数的逻辑函数式和逻辑图不是唯一的，但真值表是唯一的。 （4）波形图真值表 波形图真值表 首先从波形图上找出每个时段里输入变量与输出函数的取值，然后将这些值对应列表即可。 真值表波形图 将真值表中所有的输入变量与对应的输出变量的取值依次排列成以时间为横轴的

6、波形。（3）逻辑图真值表 逻辑图真值表 逻辑图逻辑函数式真值表。 真值表逻辑图 真值表逻辑函数式逻辑图。10第10页，共31页。（1）最小项 具备以上条件的乘积项共八（23）个，我们称这八个乘积项为三变量A、B、C的最小项。 设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项： 每个乘积项都只含A、B、C三个因子，且每个变量都是它的一个因子； 每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、B、C)的形式在乘积项中出现一次，且仅出现一次。 2.5.3 逻辑函数的两种标准形式（最小项和最大项）最小项的定义: 对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量

7、或者反变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次，那么就称P是这N个变量的一个最小项。 一个变量仅有原变量和反变量两种形式，因此N个变量共有2N个最小项。 11第11页，共31页。表1-17三变量最小项以及真值表 ABCABCABCABCABCABCABCABCABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001AB 是三变量函数的最小项吗？ABBC 是三变量函数的最小项吗？12第12页，共31页。（2）最小项的性质 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值

8、为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0； 任意两个不同的最小项之积恒为0； 变量全部最小项之和恒为1。 ABCABCABCABCABCABCABCABCABC000100000000010100000001000100000011000100001000000100010100000100110000000101110000000113第13页，共31页。最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数，就是该最小项的编号。 表1-18 三变量最小项的编号表 A B C对应十进制数最小项编号0 0 0

9、0ABCm00 0 11ABCm10 1 02ABCm20 1 13ABCm31 0 04ABCm41 0 15ABCm51 1 06ABCm61 1 17ABCm714第14页，共31页。 （3）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例1-7将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： 或： BCABCABBCACABBCABY+=+=+=)()(CACA方法：首先将给定的逻辑函数式化为若干乘积项之和的形式，然 后再利用基本公式将每个乘积项中缺少的因子补全。15第15页，共31页。2.6 逻辑函数

10、的化简方法2.6.1 公式化简法2.6.2 卡诺图化简法16第16页，共31页。1.化简的意义和最简单的概念 （1）化简的意义 例：用非门和与非门实现逻辑函数 解：直接将表达式变换成与非与非式： 可见，实现该函数需要用两个非门、四个两输入端与非门、一个五输入端与非门。电路较复杂。241两次求反反演律2.6.1 逻辑函数的公式化简法Y=A+AB+A(BC)+BC+BCY= (A+AB+A(BC)+BC+BC) = (A(AB)(A(BC)(BC)(BC)17第17页，共31页。若将该函数化简并作变换： 可见，实现该函数需要用两个非门和一个两输入端与非门即可。电路很简单。21Y=A+AB+A(BC

11、)+BC+BCY=A(1+B+(BC)+BC+BC =A+C =(AC)18第18页，共31页。（2）逻辑函数的多种表达式形式与-或表达式与非-与非表达式 或-与非表达式 或非-或表达式 两次求反并用反演律（A+B）=AB反演律（AB）=A+B反演律Y=AB+ACY=(AB)(AC)Y=(A+B)(A+C)Y=(A+B)+(A+C)19第19页，共31页。Y=AB+AC（2）逻辑函数的多种表达式形式（续）或-与表达式或非-或非表达式 与-或非表达式 与非-与表达式 Y=(AC+AB)Y=(A+C)+(A+B)Y=(AC)(AB)+AA+BC =(A+C)(A+B) =A(A+C)+B(A+C)

12、20第20页，共31页。由以上分析可知，逻辑函数有很多种表达式形式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常用的。 （3）逻辑函数的最简标准由于与或表达式最常用，因此只讨论最简与或表达式 的最简标准。最简与或表达式为： 与项（乘积项）的个数最少； 每个与项中的变量最少。21第21页，共31页。2. 公式化简法 反复利用逻辑代数的基本公式、常用公式和运算定理进行化简，又称为代数化简法。必须依赖于对公式和规则的熟练记忆和一定的经验、技巧。 01律（1）A1=A（3）A0=0（2）A+0=A（4）A+1=1交换律（5）AB=BA（6）A+B=B+A结合律（7）A(BC)=（AB）C（8）A+（B+C

13、）=（A+B）+C分配律（9）A(B+C)=AB+AC（10）A+（BC）= (A+B) （A+C）互换律（11）AA=0（12）A+A=1重叠律（13）AA=A（14）A+A=A反演律（15）（AB）=A+B（16）（A+B）=AB还原律（17）(A)=A基本公式22第22页，共31页。常用公式AB+AB=AA+AB=AA+AB=A+BAB+AC+BC=AB+AC AB+AC+BCDE=AB+AC23第23页，共31页。Y=ABC+ABC+ABC+ABC例 化简函数解： （1）并项法 利用公式A+A=1或公式AB+AB=A进行化简，通过合并公因子，消去变量。而且，根据代入定理可知，A和B都可

14、以是任何复杂的逻辑式。Y=AB(C+C )+AB(C+C)=AB+AB=A24第24页，共31页。Y=ABD+CD+ABCD(EF+EF) （2）吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例 化简函数解： Y=ABD+CD+ABCD(EF+EF) =ABD+CD25第25页，共31页。Y=ABCD(E+F)+EF =ABCD(E+F)+(E+F) =ABCD+(E+F) =ABCD+EF例 化简函数解： （3）消因子法 利用公式A+AB=A+B进行化简，消去多余项。Y=ABCD(E+F)+EF26第26页，共31页。Y=AB+BC+BC+AB =AB+BC+(A+A)BC+AB(C+

15、C) =AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC =AB+BC+AC(B+B) =AB+BC+AC解： 根据基本公式A+A=A, 在逻辑函数式中重复写入某一项例 化简函数Y=AB+BC+BC+AB在适当的项配上A+A=1进行化简。 例: 化简函数Y=ABC+ABC+ABC（4）配项法解: 若在式中重复写入ABC,则可得到Y=ABC+ABC+ABC+ABC =AB(C+C)+BC(A+A)=AB+BC27第27页，共31页。Y=AB+BC+BC+AB =AB(C+C)+(A+A)BC+BC+AB =ABC+ABC+ABC+ABC+BC+AB =AC(B+B)+BC+AB =AC+BC+AB例

16、化简函数解2： 解1得： 问题：函数Y的结果不一样，哪一个解正确呢？ 答案都正确! 最简结果的形式是一样的，都为三个与项，每个与项都为两个变量。表达式不唯一！Y=AB+BC+BC+AB =AB+BC+AC28第28页，共31页。Y=AB+BC+BC+AB =AB+BC+BC+AB+AC =AB+BC+AB+AC =AB+BC+AC例 化简函数解： （5）消项法 利用公式AB+AC+BC=AB+AC，先添加一项BC，然后再利用BC进行化简，消去多余项。Y=AB+BC+BC+AB29第29页，共31页。Y=AD+AD+AB+AC+BD+ACEF+BEF+DEFG =A+AB+AC+ACEF+(BD+BEF+DEFG) =A+C+BD+BEF下面举一个综合运用的例子。解： Y=AD+AD+AB+AC+BD+ACEF+BEF+DEFG消因子法: A+AB=A+B消项法: