弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案

1、第一韋错论本章学习垂点与难点重点一、弹性力学的内容:弹性力学的研究对象、內容和范国注意与并它力学在任务、研究对象和研究方法上的相冋点及不何点。二、弹性力学的基本假定、基本虽和坐标糸为简化计算弹性力学桜定所研究的物休处于连续的、完仝弹性的.均匀的.各向冋性的、小变形的状态。各种碁*就的正负号现定。注意弹性力学中应力分试的疋负号规定与材料力学中的正负号规定有何相同点和不同点。外力（体力、面力均以沿坐标轴正向为正面力的正负号与所处的面无关（只与坐标系右关九注意与应力分憊正面正向、角面负向约定的区别、五个基本假定在建立弾力力学基本方程时的用途难点建立正面、负面的概念确立弹性力学中应力分量的正负号规定。

2、典型例题讲解例17试分别根握在材料力学中和弹性力学中符号的规定确定图中所示的切应力rir：的符号.2蹲性力孝雋为数糧（第二板）仝極写半艮DU全毎2蹲性力孝雋为数糧（第二板）仝極写半艮DU全毎【解答】（1）在材料力学中规定凡企图使单元或其局部顺时针转动的切应力为正，反之为负.所以“，门为正匚为负（2）枉弛性力学中现定作用于正坐标面上的切应力以正坐标釉方向为止作用于负坐标面上的切应力以负坐标轴方向为正,相反的方向均为负。所以T*37均为负。习越全解1-1试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向何性体什么是非均匀的务向异性体.【解答】木材竹材是均匀的各向昇性体;混合材料通常称为非均匀的各

3、向同性体，如沙石混凝土构件，为非均匀的各向同性体有生物组织如长骨，为非均匀的各向异性体。12般的混凝土构件和取筋偃廊土构件能否作为理柜弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【解答】一般的混凝上构件可以作为理想的弹性体而钢筋混凝土构件不可以作为理俎的愛性体;一叙的岩质地基不可以作为理想丼性体，而土质地基可以作为理想的辣性体.1-3五个星本假定在建立弹性力学基本方稅时有什么用途？【解答】（】连续性假定:引用这-假定以启物体中的应力、应变和位移等物理虽就m百成值连续的因此建立弹性力学的站本方程时就可以用坐标的连续帝数来丧示它们的变化規律.（2完全弹性假定:引用这完全弹性的假定还包含形变

4、与形变引起的正应力成帀比的含义，亦即二者成线性的关系，服从胡克定律从而使物理方程成为线性的方他（3）均匀性假定，在该假定下，所研究的物体内部鋒点的物理性质显然都是相同的.因此,反映这些物理性质的弹性常数（如弹性俟址E和泊松比尸尊）就不随位曽坠标而变化。（4）各向同性假定$所谓各向同性堤指物体的物理性质在各个方向上都是相屈的。进一步地说就是物体的弹性常数也不随方向而变化（5）小变形假定:我们研究物体哽力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变血仍然按照原来的尺寸和形状进行计算同时，在研宾物体的变形和位移时,可以将它们的二次耶成義枳略去不计使得弹性力学中的微分万稈都简化为缄性微分方程。在上述这歧假定

5、下，弾性力学问题祸化为线性问题从而可以应用叠加原理。14腹力和面力的符号规定有什么区别试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。冀一章【解答】应力的符弓规定是:当作用面的外法线抬向坐标轴的正方向时（即正面时这个面上的应力不沦是正应力或切应力）以沿坐标轴的正力向为正沿坐标轴的负方向为负为it相反当作用冊的外法线指向坐标紬的负方向时（即负两时这个面上的应力就以沿坐标轴的员方向为正沿坐标他的正方向为负。面力的符号规宦足：当面力的指向沿坐标釉的正方向吋为正，沿坐标轴的负方向时为负。1-5试比较弹性力学和材料力学中关尸切应力的符号规定【解答】住弹性力学和材料力学中切应力的符号规定不尽相同:材料力

6、学中规定凡企图使做段顺时针转动的切应力为疔；往弹性力学中规定作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴正方向为正作用F负坐标面匕的切应力以沿坐标轴负方向为正相反的方向均为负。16试举例说明iF的应力对应于正的形变.(h【解答】如梁受拉伸时Jt形状发生改变.止的应力（拉应力对应于正的形变。1-7试渐出题17图中的矩形轉板的正的体力面力和应力的方向。注:无论在哪-个位置的体力在鄒一个边界面上的面力，均以沿坐标抽正方向为正，反之为负。（2）边界面上,的应力应是以在止坐标向上方向沿坐标轴吒方向为正反sa17体力和面力b)/yr亠升,c=走/xy“s7*et=0应力6，6r”rJt=yt=069八Jr”=J=0

7、，7C=”（6+dy）外力体力面力的作用閒平行干工V平面外力沿板厚均匀分布.体力、面力的作用面平行于乂y平面,外力沿Z釉无血化.形状物体在一个方向的几何尺寸远小于其它两个方向的几何尺寸（等厚度蒲板）沿-个方向（通常取为n轴）很长的等截面棱柱体（等截面长柱体九二、平面问魁的基本方程平面问题的基本方程共有八个见下表。貝中分别晟弹性模價Ml松比和切变模駐G=甫号刁名称基本方程表达式应用基木假定半衝微分方程警+蔚。，7;+驚十几。连续性小变后,均匀性几何方程duHu.Bv一=订，_=石八=石十齐.连续性，小变形均匀性6算怛力半须明敦机（鬲三版丨金檯冷掌艮习仪全解6算怛力半须明敦机（鬲三版丨金檯冷掌艮习

8、仪全解色称基本方程表达式应用基木故定物理方程平面应力问题1（y=Ty一叫Xrf晶1平面应变问題r-（芒严），5一匕“工连续性/|、变形为匀性.完全弹性，各向同性E01-严丿y少三、平面问题的边界条件弹性力学半面问题的边界条件有三类如卜表-其中S.分别表示面力、位移已知的边畀丿和加则是边界面的方向余弦。位移边界条件应力边界条件混合边界条件m上“6+m”=：7“S上Urxy4-wy=/you=uvv.S.上（匕+mr.z=7.s上Ury+力9,=f9o四、平面问題的两条求解途径1处理F面冋题时當用按位移求解和按应力求解这两条途径.在满足相应的求解方程和边界条件之后，前者先求出位移再用儿何方程.物理

