新高考一轮复习苏教版 双曲线 作业

1、一轮分层练案(四十八)双曲线A级基础达标1渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()A.eq f(r(2),2)B1C.eq r(2) D2【答案】C由题意可得eq f(b,a)1， e eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)eq r(112)eq r(2).故选C.2.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔(如图所示)作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆OB绕O转动)画出的曲线即为双曲线的一部分若|OA|10，|OB|12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率

2、为()A.eq f(6,5) B.eq f(5,4)C.eq f(3,2) D.eq f(5,2)【答案】D设|MB|t，则由题意，可得|MO|12t，|MA|8t，有|MO|MA|40，b0)上一点M(3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2，则该双曲线的标准方程为()A.eq f(x2,5)eq f(y2,20)1 B.eq f(x2,20)eq f(y2,5)1C.eq f(x2,5)eq f(y2,25)1 D.eq f(x2,25)eq f(y2,20)1【答案】A点M(3,4)与双曲线的右焦点F2(c,0)关于渐近线yeq f(b,a)x对称，则eq blcrc (avs4al

3、co1(f(4,3c)f(b,a)1，,2f(b,a)f(c3,2)，)得c5，eq f(b,a)2，所以b225a24a2，所以a25，b220，则该双曲线的标准方程为eq f(x2,5)eq f(y2,20)1.4已知离心率为eq f(r(5),2)的双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若Seq avs4al(OMF2)16，则双曲线的实轴长是()A32 B16C84 D4【答案】B由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线yeq f(b,a)x上，由题意可知|F2M

4、|eq f(bc,r(a2b2)b，所以|OM|eq r(c2b2)a.由Seq avs4al(OMF2)16，可得eq f(1,2)ab16，即ab32，又a2b2c2，eq f(c,a)eq f(r(5),2)，所以a8，b4，c4eq r(5)，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.5(多选)已知双曲线C过点(3，eq r(2)且渐近线为yeq f(r(3),3)x，则下列结论正确的是()AC的方程为eq f(x2,3)y21BC的离心率为eq r(3)C曲线yex21经过C的一个焦点D直线xeq r(2)y10与C有两个公共点【答案】AC设双曲线C的方程为eq f(x2,a2)eq f(

5、y2,b2)1(a0，b0)，根据条件可知eq f(b,a)eq f(r(3),3)，所以方程可化为eq f(x2,3b2)eq f(y2,b2)1，将点(3，eq r(2)代入得b21，所以a23，所以双曲线C的方程为eq f(x2,3)y21，故A对；离心率eeq f(c,a) eq r(f(a2b2,a2) eq r(f(31,3)eq f(2r(3),3)，故B错；双曲线C的焦点为(2,0)，(2，0)，将x2代入得ye010，故C对；联立eq blcrc (avs4alco1(f(x2,3)y21，,xr(2)y10)整理得y22eq r(2)y20，则880，故只有一个公共点，故D

6、错故选A、C.6(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A双曲线C的渐近线方程为yxB以F1F2为直径的圆的方程为x2y21C点P的横坐标为1DPF1F2的面积为eq r(2)【答案】ACD等轴双曲线C：y2x21的渐近线方程为yx，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|2eq r(2)，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2y22上，不妨设点P(x0，y0)在直线yx上，所以由eq blcrc (avs4alco1(xoal(2,0)yoal(2,0)2，,y

7、0 x0，)解得|x0|1，则点P的横坐标为1，故C正确；由上述分析可得PF1F2的面积为eq f(1,2)2eq r(2)1eq r(2)，故D正确故选A、C、D.7(多选)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的条件是()A双曲线的离心率为eq f(5,4)B双曲线过点eq blc(rc)(avs4alco1(5，f(9,4)C双曲线的渐近线方程为3x4y0D双曲线的实轴长为4【答案】ABC由题意可得焦点在x轴上，且c5，A选项，若双曲线的

8、离心率为eq f(5,4)，则a4，所以b2c2a29，此时双曲线的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)1，故A正确；B选项，若双曲线过点eq blc(rc)(avs4alco1(5，f(9,4)，则eq blcrc (avs4alco1(f(25,a2)f(f(81,16),b2)1，,a2b225，)得eq blcrc (avs4alco1(a216，,b29，)此时双曲线的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x4y0，可设双曲线的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)m(m0)，所以c216m9m25，解得m

9、1，所以此时双曲线的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a2，所以b2c2a221，此时双曲线的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,21)1，故D错误故选A、B、C.8P是双曲线C：eq f(x2,2)y21右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为_解析：设双曲线的右焦点为F2，连接PF2(图略)，因为|PF1|PF2|2eq r(2)，所以|PF1|2eq r(2)|PF2|，|PF1|PQ|2eq r(2)|PF2|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且

10、P在Q，F2之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离由题意可得直线l的方程为yeq f(r(2),2)x，焦点F2(eq r(3)，0)，点F2到直线l的距离d1，故|PQ|PF1|的最小值为2eq r(2)1.【答案】2eq r(2)19已知双曲线C：eq f(x2,3)y21的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P，若|FQ|t|QP|，则实数t的取值范围是_解析：由条件知F(2,0)设P(x0，y0)，Q(x1，y1)，则eq o(FQ,sup7()(x12，y1)，eq o(QP,sup7()(x0 x1，y0y1)，则(x12，y1)t(x0

11、 x1，y0y1)，所以x1eq f(tx02,1t)，y1eq f(ty0,1t).因为点P(x0，y0)，Q(x1，y1)都在双曲线C上，所以eq blcrc (avs4alco1(xoal(2,0)3yoal(2,0)3，,tx0223ty0231t2，)消去y0，得x0eq f(16t,4t).易知x0 eq r(3)，所以eq f(16t,4t) eq r(3)，易知t0，所以00，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为eq r(3)，求双曲线

