高微观经济学习题

1、第一部分：消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）二、效用函数存在性证明 请参考教材三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为（2，4）时，其需求为（1，2）。当价格为（6，3）时，其需求为（2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。如果（1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。解答： 消费束1偏好于消费束2 消费束2偏好于消费束1违反了显示性偏好弱公理。如果（1.4，1）时： 消费束1偏好于消费束2 消费束1在价格2的情况下买不起。符合显示性偏好弱公理

2、。四、效用函数，求瓦尔拉斯需求函数解答：从效用函数可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，或者由,可得到实际上，这是一个边角解，五、效用函数，对其求1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；2、希克斯需求函数，支出函数。答案：1、，2、，（形式可能不一样）六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。 请参考教材七、证明对偶原理中的1.2. 请参考教材八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集。假定。证明：如果是一个凸集，则也是凸集。 请参考教材九、效用函数，推导斯拉茨基方程，

3、并分析替代效应、收入效应和总效应。 请参考教材十、效用函数，求其货币度量的直接和间接效用函数。答案：十一、效用函数，当，求其等价变化和补偿变化。答案： ，十二、分析福利分析在税收方面的应用。 请参考教材十三、，假定，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。解答：max s.t. 1求瓦尔拉斯需求函数（1）建立拉格朗日函数（2）求极值一阶条件 (a) (b) (c)由(a)和(b)整理得：（3）瓦尔拉斯需求函数分别将，代入预算约束(c)，有 2求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数，有3求支出函数由间接效用函数，求反函数得：4求希克斯需求函数法一：将支出函数代

4、入瓦尔拉斯需求函数，得到 法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。5求货币度量的效用函数（1）货币度量的直接效用函数由，有（2）货币度量的间接效用函数6下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。，等价变化分析：按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：商品税与收入税对消费者的福利之差为:表明商品税对消费者的福利影响更差。 补偿变化分析：按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：商品税与收入税对消费者的福利之差为:=0.1213表明商品税对消费者的福利影响更差。设xB, xB,0,1. 令x=x+(1-) x,因为x是一个凸

5、集，所以xX. 故px=(px)+ (1-)(px)w+ (1-)w=w因此，xB. 因为x(p,w)对w是一次齐次的，所以对任意0有x(p,w)=x(p,w).因此，x(p,w)= x(p,1)w.因为当kl时，(p,1)/= (p)/=0所以 x(p,1)只是关于p的函数，即可记为x(p,w)= x( p).又因为x(p,w)满足零次齐次性，所以x( p)必定是p的-1次方。因此，存在0时，使x( p)=/ p.根据瓦尔拉斯定律,p（/ p）w=w=w.因此有=1 是个常数.2.F. 3 (a) 若100120+100y100100+100100且100100+80100100120+80

6、y 即,y75,80时,他的行为与弱公理矛盾. (b) 若100120+100y100100+100100且100100+80100100120+80y即,y100100+100100且100100+80100100120+80y即,y80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.(注:b,c假定弱公理成立) (d) 无论y取何值,都有充分的信息来断定a,b,c 中有一个成立 (e) 当y100120+80y因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格上升.但是,因为y75100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品1(在某一价格上)是

7、劣等品.当80y100100+100100且100100+80100100120+80y因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2的相对价格下降.但是,因为y100,商品2的需求量下降,这意味着商品2的收入效应是负的.故商品2(在某一价格上)是劣等品. (a) 令(x)=u(x)=(x- b)(x- b)(x- b),其中,因为函数uu是单调变换,因此, ,()与u()代表相同的效用水平. 因而我们可以不失一般性的假定. (b) 对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换： lnu(x)=ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b). 根据UMP的一阶条件得出瓦尔拉斯

8、需求函数: x(p,w)=( b, b, b)+(w-pb)(/p,) 其中pb= 将此需求函数代入u(),得到间接效用函数: v(p,w)= (w-pb)（本题（a）中验证3.E.2和3.E.3不用作。） (a) 假设 .对于效用函数: lnu(x)=ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b).根据EMP一阶条件得:h(p,u)= ( b, b, b)+u将此函数代入ph(p,u),得到支出函数:e(p,u)=pb+u. 其中, pb=.(b)对(a)中求出的支出函数求导，通过与h(p,u)比较,可得到支出函数的导数即为（a）中所求出的希克斯需求函数。(c)根据(b)可得，Dh(p