9、方禅分别求出丙变和应力;后者先求出应力再由物理方程、几何方程分别求岀应变和位移.按代林求解平廁间題归结为在给定边界条件F,求解以位移表示的平衡微分方程（平面应力情况），卜上N尬+仝匹）0,_#心22矽卞2My!.冷（薛十气卫器十音盎）按应力求解平ft问题除运用平徽微分方稗外还需补充应变相容方程，该方程可用应变或应力分最表示.用应力表示的相容方程：一般情况下，V:（a+）=-d（雾+兽）平面应力问题*6十2（匕）怪+驾）片面应变问题弟二篥平血间題的墓本厦沧7弟二篥平血间題的墓本厦沧7常体力悄况“V2G,+小=0o用应变表示的相容方程：齐I九一叽dyQ*2一3工a按师力求敝对体力情况卜的两类平面问

10、越归结为在给定边界条件下求解如下的偏微分方程组，若是多连通（开孔物体相应的位移分就需満丘位移单值条件：警十需十兀,詹+警+几=0.VGjI-=C-Dy2,式中A.B.C.D皆为常数试检査在形变过程中是否符合连续条件若满足并列岀应力分量表达式【解】（1相容条件：将形变分贷代入形变协词方稈（相容方桎）其中2J訝0,-0.gy所以满足相容方程符合连镇性条件。（2）在半面应力问题中用形变分虽表示的应力分童为寻C占厂+/。）=厂J（出P+Bb）1pi一卩F=G“=GCDv2）o（3）平衛微分方程0。7+产时儿998律tx力歩烦吶致衩；爵三版）金程冬乎从刁超父解覺佥a用+警+其中警=舟影=寺3矽十宀,=-

11、2GDya998律tx力歩烦吶致衩；爵三版）金程冬乎从刁超父解若谶足平衡微分方稈必须有1耸2-2GDy+/,=0,3By2A-pAa）4-/y=0。分析:用形变分址表示的应力分蚩.满足了相客方程和平衡徽分方程条件若委求岀常数A.B.C.D还需应力边界条件.例22如图所示为一矩形裁面水坝其右她面受松水压力（水的密度为顶祁受集中力P作用.试写出水坝的应力边界条件【解】根据在边界上应力与面力的关糸左侧面；（6儿i=A=0.（%儿一A=f、3=O|右側面：儿=一$=7x0=一阳y（rxvx=-a=7）=0.上下端面为小边界而应用圣维南原理、可列岀三个积分的应力边界条件。上端面的面力向截面形心O简化得面

12、力的主矢就利主矩分别为Fn-F.VoF=Psina,F3=P8Sa.Mitm鬱sina.，=0坐标面，应力主欠最符弓与面力主矢亘符号相反.应力主矩与面力主矩的转向相反.所以）y=ndr=FnPsina,Jfc（rr）=odr=Pcosa.下瑞面的面力向織面形心D简化得到主矢侏和主矩为Fz=心ina.Fs=P心appfl.Md=Plcosa欝sinq令pgy=l坐标曲，应力主矢最、主矩的符号与Ifi力主矢th主矩的符号相同。所以,6）円心=Fz=-*Psinar.Fhsina令pg，Qy?=/XLr=Mp=P/cosa分析：（1）与坐标轴平行的主鉴边界只能建立两个等武,而且与边界平行的应力分就不

13、会岀现.如在左、右侧面不要加人（6儿“=0或57=0。（2）在大边界上必细箱礁满足应力边界条件当在小边界（次要边界）上无法带确满足时可以应用圣维岗原理使应力边界条件近似满足，使问题的求解大为简化.应力合成的主矢（主矩）符号的取法亦可用外力主矢（主矩的方向判断二者方向一致时取正号反之取负号。习题全解-1如果某一冋題中.6=J=J=（）只存在半囲应力分傲e诃八H-它们不沿r方向变化，仅为工小的函数试考虑此问题是否就是平面应力问題？莠二*千迈罔咫旳鼻*性先11莠二*千迈罔咫旳鼻*性先1110迷tx力呼简叨做诅；那三牍丨仝皿$堺艮勺仪金解【解答】平面应力问题就足作用在物体上的外力约束沿乙向均不变化，只

14、有半面应力分址且仅为工$的唄数的挪性力学问削所以此冋题是半面应力问题。，2-2如果某一问题中r=Yt!=）只存在平面应变分田jtyt儿，且它们不沿匚方向变化仅为r.y的*数试考虑此问题是否就是平面应变问題？【解答】平面应变问题就足物体戟面形状、体力、面力及约束沿N向均不变.只右平閒应变分京（涎“儿丿目仅为丁的函数的弹件力学问题，所以此何题是平面应蛮问题.2-3试分析说明，在不受任何面力作用的空问体表面附近的薄层中题23图其应力状态後近于平面就力的情况【解答】在不受任何面力作用的空间体表向附近的薄层中可以认为在该薄层的上下表面祁无面力且在薄层内所有务点都有6=rtt=5只存在平面应力分尿几它们不

15、沿n向变化仅为y的函数可认定此问题是平面应力问题.24试分折说明，在板面上处处受法向约束丘卞受切向面力作用的尊厚度薄板中，题2-4图，当板上只受x,y向的面力或约束!不沿厚度变化时其屁力状态接近于平面应变的情况.【解答】板上处处受法向约束时=0,且不受切向面力作用则=0（相应FtrJ0；板边上只受向的面力或约束所以仅存花匡八巾且不沿焊度变化所以其应变状态接近十平fit应变的情况。2-5在题25图的微分体中若将对形心的力矩半衡条件LMC=0改为对角点的力矩平衡条件，比问将导出n么形式的方程?题25图【解】将对形心的力矩平衞条件E/Vt=0改为分别对四个角点A氏6E的平衡条件为计算方便在仝方向的尺

