中考数学几何综合题

1、几何综合题（旋转为主的题型）典题探究例1已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正APC和正BPD，AD和BC交于点M.（1）当APC和BPD面积之和最小时，直接写出AP:PB的值和AMC的度数；（2）将点P在线段AB上随意固定，再把BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度，当60时，旋转过程中，AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60120，AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出AMC的度数变化范围；若不变化，请写出AMC的度数.例2探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF

2、45，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=12BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.例3已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM（1）如图1，如

3、果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由-1-BBEACMADCDE图1图2M例4在YABCD中，ADBC，过点D作DEDF，且EDFABD，连接EF，EC，N、P分别为EC，BC的中点，连接NP.（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及ABD与MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.五、演练方阵A档

4、（巩固专练）eqoac(,和)1（1）如图eqoac(,1，)ABCCDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD.（2）如图2，在BCD中，BCD120，分别以BC、CD和BD为边在BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可）AD=BE=CF；BEC=ADC；DPE=EPC=CPA=60；.（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BEECAPADABCDPEPBCDBFD图1图2F-2-2.已知：AD2，BD4，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D

5、两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当ADB=60时，求AB及CD的长；（2）当ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应ADB的大小.3.如图，ABC中，ACB=90，AD=AC,AB=AN,连结CD、BN,CD的延长线交BN于点F（1）当ADN等于多少度时，ACE=EBF,并说明理由；（2）在（1）的条件下，设ABC=，CAD=，试探索、满足什么关系时，ACEFBE，并说明理由4.在ABC中，AB=4，BC=6，ACB=30，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CCA1的度数；（2）如图2，连接AA1，CCeqoac(,1

6、)若CBC1的面积为3，求eqoac(,1)ABA的面积；eqoac(,1)（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值C1AAC1AP1C1BCA1A1EPBCBCA1图1图2图35.问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若MBN=12ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC+ADC=180，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若

7、MBN=12ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.-3-DD6.如图，四边形ABCD、ABCD是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形其中，正1111方形ABCD可以绕中心O旋转,正方形ABCD静止不动1111（1）如图1，当D、D、B、B四点共线时，四边形DCCD的面积为_；1111（2）如图2，当D、D、A三点共线时，请直接写出CD1=_；111（3）在正方形ABCD绕中心O旋转的过程中，直线CC与直线DD的位置关系是111111_,请借助图3证明你的猜想B档（提升精练）1.如图，ABC中，ACB90,AC2，以AC为边向右侧作等边

8、三角形ACD（1）如图24-1,将线段AB绕点A逆时针旋转60，得到线段AB，联结DB，11则与DB长度相等的线段为（直接写出结论）；1（2）如图24-2，若P是线段BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋转60得到点Q,求ADQ的度数；（3）画图并探究：若P是直线BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋转60得到点Q,是否存在点P，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P的位置，并求出PC的长；若不存在，请说明理由-4-2.如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当正方形AD

9、EF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G求证：BDCF；当AB=4，AD=时，求线段BG的长3.已知：在AOB与COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD90（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的COD绕点O逆时针旋转，旋转角为(090)连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立

10、，请说明理由；（3）如图3，将图1中的COD绕点O逆时针旋转到使COD的一边OD恰好与AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明-5-4.在RtABC中，AB=BC，B=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转（1）当点O为AC中点时，如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断中的猜想是否成立若成立，请证明

11、；若不成立，请说明理由；F（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、两点，若AO1，AC4求OE的值OF5.如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，若角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF（1）若四边形ABCD为正方形，当EAF=45时，有EF=DFBE请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，ABC=ADC=90，当EAF=12DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；BAD时，EF与（3）如图3，如果四边形

12、ABCD中，AB=AD，ABC与ADC互补，当EAF=12BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周长（直接写出结果即可）-6-C档（跨越导练）1.已知：正方形ABCD中，MAN45o，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎

13、样的等量关系？请写出你的猜想，并证明2.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且EOF=90，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且EOF=45，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.3.问题：如图1，在RtABC中，C90，ABC30，点D是射线CB上任意一点，ADE是等边三角形，且点D在ACB的内部，连接BE探究线段BE与DE之间的数量关系请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（

14、1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形由BAC的度数为，点E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为；-7-（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明4.在ABC中，AB=AC，BAC=（0线段BD。60），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值。5.在ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕

15、点P顺时针旋转2得到线段PQ。（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围。-8-几何综合题（旋转为主的题型）参考答案典题探究例11，60不变化.证明：如图，点E在AP的延长线上，BPE=60.BPC=CPD+60,DPA=CPD+60,CBPC=DPA.在BPC和DP

