利用CAI演绎微分中值定理间的联系

1、利用CAI演绎微分中值定理间的联络利用AI演绎微分中值定理间的联络微分中值定理通常包含罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，是微积分学中重要的根本定理。这些微分中值定理提醒了函数的差商及其导数之间的内在联络,是导数应用的理论基矗利用微分中值定理，可以研究函数及曲线的某些性态，并可以由此解决一些实际问题1。在微分中值定理的教学中，需要通过引导学生观察定理的几何表示，理解微分中值定理之间的联络，理解定理的条件及结论，启发学生构造辅助函数证明拉格朗日定理和柯西定理，并能合理地应用定理解决相关的数学问题。1教学内容的安排1.1微分中值定理之间的联络通常在说明微分中值定理之间的联络时，会指出罗尔定理是拉格朗

2、日定理的特殊情形，拉格朗日定理是柯西定理的特殊情形，并说明这三个定理实际上描绘的是在不同坐标系中的同一几何现象。但在用几何图示说明罗尔定理与拉格朗日定理的联络时，假设只是通过图1、图2这样的图形来解释它们的联络，就容易发如今图中的坐标系没变化，而是曲线发生了变化。这样表示的图形并不能很好地贴近教学内容，不能很好地引导学生通过观察几何现象来得到想要说明的结论。假设换一种方式，借助卡瓦列里定理2，将曲线不变，在平面上分别建立不同的直角坐标系，引导学生通过观察三个微分中值定理的几何图示见图2、图3、图4，就能得出这三个定理可以看作是平面中的同一个几何现象，在建立的不同平面直角坐标系中，用不同的条件和

3、结论描绘的定理。论文联盟.Ll.图1罗尔定理图2拉格朗日定理图3罗尔定理2图4柯西定理1.2微分中值定理的证明同济六版的?高等数学?在微分中值定理这一部分的内容中，依次介绍费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。在证明费马引理之后，利用费马引理证明罗尔定理，利用罗尔定理来证明拉格朗日定理和柯西定理。微分中值定理的证明有很多方法3。在基于学生能掌握的根底知识、结合教材内容展开的教学过程中，很多中值定理的证明方法及思路并不适宜在教学中应用，但可以在课后作为学生理解教学内容的参考和借鉴。一般还是采用教材提供的内容构架和证明方法引导学生去观察和考虑。可以利用AI手段，突出地表现函数动态变化的过程，

4、将函数的性态、定理之间的联络及定理的证明思路演绎得更清楚。2教学过程的分析与课件的制作结合学生的实际情况及教材的安排，可以采用这样的教学过程：首先演绎卡瓦列里定理，引导学生观察几何现象的特点；然后分别建立不同的平面直角坐标系，描绘观察到的几何现象来得到罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理；接着在分析罗尔定理的证明思路时引入费马引理；在证明罗尔定理后，通过几何动态过程启发学生构造辅助函数来证明拉格朗日定理和柯西定理。在教学过程中，需要重点演示的内容就是三个微分中值定理间的联络、罗尔定理的证明思路及如何构造辅助函数来证明拉格朗日定理。通过合理地使用多媒体课件引导学生分析与考虑，能到达较好的教学效果。制

5、作多媒体课件的软件和方法有很多4，可以采用常用的PerPint组件来制作相应的教学课件。2.1演绎卡瓦列里定理卡瓦列里定理是几何形式的微分中值定理：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦2。制作课件的目的就是通过演示动态的几何变化过程，引导学生观察到平行于弦的切线的存在性。在制作课件时，可以利用直线的平移法来演示。在一张空白的ppt页面上，绘制一段光滑的曲线弧，用直线段连接两个端点得到曲线弧的弦。作两条平行于弦的直线段，将两条直线段重合于弦上。选定其中的一条直线段，选择自定义动画添加效果动作途径绘制自定义途径直线，指定途径将直线段由弦开始平行挪动至与曲线相切。采用同样的方法演示第二条切线的存在见

6、图5。图5卡瓦列里定理2.2演绎罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理的联络在得到的ppt页面中，先后制作相应的平面直角坐标系见图3、图2、图4，引导学生观察，体会到几何曲线不变，变化的只是相应的坐标系，分别写出相应的条件及结论得到罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，并指出这三个定理是对在不同直角坐标系中的同一几何现象的描绘。2.3演绎罗尔定理的证明在启发学生去如何证明罗尔定理过程中，如图3放置的坐标系毕竟不是常用状态。为了更好地引导学生观察几何图形的特点，需要将图3中的几何图形包含坐标轴绕直角坐标系的坐标原点旋转至坐标横轴程度。在常用坐标系的状态下引导学生观察几何图形中切线对应的切点的特点：曲线的峰

7、点或谷点。在引入费马引理后，利用导数的定义及导数存在的充分必要条件证明费马引理。在课件中，需要演示几何图形绕坐标原点旋转。PerPint组件中自带的旋转功能，是将整个图形绕图形的几何中心旋转。为了应用这个功能，需要改造图形构造，把坐标原点变为图形的几何中心，再将不需要的曲线的填充/透明度选为100%目的是使这些曲线在ppt中不显示出来，只为需要的几何图形提供几何中心。只需要将两条坐标轴拷贝粘贴后，与原有的坐标轴做成关于坐标原点对称的图形。这样，就可以使得坐标原点变为整个图形的几何中心，将所有的几何曲线选定后进展组合。再将做成的与坐标轴对称的直线的填充/透明度选为100%，在自定义动画添加效果强

8、调陀螺旋中选择合理的旋转方向及角度，就可以演示将整个图形包含坐标轴绕坐标原点旋转到适宜的位置，使得坐标横轴程度5，就能在通常状态的直角坐标系下演示罗尔定理的证明见图6。图6罗尔定理旋转2.4演绎证明拉格朗日定理所需的辅助函数的构造拉格朗日定理的证明思论文联盟.Ll.路，一般是通过构造辅助函数，利用罗尔定理来证明。证明的关键之处是引导学生寻找在区间a,b的两个端点a,b之处具有一样性态的函数。这样的辅助函数有很多，通常采用的辅助函数是y=f(x)-L(x),xa,b6。通过动点分别沿着曲线f(x)和弦AB挪动来发现区间a,b的两个端点a,b处有着共同的特点:所对应的点A，B既在曲线f(x)上，又

9、在曲线的弦AB上见图2。引导学生观察到曲线f(x)与弦AB所对应的函数L(x)在两个端点a,b处分别满足函数值相等，即：f(a)=L(a),f(b)=L(b)。可以引导学生猜想：f(a)-L(a)=0,f(b)-L(b)=0。从而构造出所需要的辅助函数:y=f(x)-L(x),xa,b，使得能利用构造的辅助函数满足罗尔定理的条件来证明拉格朗日定理。在制作ppt课件时，利用自定义动画添加效果动作途径绘制自定义途径曲线或直线来绘制与曲线或直线重合的轨迹，设置相应的动点挪动的方式，就可以演示动点沿曲线或直线挪动的动态效果。3完毕语通过利用AI演绎几何现象来得到数学结论，能给学生带来直观的感受，启发学生的抽象思维，能很好地应用数形结合的方法。利用PerPint2022组件制作了这样简单的ppt课件，就为枯燥的高