16、寸取为一个单位。OydxX1X琴十(“+dr)dvXiX爭f(r“-f-drdyX1Xdr+(J4-ydyXI乂旳(6+字dy)LrX1tr,djXIX卜人drdyXlX-/vdzdyX1X普=0。QW=0,(6+警&)如X】乂字+(“4dy)clrXIXdy+(o+蒙dy)ArX1XXIXdz0tAyXI-ArXlX琴4/cUdyXlX字mXlX守0IMl：0,(6十隽dy)trXIXy-tdjXIX(Lr十dyXI十tcLtXIXdysLrXIX等-(a,+&r)dyKIX爭AcLrdyX1Xy+fMdy乂1X爭=0.LMt=0,(Oy+TyJdrX1X+crxJyXIX雪+“LrX1Xd

17、y+r，drXIXBX平而尼越的事本理论13BX平而尼越的事本理论1312聲性力券筒胡敘租（第三禺）全孩&学及习H金解y一（6十警dr）dyXIXy（十気1也）心XIXdr/TXIX4-/xdzdXI0o（d）略去式Q）、（b）（c）和式（d）中三阶小试i亦即dGdwdrcf）零）幷将各式都除以dzdy后合并同类项，分别得到26住题25图的微分体中若考虑每一面上的应力分呈不是均匀分布的,试冋将导出什么形式的平衡微分方程？【解】微分单元体ABCD的边长dx,d）都足微童，因此可以假没在单元体各面上所受的应力如图（S示忽略了二险以上的高阶微凤，而看作足线性分布的如图（b）示.为计算方便单元体在2方

18、向的尺寸取为一个单位.各点正应力，0ollllllllldnwrn一fifiBX平而尼越的事本理论13BX平而尼越的事本理论1312聲性力券筒胡敘租（第三禺）全孩&学及习H金解BX平而尼越的事本理论13BX平而尼越的事本理论1312聲性力券筒胡敘租（第三禺）全孩&学及习H金解W2-）/=c，%=5+鬻切（6。=5十鬻dz（G）c=6+警dr+驚b，各点切应力，r”a=rxy=J+警（f儿=r在小边界（次妾边界），=o上能精确满足下列边界条件：（6、-。=-如）=0.在小边界次要边界A上冇位移边界条件:V-I2=0（w）y化=6这两个位移边界条件可以应用圣维南原理改用三个积分的应力边界条件*代祎

19、当板厚$=1时.14洋恬刀字预啊洪任（第二祇丨金柱号学禺刁咫主解14洋恬刀字预啊洪任（第二祇丨金柱号学禺刁咫主解12聲性力券筒胡敘租（第三禺）全孩&学及习H金解14洋恬刀字预啊洪任（第二祇丨金柱号学禺刁咫主解14洋恬刀字预啊洪任（第二祇丨金柱号学禺刁咫主解12聲性力券筒胡敘租（第三禺）全孩&学及习H金解62-8图2对于图（b所示问题在主要边界y=h/ZI应轻确満足下列边界条件:14洋恬刀字预啊洪任（第二祇丨金柱号学禺刁咫主解14洋恬刀字预啊洪任（第二祇丨金柱号学禺刁咫主解12聲性力券筒胡敘租（第三禺）全孩&学及习H金解在次耍边界丁=0上应用圣维南原埋列出三个枳分的应力边界条件肖怨厚在次愛边界上

20、有位移边界条件：:（Tyr-.dx=OoJT2対于图（b）应用圣维南原理列岀三个积分的应力边界条件当板厚Q=L时.|（6片_。姑=qb/29J（6）-ojtcLt=砂”/12Jo（S儿=odr=Oe所以在小边界（粗边上两个问跋的二个枳分的应力边界条件相同这阿个问12聲性力券筒胡敘租（第三禺）全孩&学及习H金解弾住力学簷明敎It（聲三版）余趙导4习ffl!余JH题为养力等效的。210检验平面何题中的位移分ft是否为正确傅答的条件是什么？【解】（1）用位移表示的平衡徽分方程今（詳+导券+音磊）+人”吉（券+#券+寺磊）=。（2）用位移後斥的应力边界条件代嗯+嗚M今僚壇）化在$芒小僚十唸W号僚吃）.

21、（3）位移边界条件,Hfv）tv（在S.上2-11检验平面问藝中的应力分銀是否为正确解答的条件定什么？【解】（1）半衡微分方程0,（2）相容方稈V+/=_(+)(許+制.（3应力边界条件（假定仝部为应力边界条件”=s丿严十:上）15+“丿=A.=几0（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。求岀应力西数。石盯以按下式求岀应力分僮dxdya18弹粒力楼住绸败移（離三版）仝松$挈及习題仝解18弹粒力楼住绸败移（離三版）仝松$挈及习題仝解平而问題的鼻*現论172-13检睑下列应力分虽是否是图示问题的解答:（a）题213图（a）,or=罰心=5=0。（b）题273图（b）,由材.料力学公式=yyr,x=

22、（C梁的厚6=1）.得出所示何题的解答:5=_2g器.=_帶（胪_4：/）.又根据平衡徽分方程和边界条件得出。二凹空_加上_箜2ihih2r试导出上述公式并检验解答的正确性oLMJ按应力求餅时（本题体力不计）在用连体中应力分it66r”必須满足评奘微分方程、相容方程应力边界条件（假设S=2。题213图（a厲=詁心=J=0。相容条件:将应力分粗代人相容方程教材中式（2-23）（器+器）匕4，=聲工。不满足相容方程.0.平衡条件:将应力分虽代入平湊微分方程西+竝=dxdy為+守显然满足U应力边界条件:在工土a边界上y:（b）a,=200,八=0,Try400=一2000兮=1000,r,y=-40

