专题三第2讲立体几何(2)-96

1、专题三 第 2 讲 立体几何（大题）热点一 平行、垂直关系的证明用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行， 即化归为证明线线平行， 用向量方法证明直线a/ b,只需证明向量a=不（入C R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.例 1 如图， 在直三棱柱 ADE BCF 中， 平面 ABFE 和平面 ABCD 都是正方形且互相垂直，点 M 为 AB 的中点，点O 为 DF 的中点 .运用向量方法证明：OM/平面BCF;(2)平面MDF，平面EFCD.跟踪演练1 如图，在四

2、棱锥 P ABCD中，PA，底面 ABCD, AD/ BC, ADXCD, BC=2,AD = CD=1, M是PB的中点.(1)求证：AM /平面PCD ;(2)求证：平面 ACM，平面 PAB.热点二利用空间向量求空间角设直线l, m的方向向量分别为a=(ai, bi, ci), b=(a2, b2,.平面a, 3的法向量分别为尸(a3, b3, C3), V=(a4, b4, C4)(以下相同).(1)线线夹角、一一 一兀设l, m的夹角为00 万, 八 |a bl|aia2+bib2+cic2|则 cos e=t=r22 2 厂2 22.a|b| a2+ b2+ c2 a2+ b2+

3、c2(2)线面夹角设直线l与平面a的夹角为0 0 9-2 ,则 sin 0= ay = |cosa, 储 |. |a|M(3)二面角设a- a- 3的平面角为 e(0 g nt)贝U|cos 9|=144=|cos |. I U|v| 1例2 （2019南昌模拟）如图，四棱台 ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD是菱形，CCi,底面ABCD,且/ BAD = 60, CD= CCi = 2CiDi = 4, E 是棱 BBi 的中点.(i)求证：AAi BD;(2)求二面角E AiCi C的余弦值.跟踪演练2 （20i9河南名校联盟联考）如图，在四锥P ABCD中，/ PAB=90,A

4、B/CD, 且 PB = BC=BD = 6, CD = 2AB = 242, / PAD = i20 E 和 F 分别是棱 CD 和 PC 的中点.(1)求证：CDXBF;(2) 求直线PB 与平面 PCD 所成的角的正弦值热点三 利用空间向量解决探索性问题与空间向量有关的探究性问题主要有两类： 一类是探究线面的位置关系； 另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出 )，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.例3 (2019临沂模拟)如图，平面 ABCD，平面ABE,四边形ABCD

5、是边长为2的正方形,AE=1, F为CE上的点，且BF，平面ACE.(1)求证：AE，平面BCE;3(2)线段AD上是否存在一点 M,使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为 勺？若存在，试确定点 M的位置；若不存在，请说明理由 .跟踪演练3 如图，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，ACXBC, AC= BC= AAi= 2,点P为棱BiCi的中点，点Q为线段AiB上一动点.(1)求证：当点 Q为线段AiB的中点时，PQ，平面AiBC;(2)设BQ=入BA,试问：是否存在实数 人使得平面AiPQ与平面BiPQ所成锐二面角的余弦 值为 耍？若存在，求出这个实数片若不存在，t#说明理由.（2019全国I ,理，18）如图，直四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面是菱形， AAi=4, AB= 2, /BAD = 60, E, M, N 分别是 BC, BBi, AiD 的中点.证明：MN /平面CiDE;(2) 求二面角A MA i N 的正弦值 .押题预测如图1,在梯形 ABCD中，AB/CD,过A, B分别作 AEXCD, BFXCD,垂足分别 E, F, AB = AE=2, CD = 5,已知DE=1,将梯形ABCD沿AE, BF同侧折起，得空间几何体 AD