16、A中，又BP=DP，PC=PA，BPCDPA.BCP=DAP.AMC=180-MCP-PCA-MACMD=120-BCP-MACAPE=120-（DAP+MAC）-PCA=120-PAC=60，且与的大小无关.不变化，60例2探究：（1）通过观察可知，EF=BEDF.（2）结论EF=BEDF仍然成立（如图2）.证明:将ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到ABF，ADFABF，1=2，AF=AF，BF=DF.ABF=DB又EAF=12BAD，即4=2+3.413,4=1+3.又ABCD180，ABFABE=180，即：F、B、E共线.在AEF与AEF1中，AFAF,（图2）AEAEAE

17、FAEF中，EF=EF，又EF=BEBF,即：EF=BEDF.（3）发生变化.EF、BE、DF之间的关系是EF=BEDF.证明：将ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F处，得到ABF，如图3所示.ADFABF，BAF=DAF，AF=AF，BF=DF.又EAF=1BAD，且BAF=DAF2FAE=FAE.在FAE与FAE中-9-FAEFAE,AEAEAFAF,FAEFAE.EF=EF，又BE=BFEF，EF=BEBF.即EF=BEDF.例3解：（1）BM=DM且BMDM（2）成立理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD易证EMDCMFED=CF，DEM=

18、1AB=BC，AD=DE，且ADE=ABC=90，2=3=45,4=5=45BAD=2+4+6=90+68=360-5-7-1，7=180-6-9，8=360-45-（180-6-9）-（3+9）=360-45-180+6+9-45-9=90+68=BAD又AD=CFABDCBFBD=BF，ABD=CBFDBF=ABC=90MF=MD，BM=DM且BMDM.例4解:（1）NP=MN,ABD+MNP=180（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).证明：如图,分别连接BE、CF.9四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，A=DCB，ADABD=BDC.F32NPEB,NP=EB.A=

19、DBC，DBC=DCB.DB=DC.EDF=ABD,EDF=BDC.BDC-EDC=EDF-EDC.即BDE=CDF.又DE=DF，由得BDECDF.EB=FC,1=2.N、P分别为EC、BC的中点，12ME14NPBC同理可得MNFC，MN=NP=NM.NPEB,NPC=4.12FC.-10-ENP=NCP+NPC=NCP+4.MNFC，MNE=FCE=3+2=3+1.MNP=MNE+ENP=3+1+NCP+4=DBC+DCB=180-BDC=180-ABD.ABD+MNP=180.五、演练方阵A档（巩固专练）1.(1)证明：ABC和CDE都是等边三角形BC=AC，CE=CD，ACB=DCE

20、=60BCE=ACDBCEACD（SAS）BE=AD（2）都正确（3）证明：在PE上截取PM=PC，联结CM由（1）可知，BCEACD（SAS）E1=2设CD与BE交于点eqoac(,G),在CGE和PGD中1=2，CGE=PGDDPG=ECG=60同理CPE=60ACMG1CPM是等边三角形CP=CM，PMC=60CPD=CME=120BP2D1=2,CPDCME（AAS）PD=MEBE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.即PB+PC+PD=BE2.解：（1）过点A作AGBC于点G.ADB=60，AD2，FDG1，AGGB3，3，tanABGAG3，BG32由勾股定理得：CDDB2BC24

21、223ABG30o，AB23，ABC是等边三角形，DBC90o，BC23，（2）作EAD60o，且使AEAD，连接ED、EB.AED是等边三角形，AEAD，EAD60o，ABC是等边三角形，ABAC，BAC60o，EADDABBACDAB，即EABDAC，EABDAC.EB=DC.27.-11-当点E、D、B在同一直线上时，EB最大，EB246，CD的最大值为6，此时ADB120o.3.（1）解：当ADN等于90度时，ACE=EBF.理由如下：ACB=ADN=90，ABC和AND均为直角三角形又AC=AD，AB=ANABCANDCAB=DANCAD=BAN又ACD=ADC,ABN=ANBACD

22、=ABN即ACE=EBF（2）解：当2时，ACEFBE在ACD中，AC=AD，ACD180CAD1809022在RtABC中，ACD+BCE=90，即90BCE90，BCE=ABC=，ABC=BCECE=BE由（1）知：ACE=EBF,又AEC=BEFACEFBE4.解：（1）如图1，依题意得：A1C1eqoac(,B)ACB.BC1=BC，A1C1B=C=30.BC1C=C=30.CC1A1=60.（2）如图2，由（1）知：A1C1eqoac(,B)ACB.A1B=AB，BC1=BC，A1BC1=ABC.1=2，ABAB421CBBC631A1eqoac(,BA)C1BCAC122.S391