23、0rd)ar-*1000亠可分别求岀主应力和主应力的方向：（a）u=10505100+502土+(1%6T,lanai=LZL6=150,a.6=200*/50-0a】=3516-400j(d)tanai=弩P士眉容）“400宀6一6_512200_ex“c07B。4005】26=-312,G=-3757=1000F=400；66=2000a,6=_2000厂1000土J(TOOO厂1Q0D)：十(一収几610524-2000n00tanai=_=_=-7.38,q1052022052faj8232.6=1000.cy=1500.T,y=500；403加2严2土J（二鳴5）2匸贏6tanoi=

24、J6=691,-691+1COO=0618。500=-1809Q|=31043216设有任意形状的等厚度薄板,体力可以不计，在全師边界上（包括孔口边界上）受右均匀压力Q试证C=5=AA“+)孔一九一如，一够)b/22労-性力妙矽明级机fJR三版；仝程庁挙及习题仝网22労-性力妙矽明级机fJR三版；仝程庁挙及习题仝网*平面问fit鼻本理论21显然式(a).(b)是滴足的。对于微小的三角板A.dr.dy都为正值斜边上的方向余弦2=心G)rw=cosny)将s=r=q六巧=0代入平面问题的应力边界条件的我达式如+wryxX=A,(-(C)I(怦+心)=兀($)则冇OjCQS59工qcot7,cos(

25、.n.y)=geos(n.y).所以6=qy,=q对于单连体，上述条件就足确定应力的全師条件。对于多连体应校核位移单值条件是否满足.该題为平血应力的情况首先将应力分就6=_q及f=0代入物理方程，教材中式(212)得形变分量然后，将式(d)的形变分fit代入几何方程教材中式(2-8),得前二式的积分得到(f)（“一1）E其中的f、和仁分别是y的待定函数可以通过儿何方程的第三式求出.将式代人式3的第三式得I。J/zJdy=F八橫截面对七轴（中性轴的惯性矩为le鑰，根拥材料力学公式弯应力24却农力*曲唄敏粗:第三烦全坦尽学;5习&金解24却农力*曲唄敏粗:第三烦全坦尽学;5习&金解事二#半面问巫的

26、晏本性疋2312F矢=半严=一誓m该截向上的的力为F.（t）=-F.应力r“=号巴沪（【一誓）=一岩（竽一才）;并取挤Hi应力6=0.（2）经脍证上述丟达式能满足平衡微分方程也能滿足相客方程（务十寿）（+“=一（警+箸）=评考察边界条件ttty-i/i/2的k婆边界上应稿确満足应力边界条件,=0（f刃y中=0；tyjy=f2=0.3=。能满足。在次變边界7=0上列出三个枳分的应力边界条件|2（儿idy0.v（十“（G儿血=0满足应.力边界条件.在次枣边界t=Z上列岀三个积分的应力边界条件IJ：（八=心=一匚“誓bdy=0，p.2r，J比2町片一力=iLf滿足应力边界条件，因此它们是该问题的正确

27、解浮。218试逐明如果体力尿然不足常准.但却是冇劳的力即体力分常町以表示为r+需=。，V舟5一卩+辛=-为了满足式（J,可以取-VW5阿。d37护05亠+久5两。（2）对体力、应力分屋$”八6八6,求偏导数.得兀dzvVy9zv石二W石=一歹护6卫空丄，V少丄a2dx2归呛十加22十歹护6_歹0、矿少6_丨才匕.dx23B31八dyidx2dy2dy2e6-八券即6詳十而十将式（”代人敦材中式（221J得半简应力悄况卜的相容方稈:券+2+券-F（諾+診心1-*(d)将式5）代入就材中式（2-况）得平面应空情况下的相容方程：箸+2昴+詳一（）（詳（巳Z注:将式（C）中的皆换为仓也可以导出式（0。

28、2-19试证明教材2-4中所述的刚体位移分鱼心.To及3实际上就是弹性体中坐标脈点的位移分虽和转动角度。【证明】根据教材中式（29,得任一点P的位移分址表达式为U=W0VVo+air埒原点的坐标丄0小0代入上式得i）$=o.,=eMo（2*亠0$=0co所以刚体位移分垦“。宀。是弹性体中坐标原点的位移分拭图中，P为卩点至签轴的垂直距离，合成位移呼的方向与径向线段OP垂直.也就是沿若切向。OP线匕的所有各点移功的方向都是沿着切向而R移动的距离事二#半面问巫的晏本性疋2325等于轻向料离Q乘以32代表韌体绕N轴的刚体转动各点转动的角度相同所以也是坐标原点的转动角度。事二#半面问巫的晏本性疋23第亘

29、章年问麵的JL角坐栋解备本章学习車点与难点一、按应力西数G&j)求解平面问题用应力函数表示的应力分址通解：珈.09-歹-6-左-/F亦薮同时应力函数需满足双调和方程即相容方程：d9,49.“9_荷十2硕；7+歹-0。二、逆解法、半逆斛法的基本步儀1逆解法，首先设定各种形犬的应力函数6(乂*)使之满足相容方程)然后.再求出应力分虽;最后来考察这些应力分区适用于何种边界问题从而得知该应力臥数能解决什么m.逆解法的另一种含义是通过初料力学或其它途栓得知某些何趣的可能解答，然后检査它是否満足仝部方程和边岸条件.半逆解法:根据弹性力学的具体几何形状和受力待征或某种问题的解答，凑出应力函数OCr.W的形式

30、然后再根据圣本方程和边界条件确定该函数。若不能满足或出现矛盾则须修改试选的更数.并啟新&杳直到播足为止三、多项式解答ifcrt0(xy)=a+&j+cya不论条数取任何偵相容力程总能満足且对应的应力均为零.线性应力西数对应于无面力、无应力状态，參项式的应力函数加上或减去一个线性应力函数不影响应力的大小.Z.二次式(.r,y)+bry.上式恒能满足相容方稗且町得到t6=Zcjc+6dy.6=6ar+2by52(&r+巧)。这圧一个复杂应力状态又能由叠加原浬分解为简单应力状态。若a=“=f=0HO则=6心-=0能解决矩形戡面梁的纯弯曲285t性力学尙訥（1K三版）全壮A习题全解285t性力学尙訥（

