弹性力学及有限元法讲义chapter

1、第三章 空间问题的基本理论 空间问题的数学描述 已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数x、y、z有关； 15个未知函数6个应力分量： 6个应变分量 ，三个位移分量： u、v、w，一般都是三个坐标参数x、y、z的函数； 基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。 分析空间问题时，仍然要从三个方面来考虑：静力学方面，几何学方面和物理学方面。第三章 空间问题的基本理论 3-1 平衡微分方程 在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。 首先，以连接六面体前后两面中心的直线 为矩轴，列出力矩的平衡方程

2、整理，并略去微量后，得同样可以得出第三章 空间问题的基本理论列出x轴方向的力的平衡方程 由其余两个平衡方程 和 可以得出与之相似的两个方程。化简，除以dxdydz，得空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程）第三章 空间问题的基本理论 3-2 几何方程和连续性方程 在平面问题里，通过研究oxy平面内平行于x、y轴两微元线素的变形得到几何方程，用同样方法研究另外两平面线素的变形可得到类似的方程。综合起来，得到空间问题的几何方程。 与几何方程等价的是变形连续性方程（也称相容方程或协调方程），在空间问题里表示为第三章 空间问题的基本理论 第一个方程式在平面问题中已作过推导。类似地可得到第二、第三个方程式

3、。现在推导第四个方程式。 由空间问题的几何方程式，有 将以上后三式相加，并与第一式比较，便得到连续性方程的第四式。其余各式可由第一式、第四式轮换字母得到。第三章 空间问题的基本理论 3-3 物理方程 各向同性弹性体的物理方程用应变表示应力的物理方程为式中 D 弹性矩阵或应力应变关系转换矩阵第三章 空间问题的基本理论用应力表示应变的物理方程为式中显然，有第三章 空间问题的基本理论下面推导空间物理方程的另一种表达形式。将 展开，并将其前三式相加，得或式中e 体积应变m 平均应力K 体积弹性常数 体积弹性定律令则物理方程可写成如下形式第三章 空间问题的基本理论及 各种弹性常数之间的关系其中 、G 拉

4、密常数第三章 空间问题的基本理论 3-4 边界条件 位移边界条件在Su上 应力边界条件将平面问题应力边界条件推广到空间问题，可得第三章 空间问题的基本理论 如果是用位移法求解，还应把应力边界条件用位移来表示。将几何关系式代入物理关系式，有在S上 和平面问题一样，按边界条件也可以把空间问题划分为三类：位移边界、应力边界和混合边界问题。第三章 空间问题的基本理论小结 对于空间问题，共有15个未知函数：6个应力分量 ； 6个应变分量 ；3个位移分量 。这15个未知函数应当满足15个基本方程：3个平衡微分方程；6个几何方程；6个物理方程。第三章 空间问题的基本理论在位移边界问题中，位移分量在边界上还应

5、当满足位移边界条件在应力边界问题中，应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。 在混合边界问题中，某些边界条件是位移边界条件，而另一些边界条件是应力边界条件。在S上在Su上第三章 空间问题的基本理论 3-5 物体内任一点的应力状态 已知物体在任一点P的六个应力分量 ，试求经过P点的任一斜面上的应力。令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为 设三角形ABC的面积为S，则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为lS 、mS、 nS。四面体PABC的体积用V表示。三角形ABC上的应力 在坐标轴方向的分量用XN、YN、ZN代表。根据四面体的平衡条件 ，得第三章 空间问题的基本理论除以S，移项后，得 当斜面

6、ABC趋近于P点时，由于V是比S更高一阶的微量，所以V/ S趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条件 可以得出其余两式。设三角形ABC上的正应力为N , 则由投影可得将上式代入，得第三章 空间问题的基本理论设三角形ABC上的剪应力为N，由于所以有 在物体的任意一点，如果已知六个应力分量 就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。 在特殊情况下，如果ABC是物体的边界面，则XN、YN、ZN成为面力分量 ，于是得出 即弹性体的应力边界条件。它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。第三章 空间问题的基本理论主应力与主方向 设经过任一点P的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主方向。 在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。 在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变（尽管应力分量随着坐标系改变）。 应力状态不变量第三章 空间问题的基本理论 3-6 按位移求解空间问题 将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程。 按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数。对空间问题来说，要从15个基本方程中消去应力分量和应变分量，得