23、ABAS4ABA1CBC1S3，CBCS.413A11B2图2C（3）线段EP1长度的最大值为8，EP1长度的最小值1.5.解：（1）猜想的结论：MN=AM+CN（2）猜想的结论：MN=CNAM证明:在NC截取CF=AM，连接BFABC+ADC=180，DAB+C=180又DAB+MAB=180，MAB=C-12-MBN=1MBN=1AB=BCAM=CF，AMBCFBABM=CBF，BM=BFABM+ABF=CBF+ABF即MBF=ABC2ABC，2MBF即MBN=NBF又BN=BNBM=BF，MBNFBNMN=NFNF=CNCF，MN=CNAM6.解：（1）S2四边形DCCD=1(15)2=

24、6；11DC（3）CCDD.MOD证明：连接CO,DO,CO,DO，延长11由正方形的性质可知：ABPACQADACAD（2）CD1=4；DD3C11B1111A1CC交DD于M点.如图所示：11CODO,CODO11CODCOD45o11CODCODCODCOD，1111即：COCDOD11COCDOD11ODDOCC11QCCDOCCCDO90o11CCDODDCDO90o11CMD90o即：CCDD.11B档（提升精练）1.解：(1)BC（2由作图知APAQ，PAQ60ACD是等边三角形ACAD,CAD60PAQPACQAD在PAC和QAD中APAQPACQAD-13-ADQACP90（

25、3）如图3，同可证PACQAD，ADQACP90当ADCQ时，CQD180ADQ90ADC60，QDC30CDAC2，CQ1，DQ3，PCDQ3且CQAD此时四边形ACQD是梯形如图4，同理可证PACQAD,ADQACP90当AQCD时，QADADC60,AQD30ADAC2，AQ4，DQ23，PCDQ23此时DQ与AC不平行，四边形ACDQ是梯形综上所述，这样的点P有两个，分别在C点两侧，当P点在C点左侧时，PC3；当P点在C点右侧时，PC232.（1）BD=CF成立理由：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=BACDAC，CA

26、F=DAFDAC，BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS）BD=CF（2）证明：设BG交AC于点MBADCAF（已证），ABM=GCMBMA=CMG，BMACMGBGC=BAC=90BDCF过点F作FNAC于点N在正方形ADEF中，AD=DE=，AE=2，AN=FN=AE=1在等腰直角ABC中，AB=4，CN=ACAN=3，BC=4在RtFCN中，tanFCN=-14-在RtABM中，tanABM=AM=AB=CM=ACAM=4=，BM=BMACMG，=tanFCN=5分CG=在RtBGC中，BG=3.解：（1）线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM，位置关系是ADOM.

27、（2）（1）的两个结论仍然成立.证明：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连结CF.M为BC中点，O为BF中点，MO为BCF的中位线.FC=2OM.AOB=AOF=COD=90，AOD=FOC.BAO=FO，CO=DO，AODFOC.MFC=AD.AD=2OM.DMO为BCF的中位线，MOCF.MOB=F.又AODFOC，DAO=F.MOB+AOM=90,DAO+AOM=90.即ADOM.（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化.证明：如图3，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作ENAD于N.OAOB，OCOD，AOBCOD90，ADBBCEDCO45.AEDE，BECE，AE

28、D=90.DN=AN.AD2NE.M为BC的中点，EMBC.OBFMCC图2EA四边形ONEM是矩形.NEOM.AD=2OM.4.解：（1）猜想：AE2CF2EF2.成立.证明：连结OB.AB=BC,ABC=90,O点为AC的中点，DON图3AOB12ACOC,BOC=90,ABO=BCO=45.-15-EOF=90，EOB=FOC.又EBO=FCO，OEBOFC（ASA）.BE=CF.又BA=BC,AE=BF.在RtEBF中，EBF=90,BF2BE2EF2.AE2CF2EF2.（2）解：如图，过点O作OMAB于M，ONBC于N.B=90,MON=90.EOF=90,EOM=FON.AOMO

29、EEMO=FNO=90，OMEONF.MONOFEAOM和OCN为等腰直角三角形，OAOMOCNOMAO.ONOCAO1，OE1.AC4OF3BNFC5.解：（2）EF=DF-BE（3）EF=DF-BE证明：在DF上截取DM=BE，连接AM如图，D+ABC=ABE+ABC=180,D=ABEAD=AB，ADMABEAM=AEDAM=BAEEAF=BAE+BAF=12BAD，DAM+BAF=12BADMAF=12BADEAF=MAFAF是EAF与MAF的公共边，EAFMAFEF=MFMF=DF-DM=DF-BE,EF=DF-BE(4)CEF的周长为15C档（跨越导练）1.解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即BMDNMN证明：如图2，