31、1K三版）全壮A习题全解妣三童毕面直超坐标脚袴27问題(注怠坐标糸变换所肚解决的问题也妥变化丄L四次或四次以上的多顶式。其各项系数之间盂満足一定的关系时才能满足相容方程，各项代表的应力分布呈-种臨线分布.四、设置应力函数1.击多项式叠加凑出。当物体受力悄况并不复杂时可用此达。2从戢纲分忻法得岀。北法适用于锲形体三角形悬臂梁等以无员纲的角度来描述儿何形状的物由材料力学解答导岀此法可适用于已知该物体的材料力学解答的情况,但用此方法側到的应力函数往往不能满足収询合方程，必须加以修正才得以满足,右时需经过多次试算才能便应力函数定型。很据边界上的受力性质推得解題所用应力函数.难点一、应用逆解法.半逆鳞法

32、求解平面问题。、如何设曽应力因数.典型例题讲解例31如图不矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用试取应力函数。=Ar+B.r+Cy+Dr4EF+Fy求简支梁的应力分址(体力不计儿285t性力学尙訥（1K三版）全壮A习题全解285t性力学尙訥（1K三版）全壮A习题全解妣三童毕面直超坐标脚袴27(1相客条件：0.I2血-十奴一o?j4120y2T心代入应力函数得72Ar.y+lZOgy=0,由此得于是,应力函数可以改弓为式中的人（乂），人。）为工的待定函数可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程VS=0,dx4dr1上式绘，的一次方程，梁内所有的值都应満足它可见它的系数和自由项都必须为零，即TOC o

33、 1-5 h zd/9_。d心y4U!JUadrdr积分上二式得f1（工=azx）+adx2+jn+6+a?x?+a8x+如9式中a：-aa为待定的积分常数。将fxf.fAx）代入式（b）得庖力函数为r+2（如，+s丿12c2clS对z轴的惯性矩。域后倡炖力分罚为汁賞得=xPo=0.pr-=_页_/几分析,1)半逆無法足针对实际问题菲求解的根据弹性休受力情况和边界条件假设应力分竝的嗣数形式的应力推出应力函数的形式，本题中如血0为应力函数中线性坝的尿数对应无体力、无面力、无应力的状态所以对应力的分布没右影响不需求岀.习题全解31试与察应力函数G=y在懸31图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(

34、体力不计几3()弭性力学M朝赦*刃律三山)余桟孚勺恵*蚌3()弭性力学M朝赦*刃律三山)余桟孚勺恵*蚌妣三童毕面直超坐标脚袴273()弭性力学M朝赦*刃律三山)余桟孚勺恵*蚌3()弭性力学M朝赦*刃律三山)余桟孚勺恵*蚌妣三童毕面直超坐标脚袴27餅31图笫三*半面问艮的咒企主柝孵苦31笫三*半面问艮的咒企主柝孵苦31妣三童毕面直超坐标脚袴27【解】(1方程：1)相容务件：不论条数a取何值应力西数0=aV总能满起押容当体力不计时用。代人应力分虽公武得d丸护AdPA3/一血八6一”一山55g)y。当a()时考察左右的端的c分布情况：久:端Tj)j=9,yoill=0(力一0.一人=ftah*(fr

35、/)#u=5右端(6)r=/.v=C=9=GcA,町打口=。应力分布如解3-IR1(a)所示肖(/!时应用圣维由原理可以解决各种備心拉伸的问题。因为在丿点的应力为零。设坂宽为八集中荷载P的偏心距为cpVe(人=bh碎=5所以e=A/6.如解3-1图(b)所示，同理引知当=ax2yA2)=6r/,(3)4=cxy3试求出应力分园不计体力人画岀题3-2图所示禅性体边界上的五力分布,并在次建边界上应示出闻力的主矢掠和主眇。(a)(b)fc)n2j【解】(D应力函数=3得应力分域农达武；6=0c，2ay.rAVt=2ar.在主要边界y=耐2上即上、下边面力为y-士V，=土爪V-A/J2cm.在次耍边界

36、r-0=Z面力的主矢域和1:矩为32理性刀字简映敦Mt(弟三焦)全桂导字A习巫金32理性刀字简映敦Mt(弟三焦)全桂导字A习巫金妣三童毕面直超坐标脚袴27Taxo4y=o.ArtV厂Jf比J3匕)ydy=0.f73(儿jr.fdy=0，JafSIS)g.ydy=0,JfflIr=/dy=J7卡严一2叽A5=dy=0ch；2惮性体边界上的面力分布及在次要边界x=0,j=Z上面力的主矢鱼和主矩如解3-2图(G所示.(2)应力函数9T，得应力分虽表达式6=2bjr1叭=D,r”：在主要边界y-土力/2上，即上、下边面力为(“、Lza=0.(r=hh.在次要边界x面力的主矢呈和主矩为(6oydy=0,

37、U-*2fA2A/2“2如=0。J-A2(6Andy=J_r(6儿“dy=jZblAy=Zhlh9t/i2blydy=0W2r*/i12bydy=0。JT/232理性刀字简映敦Mt(弟三焦)全桂导字A习巫金32理性刀字简映敦Mt(弟三焦)全桂导字A习巫金妣三童毕面直超坐标脚袴27禅性那边界匕的面力分布及在次要边界尤=0口=/上面力的主矢量和主矩如解32图所示。应力胡数0=cryS得应力分置表达式“=6cxy=0vXy=3cy2在主要边界y=M2上.即上、下边面力为,-A?=士3如(C)y-eS=CK在次要边界工=0心=2上，面力的主久量和尢矩为fAtjf4*2ax,=ody=0,32理性刀字简

