2022年儿童是怎样学习“20以内数的认识”

1、儿童是怎样学习“20以内数的熟悉”参考资料儿童是怎样学习“20 以内数的熟悉”陈凤伟北京市东城区史家学校杨敬芝北京市东城区史家学校景立新北京市东城区史家学校一、案例分析引发摸索提出问题（一）案例简述案例一： 5+8=？5+7=？为什么 1-6 年级同学都会显现同样的错误“12”和“ 13” ？而且这种错误带有固定的循环性；同学的说明是：没算就直接写出来了！580+300算成 58+3=61,仅仅是疏忽了数末尾的“ 0” 吗？案例二： 12 名幼儿园大班的儿童,都能拿对“5块橡皮” ,但有 6 人没有拿对指定的“ 第 5 块橡皮” ,拿对的 6 人中,只有 1 人能说清晰 “ 第五块”和“ 5块

2、” 是不一样的；仍是这 12 名儿童面对 “ 散放”的 16 颗珠子,要求“ 看着数” ,结果 4 人正确, 8 人数错了；转变要求为“ 动手点数” 时,结果 错；10 人正确, 2 人数案例三：运算 8+4,12 名儿童中 2 名“ 数手指”算,5 名“ 摆手指”算,仍有 5 名能流利地说出 “ 凑十法” 的运算过程；（二）引发摸索 儿童在数数和算数的起始阶段都要借助“ 手” 作 为计数器,这种司空见惯的现象有没有更深层次的 缘由？如何帮忙儿童从“ 数手指” 、“ 摆手指” 过 渡到抽象的计数和运算呢？儿童“ 基数” 的体会余外“ 序数” ；怎样利用学 生已有的“ 序数” 体会,挖掘教材中存

3、在的 “ 序数”因素,查找生活中的“ 序数” 情形,促进同学的理 解和把握？（三）提出问题 问题一：儿童在数数和算数的起始阶段都要借助“ 手” 作为计数器,如何帮忙儿童从“ 数手指” 、“ 摆手指” 过渡到抽象的计数和运算呢？问题二：要提高同学从 “ 记忆库”中输出信息的 精确性,就要找到与他们认知规律和数学学科体系 相一样的“ 路线图” ,即同学是怎样学习“20 以 内数的熟悉” 的？问题三 : 依据国家数学课程标准编写的试验 版教材,在内容的挑选、出现的方式、模型的建立 上是否真正符合同学的认知进展规律？二、讨论的方法和结果（一）理论讨论的结果1、数学进展史的启示（1）人们认为数学史的进展

4、过程就是同学学习 的过程,数学史上的难关都是同学学习的难关；第一讨论数的进展史, 从周髀 一书和对甲骨 文的考古中得到了上面观点的证据,即数进展的过 程也是儿童熟悉数的必定过程；儿童“ 数手指” 、“ 摆手指”的计数和运算策略, 恰好是遵循了自然 和人的本能；如何合理、有效的引导儿童由自然、直观的手指策略, 向高层次的、 抽象的手指策略过 渡呢？（2）“ 十进位值制计数法” 是数进展史的基础 和重大突破；这一点不仅在新石器时代的彩陶和半坡文化中 有据可考,而且中国古代对圆周率的运算比欧洲早 了一千多年,也是证据之一；所以在儿童的学习“ 路 线图” 中,要挑选形象、直观、贴近他们生活的模 型,帮

5、忙他们懂得“ 十进位位值制计数法” ；2数学训练理论的启示“ 模型” 在学校“20 以内数的熟悉” 的教学中,有着广泛的运用；对“ 模型” 与儿童数学认知进展有深化讨论的, 当推 J.Piaget 们强调儿童数学推理的整体结构和 Z.Dienes 等；他 , 提出了一系列利用模型,帮忙同学从“ 详细- 抽象” 的概念进展过 程；（1）学习过程就是儿童主动构建认知结构的过 程；数学模型是儿童数学学习的工具；那么在儿童“ 20 以内数的熟悉” 的学习路线图中,要广泛运 用各种模型,给同学创设能够操作“ 模型” 的情境 活动,活动情境的核心就应当是“ 模型” 的挑选与出现；（2）借助豪敦对数感的描述