9、,u)=De(p,u). 将a中的支出函数对p求二阶导数，得到= 在3.D.6中，我们得到x(p,w)=( b, b, b)+(w-pb)(/p,) 于是，Dx(p,w)= (/p,) Dx(p,w)= -(w-pb) ( b, b, b)根据以上结果,我们可验证斯拉茨基方程成立. (d) 根据Dh(p,u)=De(p,u)以及 De(p,u)即得。（e）根据=Dh(p,u)=De(p,u),我们可得出De(p,u)是半负定的，并且秩为2。3.G.6 (a) 根据瓦尔拉斯定律，可得到：x=(w-)/是齐次的。 对于任意，有：100-5+=100-5+，=.因为斯拉茨基替代矩阵具有对称性，则有：

10、= 因此，代入=1，整理得： = 因为该方程对于所有和w都成立,则有，=，=-5， 得， =由于斯拉茨基矩阵的对角线上的所有元素均为非正的，则得到：=0 代入=1，对角线上的第一个元素为：-5+若0，则0，就可找到一组值使得上式0.故得：=0 所以，=.（d）因为对于任意价格，=，所以消费者的无差异曲线呈L型，拐点在坐标轴的对角线上，如下图。X1 OX2根据d的结论，对于固定的，商品1和2的偏好可由表示，商品1和2的需求也无收入效应。因此得到：=+或是该形式的单调变换。3.I.7 (a) 根据瓦尔拉斯定律和零次齐次性，可得到三种商品的需求函数的定义域都是。于是我们可以从需求函数中得到一个33的

11、斯拉茨基矩阵。将该斯拉茨基矩阵的最后一行与最后一列去掉，可得到一个22的子矩阵，为.根据瓦尔拉斯定律和齐次性，当且仅当22的子矩阵对称时，33的斯拉茨基矩阵也对称。同样，可得当且仅当22的子矩阵为半负定矩阵时，33的斯拉茨基矩阵也是半负定矩阵。因此，效用最大化所蕴含的参数限制为：c=e,b0,g0,且bg-c0. 首先，证明前两种商品相应的希克斯需求函数与效用水平无关，仅是前两种商品价格的函数，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。 =, = l=1,2 因为与收入无关，= 因此=。 故，与效用水平无关，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。 若价格变化是遵循路径：，则等价变化为： +=+ =+ 若价格变

12、化是遵循路径：，则等价变化为： +=+ =+ 当且仅当c=e时，以上两种等价变化相等。由以上可知：=a+(3/2)b+c =d+e+(3/2)g=d+c+(3/2)g =( a+(3/2)b+c)+(d+2e+(3/2)g)=a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g 因此, -(+)=c 与之和不包括由于第二种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应（同样也可指不包括第一种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应）。从图中看出，当c=e0，包括ABCD区域，但+不包括。X1d+ed+2e201DCBAX2 因为=a+2b+c,第一种商品的税收

13、收入与它相等，因此，=( a+(3/2)b+c)-（a+2b+c）=-b/2因为=d+e+2g,第二种商品的税收收入与它相等，因此，=(d+e+(3/2)g)-（d+e+2g）=-g/2因为=a+2b+2c, =d+2e+2g,两种商品的税收收入为：（a+2b+2c）+（d+2e+2g）=a+2b+4c+d+2g因此，=(a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g)-(a+2b+4c+d+2g)=-b/2-c-g/2 故，-（+）=-c（e）问题可以转化为：s.t. R 其中， =- =-建立拉格朗日函数：=+（R-）对求一阶导数：-=0但是，由于/= =+所以=/- - =-因此一阶条件可以写

14、为：+=0 l=1,2又因为R=,则-=(a+b+c)+(d+c+g)=R第二部分：厂商理论产商的生产函数，求其要素需求函数和条件要素需求函数解答：（1）（2） 产商的生产函数，求其成本函数和利润函数解答：将要素需求函数带入利润函数表达式就得到利润函数，将条件要素需求函数带入成本函数表达式就得到成本函数答案：产商的生产函数，（1）用三种方法求其供给函数（2）假定生产要素2固定为k，再重新求其供给函数。解答：（1）方法一：由利润函数求解供给函数方法二：由生产函数求解供给函数方法三：由成本函数求解供给函数（注意：是利润最大化条件）（2）同样的三种办法四、厂商利润最大化条件的意义及应用边界；厂商成本