38、映敦Mt(弟三焦)全桂导字A习巫金32理性刀字简映敦Mt(弟三焦)全桂导字A习巫金妣三童毕面直超坐标脚袴2732理性刀字简映敦Mt(弟三焦)全桂导字A习巫金32理性刀字简映敦Mt(弟三焦)全桂导字A习巫金妣三童毕面直超坐标脚袴27fb/1-3ydj-J714*半3i问超的JLJt俎柝解备33*半3i问超的JLJt俎柝解备33妣三童毕面直超坐标脚袴27p/8p/CJ+匕=Jw6旳创广（c=6c/ydv=弯JT/2JfR匕匸宀=_匚2矽心=_普.畀性体边界上的面力分布及在次要边界z=0工=（上面力的主矢就和主矩如解32图（c）所示。37试考察应力函数。一参q（3以一2能满足相容方程并求出应力分凤不

39、计体力画出题32圉所示矩形体边界上的面力分布（在次耍边界上表示出面力的主矢最和生矩）指出谏应力噸数所能解决的问解33图【解】（1相容条件：袴。代入相容方程芬十2浮毋十器=。显然鴻足。（2）应力分诫表达式叭=_罟50=65=一務（3）边界条件:在y=土人/2的主要边界上，应精确满足应力边界条件一券（誓）=0。在枕變边界工=0.=/上应用圣維南片理可列出三个积分的应力边界条件fA.2JiZp.2（6儿_*与=0.J2（6人_汐冯=FL（6儿=幻九=0.r丿&)=00，5(b)对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时.由应力边界条件式相客条件；将0代入相容方起曙+2吕参+詳=0,0然满绘。（

40、2）应力分董表达或“一警+帑-甞-7（Y吨-）.d等俘-几上述直力分暈可以写成护+時（话-舒-孔+汕一字）1J二舛吧其中,S为静矩M（上=*皆?.Fs（z=qx9（3）考察边界条件：主更边界y=h/2上，应精确満足应力边界条件（。儿nty-A20你厂0.注次要边界r=0kJrf用圣维南原理可列岀三个积分的应力边界轰件3如=匚（攀-警）好d3y-匚（響-警）皿-0,0.r町儿勺业在次要边界x=f上应用圣皱南原理可列出二个积分的应力边界条件匚訂：（-警十攀-詈）=匚（-咛+畔-器隔一少U-AZ,七=一匚黑俘7）血=_几对于如图所示矩形板和坐标系，当扳内发牛上述应力时.由应力边界条件式的一次方程，相

41、容方程耍求它有无数多的垠(全竖柱内的)值都应该满足它)可见它的系数和自由项都必须等于零。話l世一两个方稈要求/(z=Ax+Bx2十C心/i3+F。*+6Ez+2Fpevdi带edxdy=3A.r2BtC。第三*平而问赴的土怖解背35第三*平而问赴的土怖解背3534强怪力耶用明敛MU第三版）金枚号缪及印仪金*(却考察边界条件.利用边界条件确定待定糸数先来考察左右两边xfb的主要边界条件:将应力分昱式(e)和式(&)代人这些边界条件耍求(0*ZkO.0=0自然満足$36绊恨力绰加聖飲植（第三服）全字;51刀丸全於36绊恨力绰加聖飲植（第三服）全字;51刀丸全於34强怪力耶用明敛MU第三版）金枚号缪

42、及印仪金*(h)T=6=_3”丫_2BbCq。i）现住来考虑次要边界y=0的边界条件应用圣维南原理三个积分的应力边界条件为(乃)汁也=(6Dz+2E)dx=3D62+2Eb=0；（J）I(6片=(才)血=4-2K)G)rfr=令1方=0*(k):-Ch=0.(1)由式（h）.（i）Xi）Xk）XI）联立求解得C-D-E-0,B=*、A=-*可得应力分童为矶=0,“=2（?y（13y）p/?y,s=q亍（3于一乙）。一人下部分的边界条件由圣堆南原理可旬满足半術条件.3-6如题36图所示的墙高度为乩宽度为b山b,枉两侧血上受到均布剪力g的作用，瓜用应力函数0=Ary+By求解应力分址.【解】（1）

43、相客条件：将应力函数代入相容方&V40,其中箸=0，需欝=0。很显然满足相容方程.（2应力分量表达式-甥0,十鬃=遇5=_競=（3）察边界条件:在主要边界x-土W2上，各有两个应精确满足的边界条件即（6）=“z=o,（*!pit=q在次要边界0上，y-0=0的条件不可能精确满足（否则只右A=B=0）可用枳分的应力边界条件代替宀0。（4）把各应力分讯代人边界条件得38弹位力攀旳政孜枚（律三版）金枚吕绰及习蜩全第38弹位力攀旳政孜枚（律三版）金枚吕绰及习蜩全第炸三卓平35血超的林解祷37=_!B=应力分壘为6=。9J=赛35乂号(】一】2話)。3-7设单位厚度的息宵架在左端受到集中力和力矩作用，体

44、力可以不计h如題3-7阳所示试用应力噸数0=Ary+ZJ+Cyz+8亍求解应力分M迪37图38弹位力攀旳政孜枚（律三版）金枚吕绰及习蜩全第38弹位力攀旳政孜枚（律三版）金枚吕绰及习蜩全第炸三卓平35血超的林解祷37【解】(1)相容惫件：将0)=Ary+B/+Cy3+Dxy9代人相容方桎显然满足.3“儿(2应力分疑沒达式零2B4-6Cy+6Dry,j=勢=0,g考察边界条件:主要边界=2上,应精虢满足应力边界条依(Jy)=0满足；(尸如=0,得=0.(Q在次要边畀灭=0上只给出了面力的主矢最和主矩应用圣维南原珅,用三个积分的应力边界条件代替。注意工二0杲负工面，由此得(“Ydjy=FN得B会;得

45、C=亠箒得祇+*酬=&./；=砂由应力网数得应力分址的表达式011-frX=2C.Z4-6Dv5=栄_fyy=6A+2Bj-pa（3）考察边界条件:利用边界条件确定待定系数先号察上耍边界上边界y=0的边界条件Iy-o=0,f=0将应力分14式（h）和式（C代人这些边界条件要求（%，_*）=6Ar=0.Criy）y=,=2Rr=0。得A=0,B二0。式（b）Jc）Jd）成为(c)(f“=2Cr46D“=_砂，根据斜边界的边界条件它的边界线方程足在船面上没有任何面力即久=几=0按照一般的应力边界条件教材中式（Z有38弹位力攀旳政孜枚（律三版）金枚吕绰及习蜩全第38弹位力攀旳政孜枚（律三版）金枚吕绰

