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1、D55反常积分审敛法一、无穷限反常积分的审敛法定理1.假设函数证:根据极限收敛准那么知 存在 ,定理2 . (比较审敛原理)且对充, 那么证: 不失一般性 ,因此 单调递增有上界函数 , 说明: 得以下比较审敛法.极限存在 ,定理3. (比较审敛法 1)例1. 判别反常积分解:的收敛性 .由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .考虑题: 讨论反常积分的收敛性 .提示: 当 x1 时, 利用 可知原积分发散 .定理4. (极限审敛法1)那么有: 1) 当2) 当证: 1) 根据极限定义, 对取定的当 x 充分大时, 必有, 即满足2) 当可取必有即注意: 此极限的大小刻画了例2. 判别反常积分的收敛

2、性 . 解:根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例3. 判别反常积分的收敛性 . 解:根据极限审敛法 1 , 该积分发散 . 定理5.证：那么而定义. 设反常积分那么称绝对收敛 ; 那么称条件收敛 . 例4. 判断反常积分的收敛性 .解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛 (绝对收敛) .无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法由定义 例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来 .定理6. (比较审敛法 2)定理3 瑕点 ,有有利用有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x a) .定理7.

3、 (极限审敛法2)定理4 那么有: 1) 当2) 当例5. 判别反常积分解:利用洛必达法那么得根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .例6. 断定椭圆积分定理4 敛性 . 解:由于 的收根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . 类似定理5, 有以下结论:例7. 判别反常积分的收敛性 .解:称为绝对收敛 . 故对充分小从而 据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .那么反常积分 三、 函数1. 定义下面证明这个特殊函数在内收敛 . 令综上所述 , 2. 性质(1) 递推公式证: (分部积分)注意到:(2)证: (3) 余元公式: (证明略)(4)得应用中常见的积分这说明左端的积分可用 函数来计算.例如,内容小结 1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 . 2. 假设在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .3. 函数的定义及性质 .考虑与练习P268 1 (1), (2), (

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