2022年全等三角形经典模型归纳总结文档

1、全等三角形相关模型总结 一,角平分线模型 一）角平分线的性质模型 帮忙线：过点 G 作 GE射线 AC A,例题 1,如图,在 ABC 中, C=90, AD 平分CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是 cm. 2,如图,已知, 1 2, 3 4,求证： AP 平分 BAC. B,模型巩固 1,如图,在四边形 ABCD 中, BC AB,AD CD,BD 平分 ABC,求证： A C 180 . 1第 1 页,共 16 页（二）角平分线垂线,等腰三角形必显现 A,例题 帮忙线：延长 ED 交射线 OB 于 F 帮忙线：过点 E 作 EF射线 OB 例 1,如图,

2、在 ABC 中, ABC 3 C, AD 是 BAC 的平分线, BE AD 于 F . 求证： BE 1 AC AB . 2 例 2,如图,在 ABC 中, BAC 的角平分 AD 交 BC 于点 D,且 AB AD,作 CM AD 交 线 1 AD 的延长线于 M. 求证： AM AB AC . 22第 2 页,共 16 页（三）角分线,分两边,对称全等要记全 两个图形飞帮忙线都是在射线 A,例题 ON 上取点 B,使 OB OA,从而使 OAC OBC . 1,如图,在 ABC 中, BAC=60, C=40, AP 平分 BAC 交 BC 于 P, BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q

3、,求证： AB BP BQ AQ . 2,如图,在 ABC 中, AD 是 BAC 的外角平分 线, 较 PB PC AB AC 的大小,并说明理 . 与 由 P 是 AD 上异于点 A 的任意一点,试比 3第 3 页,共 16 页B,模型巩固 1,在 ABC 中, AB AC, AD 是 BAC 的平分线, P 是线段 AD 上任意一点（不 A 重合） . 与 求证： ABAC PB PC . 2,如图, ABC 中, AB AC, A 100, 求证： ADBDBC . 3,如图, ABC 中, BCAC, C 90, 求证： AC CD AB . B 的平分线交 AC 于 D, A 的平

4、分线交 BC 于 D, 二,等腰直角三角形模型 （一）旋转中心为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等： 操作过程： （1）将 ABD 逆时针旋转 90,得 ACM ABD,从而推出 ADM 为等腰直角三角形 . （2）帮忙线作法：过点 C 作 MC BC,使 CM BD,连结 AM. （二）旋转中心为斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等： 操作过程：连结 AD. （1）使 BFAE（或 AF CE）,导出 BDF ADE. （2）使 EDF BAC 180,导出 BDF ADE. A,例题 1,如图,在等腰直角 ABC 中,BAC 90,点 M ,N 在斜 边 摸索究 BM, MN, CN

5、 之间的数量关系 . BC 上滑动,且 MAN45, 2,两个全等的含有 30, 60角的直角三角板 ADE 和 ABC,按如以下图放置, E,A, C 三 点在一条直线上,连接 BD,取 BD 的中点 M ,连接 ME, MC. 试判定 EMC 的形状,并证明你的结 . 论 B,模型巩固 1,已知,如以下图, RtABC 中, AB AC, BAC90, O 为 BC 中点,如 M ,N 分别线段 AC, AB 上移动,且在移动中保持 在 AN CM. （1）试判定 OMN 的形状,并证明你的结论 . （2）当 M, N 分别在线段 AC, AB 上移动时,四边形 AMON 的面积如何变化？

6、 2,在正方形 ABCD 中, BE 3,EF 5, DF4,求BAE DCF 为多少. 度 6第 6 页,共 16 页（三）构造等腰直角三角形 （1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略） ； （2）利用平移,对称和弦图也可以构造等腰直角三角形 . （四）将等腰直角三角形补全为正方形,如下图： A,例题应用 1,如图,在等腰直角 ABC 中, AC BC, ACB 90, P 为三角形 ABC 内部一 中意 PB PC, AP AC,求证： BCP 15 . 点, 7第 7 页,共 16 页三,三垂直模型（弦图模型） A,例题 已知：如以下图,在 ABC 中, AB AC, B