46、及习蜩全第炸三卓平35血超的林解祷37(h)(i)将式（e）.（DXg）代入得I2Cx4-6Dx-tcna+加(2Crtana)=Dr?tpxtana)4-12Q*tana)=0。405*性力学麵明孩桩(雾三版)全衆&学乂习盘全M405*性力学麵明孩桩(雾三版)全衆&学乂习盘全M弘三魚W加用趣的良血室怀解昔39由图口见/cos(”)=yk(于+n)=sinow=cos(”.)=cosa.代入式(h)、(i)求解C和D即得CcotaD=一罟cola。将这些系数代入式(b)JO.(d)W力分毘的表达式ot=pgrcotaIpffcoa求解应力分肚并晰出截面上的应力分布图。【解】(1应力函数为d=那

47、加十By+Cy亠D十jc+/(6Ey+2FJ-2A/一2时+6Hy42K,(b)Qy=A/+By-+Cy4DPQrfy=-j(3Ay-4-ZB.v+C)-(3Eb十2Fy+G儿(d)这些应力分业绘满足半衡徴分方程柯相容方程的.说比如果能妙选择适当的帘数人M3.K使所冇的边界条ft都满足，则应力分址式(B.,式(c和式(d),得6=一烬.+警才+6町+2心(f)-斜+勞y，(Q405*性力学麵明孩桩(雾三版)全衆&学乂习盘全M405*性力学麵明孩桩(雾三版)全衆&学乂习盘全M弘三魚W加用趣的良血室怀解昔39405*性力学麵明孩桩(雾三版)全衆&学乂习盘全M405*性力学麵明孩桩(雾三版)全衆&学

48、乂习盘全M弘三魚W加用趣的良血室怀解昔39考虑左右两边的次要边界条件。由于问题的刈称性，只希考虑其中的一边，例将式代人式(i)得L，匕儿一dy=0.如右边。梁的右边没有水平面力心=/时不论j取任何值(一h/2yh/2).都有6=0。由式可见，这足不可能满足的，除非足“H.K均为零.因此，用多项式求解只能妾求6在这部分边界上合成的主矢啟和主矩均为零，也就是要求(i)(j)j卜薯#勿亠讐十2K)dy=0。积分以后得K=0。将式代人式(j)得(-磐心4讐0+町)血0a积分以后得徘二JU平何农的JL月土林脚得41徘二JU平何农的JL月土林脚得41弘三魚W加用趣的良血室怀解昔39将的偵代入式（f）得6=

49、-讐心4讐才亠6阿（+一令）*4）另一方面，梁右边的切应力5应当合成为反力陽“匚潛灯一警训一T积分以后，可见这i条件是満足的.将式（QJh）Jk略加整理，得应力分童的址后解5=一警*了+薯y+6砂（令一点）了“o,譽+覺）徘二JU平何农的JL月土林脚得41徘二JU平何农的JL月土林脚得41弘三魚W加用趣的良血室怀解昔39注宜梁藏IH1的觅燈取为一个单位可亂1性矩是=舘静矩是$=佇一苓。根撫材料力学应用截面法求橫截血的内力町求得维任竞截面上的弯矩方程和耐力方程分别为M=pgh出尹空,八G）=-p”“式（I可以写成62y+pg）.（4訝一斗），5=%（）r_Z2g2_bl。3-10如题310图所示

50、的最習梁.长度为仁离度为h,m边界受均布荷截彳试检验应力更数eAy+Bx:j34-Cy3+Dxz4-Ex2y能否成为此何题的解？如可以，试求岀应力分駅。【解】（门相容条件将代入相容方程得2QAy+24By=O,若满足相容力札有力=一*民（a）题3J0S12应力分:ft表达式20心-30Axzy+6Cy,徘二JU平何农的JL月土林脚得41徘二JU平何农的JL月土林脚得41弘三魚W加用趣的良血室怀解昔39-10心42D+2E嬢三章华而间!的工.角土标M谷43嬢三章华而间!的工.角土标M谷4342理忸刀学简吶数槌（号三版金WL号字$刁疋全解=30Ar/-2EzaG）考察边界条件，主要边界y=h/2上

51、应栢换满足应力边界条件=0.得一孕AX+2D+耐=0：（b）O(“人a=q得AAd4*2DEh=qio“丄y=0.得E-等AX=D.在次要边界工=0上，主矢和主砸都为笔应用圣维南凍理用三个积分的应力边界条件代祎L?mXruody-0,匚/皿=0,满足条件；得弩十6；=0；(c)嬢三章华而间!的工.角土标M谷43嬢三章华而间!的工.角土标M谷4342理忸刀学简吶数槌（号三版金WL号字$刁疋全解r=)(ij=0,満足。联立求解A（a）XbXc）x（d）和（e得嬢三章华而间!的工.角土标M谷43嬢三章华而间!的工.角土标M谷4342理忸刀学简吶数槌（号三版金WL号字$刁疋全解络冬系数代入应力分童衣达

52、式得5吒（4器_寻_6#）,二一贺1一坪十诰），=_磬于（】_4荼）.3-11挡水常的铠度为戸，厚度为6.W3-11图所示,水的密度为，试求应力分量。【解】（1）假设尙力分就的臥数形式。囚为在3=一说边界上=0iy=b/2边界上卩=一円“所以可假设在区域内为久=n/O。（2）推求应力隨数的形式-由推求0的形式.（3由相容方程求应力函数.将e代AV44=0,得卍吃十工也十空十施吃=06呵十x収十dv1Xd/。罢便上式在任意的工处都成立必须=0，得/=Ay34By2+Cy+6=014fi=一器3“一書；/十G/十+3=0.得人=尺/+F.代人C即得应力函数的解答其中已路去了与应力无关的一次项.（4