15、最小化条件的意义及应用边界（新加）参考书五、分析生产集的性质参考书六、阐述欧拉方程和克拉克分配定理的理论意义和现实意义。参考书七、证明利润函数是价格的凸函数。参考书八、给出要素需求函数、条件要素需求函数、成本函数及利润函数形式化描述，并解释经济意义。说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。参考书第三部分不确定性选择一、一决策者的效用函数为，初始财富160000，5%损失70000，5%损失120000，问其愿意支付的最大保险金额多大？如果保险公司不承担损失中的7620，其愿意支付的最大保险金额又多大？解答：用确定性等值，（1）（2）二、给出简单彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立性公理的形式化

16、描述，并解释经济意义。二*、期望效用函数的存在性证明参考书三、写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。参考书四、简要分析保险需求理论的基本框架。参考书五、简要分析资产组合理论的基本框架参考书六、假定个人具有效用函数，（1）计算当财富水平时的绝对和相对风险规避系数。（2）计算彩票的确定性等价和风险溢价（3）计算彩票的确定性等价和风险溢价。将这一结果与（2）比较，并解释。对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。解答：（1），（2）， ，（3），。对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。第四部分：局部、一般均衡和福利经济学1有一个卖方垄断者

17、，其需求和成本函数分别为和，请确定其在完全价格歧视和没有p价格歧视情况下的最大利润和对应的边际价格与数量。（题目有错，请对应书的例题）解答：（1）完全价格歧视 ,（舍去） （2）无价格歧视 ,（舍去）2一个卖方垄断者为两个空间上分离的市场服务，在这两个市场上，可以采取两种价格，不必担心市场之间的竞争和返销。卖方垄断者的需求和生产成本函数为：，请确定的值。解答：由于两个市场分离，因此两个市场的价格、需求量独立Max， ，可得到3考虑一种两个人、两种商品、纯交换的竞争经济。消费者的效用函数为，。消费者1的初始拥有量为8单位和30单位；消费者2每种商品各拥有10单位。决定这两个消费者的超额需求函数和

18、这种经济的均衡价格比率。答案： ，4考虑一种两个人、两种商品、有纸币纯交换的竞争经济。消费者的效用函数为，。消费者1的初始拥有量初始拥有量为30单位、5单位和43单位货币；消费者2初始拥有量分别为20、10和2。每个消费者都想持有等于起初始商品拥有量价值的五分之一的货币存量。决定和 的均衡货币价格。表明如果消费者1、2的货币存量分别增加到129和6，则均衡价格应为原先的三倍。解答：首先不考虑货币存量，按第三题的做法求出，接着再从货币市场均衡求出均衡货币价格，。证明“如果消费者1、2的货币存量分别增加到129和6，则均衡价格应为原先的三倍”，再从货币市场均衡求出均衡货币价格或从货币均衡方程表达式

19、直接证明即可。5考虑具有下列结构的行业。50个以竞争方式行动的厂商，具有相同的成本函数，一个具有零边际成本的垄断者。产品的需求曲线由下式给出。（1）什么是垄断者的利润最大化产量？（2）什么是垄断者的利润最大化价格？（3）在此价格下，该竞争部门供给多少？（答案修改了）解答：竞争厂商的供给：，竞争厂商的总供给：由市场均衡：，垄断者的产量：垄断者的利润为：利润最大化一阶条件：，6设某垄断厂商的成本函数为，市场的需求函数为，求其进行完全价格歧视和没有进行完全价格歧视两种情况下的利润、产量和价格。解答见书。7货币均衡分析的基本框架。见书。8、一般均衡的基本分析框架。9、利用艾奇沃斯盒式图，说明两种商品如何在两个消费者之间进行配置的。后面为福利经济学8有一种经济，除了有一个生产者，其在产出市场上是个卖方垄断者，在其产出的唯一投入市场上是个买方垄断者。此外满足帕雷托最优的全部条件。其生产函