12、的离心率解：(1)因为双曲线的渐近线方程为yeq f(b,a)x，所以ab，所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以双曲线方程为eq f(x2,2)eq f(y2,2)1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足eq f(y0,x0)(eq r(3)1，所以x0eq r(3)y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yeq oal(2,0)yeq oal(2,0)c2，即y0eq f(1,2)c，所以x0eq f(r(3),2)c，所以点A的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)c，f(1,2)c)，代入双曲线方程得eq f(f

13、(3,4)c2,a2)eq f(f(1,4)c2,b2)1，即eq f(3,4)b2c2eq f(1,4)a2c2a2b2，又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入式，整理得eq f(3,4)c42a2c2a40，所以3eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)48eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a)240，所以(3e22)(e22)0，因为e1，所以eeq r(2)，所以双曲线的离心率为eq r(2).B级综合应用11已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且eq o(AF,su

14、p7()3eq o(BF,sup7()，则双曲线离心率的最小值为()A.eq r(2) B.eq r(3)C2 D2eq r(2)【答案】C因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且eq o(AF,sup7()3eq o(BF,sup7()，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为eq o(AF,sup7()3eq o(BF,sup7()，所以cx13(cx2)，即3x2x12c，因为x1a，x2a，所以x1a,3x23a，故3x2x14a，即2c4a，eq f(c,a)2，即e2.所以双曲线离心率的最

15、小值为2.12我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对“优美曲线”已知F1，F2是一对“优美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当F1MF2eq f(,3)时，这一对“优美曲线”中双曲线的离心率是()A2 B.eq f(2r(3),3)C.eq r(2) D.eq r(3)【答案】D设F1Mm，F2Mn(mn0)，F1F22c，由余弦定理(2c)2m2n22mncos 60，即4c2m2n2mn，设a1是椭圆的长半轴长，a2为双曲线的实半轴长，由椭圆以及双曲线的定义，可得mn2a1，mn2a2，ma1a2，na1a2，代入式，可得3aeq oal(2,2)4c2aeq oal(

16、2,1)0，又eq f(c,a1)eq f(c,a2)1，即c2a1a2，可得3aeq oal(2,2)4a1a2aeq oal(2,1)0，解得a13a2，e1e2eq f(c,a1)eq f(c,a2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(c,a2)21，解得e2eq r(3).故选D.13(多选)已知点P是双曲线E：eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有()A点P的横坐标为eq f(20,3)BPF1F2的周长为eq f(80,3)CF1PF2小于eq f(,3)DP

17、F1F2的内切圆半径为eq f(3,2)解析：选ABCD双曲线E：eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的a4，b3，c5，不妨设P(m，n)，m0，n0，由PF1F2的面积为20，可得eq f(1,2)|F1F2|ncn5n20，即n4.由eq f(m2,16)eq f(16,9)1，可得meq f(20,3)，故A正确；由Peq blc(rc)(avs4alco1(f(20,3)，4)，且F1(5,0)，F2(5,0)，可得kPF1eq f(12,35)，keq avs4al(PF2)eq f(12,5)，则tanF1PF2eq f(f(12,5)f(12,35),1f(1212,5

18、35)eq f(360,319)(0，eq r(3)，则F1PF2eq f(,3)，故C正确；由|PF1|PF2| eq r(16f(352,9) eq r(16f(25,9)eq f(37,3)eq f(13,3)eq f(50,3)，则PF1F2的周长为eq f(50,3)10eq f(80,3)，故B正确；设PF1F2的内切圆半径为r，可得eq f(1,2)r(|PF1|PF2|F1F2|)eq f(1,2)|F1F2|4，可得eq f(80,3)r40，解得req f(3,2)，故D正确故选A、B、C、D.14在平面直角坐标系 xOy中，已知 ABC的顶点 A( 6, 0)和 C(6,

19、 0)，若顶点 B在双曲线eq f(x2,25)eq f(y2,11)1的左支上，则eq f(sin Asin C,sin B)_.解析：由条件知|BC|BA|10，且|AC|12.又在ABC中，有eq f(|BC|,sin A)eq f(|AB|,sin C)eq f(|AC|,sin B)2R(R为ABC外接圆的半径)，从而eq f(sin Asin C,sin B)eq f(|BC|AB|,|AC|)eq f(5,6).【答案】eq f(5,6)15双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上当BFAF时，|AF|BF|.(

20、1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：BFA2BAF.解：(1)设双曲线的离心率为e，焦距为2c，在eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1中，当BFAF时，点B的横坐标为c，则B点的纵坐标为yeq f(b2,a)，因|AF|BF|，所以aceq f(b2,a)，即a2acb2，a2acc2a2，所以e2e20，又e1，解得e2.(2)由(1)知2ac，b23a2，所以双曲线方程可化为eq f(x2,a2)eq f(y2,3a2)1.如图，设B(x，y)(x0，y0)，则kABeq f(y,xa)，kBFeq f(y,xc)，设BAF，则tan eq f(y,xa)，所以tan 2eq f(2tan ,1tan2)eq f(2f(y,xa),1blc(rc)(avs4alco1(f(y,xa)2)eq f(2xay,xa2y2)eq f(2xay,xa23a2blc(rc)(avs4alco1(f(x2,a2)1)eq f(2xay,2x22ax4a2)eq f(y,2ax)eq f(y,cx)kBFtanBFA，又因为02BAF，0BFA，所以BFA2BAF.C级迁移创新16如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：yx与直线l2：yx之间的阴影部分记为W，区域W中动点P(x，y)