53、）由应力函数求应力分呈，将代入教材中式（224,注意体力An几=5求得迪力分凰表达式e=券-x3（Ay亠寻）2A+-6/2上.应精确满足应力边界条件（儿w=p曲得工（力务+E?+C号十D）=“RR（a）。）”=+=p?m得工（一A鴛十。%-C纟十D）0$4A鑰土B鑰Y警干皿一0。（e,f求解各系数由（2）十（b）得”牛十D=g454544理力耶明敦II（躬三版）金杈习理金鱗(a(b)得(c)+(d)得(c)-(d)得由此得又有(e)-(f)得(Q+(f)得A代入得H=0人管+C专=_朴皿B=O；D=yp?g.A瞥+C=0.454544理力耶明敦II（躬三版）金杈习理金鱗454544理力耶明敦I

54、I（躬三版）金杈习理金鱗在次要边界工=0上列岀耳个枳分的应力边界条件rJA/2得F=0；（6，_o心=0.得E=0$得7=紛：8_滋。Ch)454544理力耶明敦II（躬三版）金杈习理金鱗由式（臥（h解出2鼬“G=将各系数代人应力分St的表达式得3-12为什么在主零边界（占边界绝大部分）上必须満定精确的应力边界条454544理力耶明敦II（躬三版）金杈习理金鱗件教材中式2-15,而在次耍边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理用三个积分的应力边界条件即主矢量、主矩的条件来代替？如果在主要边界上用三个枳分的应力边界条件代样教材中式（215将会发生什么间题？【解答】弾性力学何題居于数学物理方程中

55、的边值问题而雯使边界条件完全得到满足往往遇到很大的困难。这时圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物休一小部分边界上的面力换成分布不同,但静力等效的面力（主矢、主矩均相冋）只形响近处的陶力分布对远处的应力膨响可以忽略不计-如果在占边界絶大部分的主要边界上用三个应力边界圣件来代皆将偸的边界条件教材中式（2，就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有更大的近似性。3-13如果某一个应力边界问题中有加个主要边界和n个次妄边界试问在主、次要边界上冬应满足什么类型的应力边界条件，乞有几个条件？【廉答】在个主要的边界上，每个边界应有两个精确的应力边界条件如教材中式（215。在朴

56、个次要边界上每边的应力边界条件若不能满足可以用三个静力等效的积分讷界条件来替代两个帝确的应力边界条件,314如果某一个应力边界问题中除了一个次要边界外所有的方程和边界条件都已満足，试证:在最后的这个小边界上,三个积分的应力边界条件必然是自然满足的因而可以不必校核。【解答】区域内的每一微小乐元体均已满足平衡条件其余边界匕的应力边界条杵（平後条件）也已满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件自然是满足的囚而可以不必校核。3-15试分析简支梁受均布荷载时平面截向像设是否成立？【解答】弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同“简言之，弹性力学的餅決，定严格考虑区域内的平衡微

57、分方程.几何方程和物理方程以及在边界上的边界条件US!球解的，囚而得岀的解答足比较精确的G而在材料力学中没有严格考虑上述条件因而得出的是近姒無答.例如材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对-般的梁是近似的。所以，严格地说不成立。算口卓平西QI反的禺主特解等4744理力耶明敦II（躬三版）金杈习理金鱗本章学习重点与难点車点一、基本方程和卒木未知览对于圆域圆环域及模形体等具有孤形边界的弹性体宜采用极坐标求解。极坐标形式的垩本方程和基本未知址各有人个。轴对称问题的基本方程可由极坐标系中的-般方稈简化得到。基本方程、基本未知、相容方程名称一般情况轴对称情况平衡微分方程学十丄字+辽+/,

58、二。,dpp（）警+%+pMOpfi鲁十今十。几何方程九一“，叽fp6*pp*y=丄坐_红VP却%p一叽跖5=头物理方桿（平向应力b=卡匕片=卡5一叫儿12（14-/）茶_0彳幵_EJV1z、S=E6一/0。）耳本太知贷e.fj.rf户/.icpw（7八6涎。电.“Q相容方程（养+i器兮診）。r（玄十扯）2=0算口卓平西QI反的禺主特解等4744理力耶明敦II（躬三版）金杈习理金鱗二、应力分呈的坐怀变换式皿力分的坐标娈换式直角坐标转换为极坐标cr=cco家cf-r-(r,sinzp+2fsiny)rosqavOjsin2y+a,cos2y2r书yinpco*#,iz=(6一a.sinqcos9

59、十(cossin炉儿极坐标转换为宜角坐标aT(7q8$L4-(7csin:y2：芹sin甲cos甲95=升.&11年十d.cosy十2丫幵sin90COSp虫今=(%a*)siny；cos4tr件(coszfsinp。三、轴対称应力和相应的位移将相客方程化成琵“g(p器)卜，逐次积分禺到柚对称应力状态下应力函数的通解(lnp3,)Bf)+、29+Ksinp“+Hp-/sinp+Kcoss上式所示的位移分董仅适用于平面应力问题(对于平面应变问题可将E换为E/1、p涣为p/(1p)9式中的J，K是刚体位移。显然，it不疗在刚体位移或存住轴对称约束时位移分城也是轴对称的(此时，“=0=H=T=K=0

60、)否则与卩有关(即非釉对称的问题).在得到极坐标形式的基本方稈时，比较与直角坐标形式的基本方程的异同点,注意各个物理址在两个坐标系之问的转换关系，算口卓平西QI反的禺主特解等4744理力耶明敦II（躬三版）金杈习理金鱗卉恤力学血明败校（籌三肚）介根昙学及马題金解四、应力函数的选取用试纲分析法由内力待征确定的方法v用应力函数（p评）求解平面问题时，注意所硏究的弹性体足单连体还足多连体，若是多连体，则求得的应力分审除了满足给定的边界条件外还需滿足位移朿值条件.五、刿断主要边界和次要边界圆环（洌筒）及曲梁的内外弧毎边界，锲形体的两测面都是主要边界，需精确满足边界条件.HH梁的端部为次要边界可运用圣维