7、AC 90, D AC 中点, AF BD 于点 E,交 BC 于 F,连接 DF . 为 求证： ADB CDF . 变式 1,已知：如以下图,在 ABC 中, AB AC,AM CN, AF BM 于 E,交 BC 于 F,连 接 NF . 求证：（ 1） AMB CNF；（2） BM AF FN . 变式 2,在变式 1 的基础上,其他条件不变,只是将 BM 和 FN 分别延长交于点 P, 求证：（ 1） PM PN；（ 2） PB PF AF . 8第 8 页,共 16 页四,手拉手模型 1, ABE 和 ACF 均为等边三角 形 结论：（ 1） ABF AEC . （ 2） BOE

8、BAE60 . （ 3） OA 平分 EOF .（四点共圆证 ） 拓展： ABC 和 CDE 均为等边三角 形 结论：（ 1） AD BE； （ 2） ACB AOB； （ 3） PCQ 为等边三角形； （ 4） PQ AE； （ 5） APBQ； （ 6） CO 平分 AOE；（ 四点共圆 证 ） （ 7） OA OBOC； （ 8） OEOC OD . （ 7）,（ 8）需构造等边三角形证明 ） 9第 9 页,共 16 页例, 如图,点 M 为锐角三角ABC 内任意一点,连AM,BM, CM以 AB 为一边向外作等形 接 边三角形 ABE,将 BM 绕点 B 逆时针旋 转 （1）求证： A

9、MB ENB； 60得到 BN,连接 EN （2）如 AM+BM+C的 M 值最小,就称M 为 ABC 的费尔马点如M 为 ABC 的费尔马点 点 点, 试求此时 AMB, BMC, CMA的度 数； （3）小翔受以上启示,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图,分别以 ABC 的 AB, AC 为一边向外作等边 ABE 和等边 ACF,连 接 即为 ABC 的费尔马点试说明这种作法的依 据 CE,BF,设交点为 M,就点 M10 第 10 页,共 16 页2, ABD 和 ACE 均为等腰直角三角 形 结论：（ 1） BE CD；（2） BE CD . 3,四边形 ABEF 和四边形

10、ACHD 均为正方 形 结论：（ 1） BD CF；（ 2）BD CF . 变式 1,四边形 ABEF 和四边形 ACHD 均为正方. AS BC 交 FD 于 T, 形, 求证：（ 1） T 为 FD 中点；（ 2） SVABC SVADF 11 第 11 页,共 16 页变式 2,四边形 ABEF 和四边ACHD 均为正方T 为 FD 中点, TABCS, 360 形 求证： AS BC . 形, 交 于 4,如图,以 ABC 的AB, AC 为边构造正多边形时,总12 180 n边 有： 12 第 12 页,共 16 页五,半角模型 条件： 1 , 且 + =180 , 两边相等 . 2

11、 思路： 1,旋转 帮忙线：延长 CD到 E,使 ED=BM,连 AE 或延长 CB 到 F,使 FB=DN,连 将 ADN 绕点 A 顺时针旋 90得 ABF,留意：旋转需证 F, B, M 三点共 AF 转 线 结论：（ 1） MN BM DN； （ 2） CVCMN =2 AB ； （ 3） AM, AN 分别平分 BMN, MND . 2,翻折（对称） 帮忙线：作 AP MN 交 MN 于点 P 将 ADN, ABM分别沿 AN, AM 翻折,但确定要证 明 M,P, N 三点共线 . 13 第 13 页,共 16 页A,例题 例 1,在正方形 ABCD 中,如 M, N 分别在边 BC, CD 上移动,且中意 MN BMDN, 求证：（ 1） MAN 45； （ 2） CVCMN =2 AB ； （ 3） AM, AN 分别平分 BMN 和 DNM . 变式： 在正方形 ABCD 中,已知 MAN45, 如 M ,N 分别在边 CB,DC 的延长线上移动, AHMN ,垂足为 H, （1）摸索究线段 MN ,BM, DN 之间的数量关系； （2）求证： AB AH 14 第 14 页,共 16 页例 2,在四边形 ABCD