6、,获得了“ 数数的 程序” 是关键的概念化思想的启示；所以“ 数数的 程序” 要纳入“20 以内数的熟悉” 学习路线图,要重视它背后的深层次意义, 即作为与数有关的数 学思想的进展基础； 特殊数感、 符号感等数学思想 和才能的培育,也是以“ 数数的程序” 为基础的；3心理学讨论的启示儿童数学学习是以直观行动思维、 详细形象思维 为主,并与抽象规律思维相互促进的过程；林崇德 在关于儿童数概念和运算才能进展的讨论中得 出：7-8 岁儿童的概括水平和幼儿的概括水平差不 多,属于形象直观的概括水平；“ 20 以内数的熟悉”是面对 6-7 岁儿童的学习,他们的概括水平与学前儿童的差异不大,所以在学习中就

7、应当依据“ 形象直观” 的特性,来引导他们建立数的概念；4国家数学课程标准与教材的启示国家数学课程标准 中对“ 数的熟悉”的详细目标是：通过观看、操作、解决问题等丰富的活动,感受数的意义, 体会用数来表达和沟通, 初步建立“ 数感” ；重视口算, 加强估算, 提倡算法多样化；依据国家数学课程标准 编写的现行教材, 对“ 20 以内数的熟悉”的编写思路是： 先集中熟悉 15 各数,之后单独支配学习第几、几和几、加减 法；在学习 610 的熟悉和加减法时, 把 6、7、8、9 合在一起熟悉, 10 单独熟悉； 包蕴了位置值的思 想；把 20 以内进位加法放在一年级上册,退位减 法放在一年级下册；（

8、二）实际调研和结果1对学前儿童的访谈结果某幼儿园,从两个大班随便挑选了 12 位小伴侣；进行一对一的测试和访谈；（1）测试和访谈的题目物体的个数：数一数一共有多少个珠子？第一次用眼睛看着数, 不要动手；其次次可以动手点数；数数：从 1 数到 20；29 后面是几？ 39 前面的数是谁？后面的数是谁？基数和序数：按次序数一数有几块橡皮？从左 边数起, 拿出 5 块；从左边数起, 拿出第 5 块；“ 5 块” 和“ 第 5 块” 的意思一样吗？位置值的懂得： 读出卡片上的数： 11、14、22、45,在计数器上表示出来； 14 中的 1 和 4 分别表示多少？ 22 中的两个 2 一样吗？分别表示

9、多少？运算： 20 以内加减法：4+3=9+7=8+7=9-6=12-8= （2）测试和访谈的结果访谈内 容结果分类百分比 33% 83% 100% 83% 100% 数物体 的个数看着数：有 4 人数对；点数：10 人数对；其余 2 人数了 2 次也没有数对；抽象数数数： 12 人都能从 1 数到 20；拐弯数：有 10 人知道；基数、序 基数：12 人数对；并都能说出表数示的意义；50% 序按要求取： 12 人取对“5数：块” , 6 人会取“ 第 5 块”意义： 1 人知道“5 块” 和“ 第 5 块” 表示的意思不一 8% 样；位置值表示数：11 人会在计数器上表示91% 数,1 人不

10、会；运算位置值：只有 1 人懂得；8% 数手指： 2 人17% 摆手指： 5 人41% 凑十法： 5 人会说“ 凑十法” 的41% 过程；（3）对测试和访谈结果的分析从数物体的个数看学前儿童已经具备了初步的数概念从 12 名儿童“ 数数” 的过程中发觉,一类是按物“ 点数”,一类是“ 群数”；说明儿童在入学前 ,大多数已经学会了简洁的数数, 有了初步的数概念 ,但“ 群数” 计数的才能仍比较弱；从基数和序数看学前儿童数概念的体会积存 有差异；儿童对于基数的体会积存比较丰富, 不仅能数对橡皮的块数,当问到“5 能表示什么” 的时候,他们都用基数的意义来回答,如：5 块橡皮、 5 个小 伴侣等,

11、没有人用序数的意义来说明；看来需要在 学习中供应丰富的 “ 序数” 资源,让儿童充分感知；从运算看学前儿童 “ 数概念” 的懂得程度有差异；在运算 20 以内加减法时, 7 名用手指算的儿童“ 点数” 和“ 摆数” 的水平是不一样的,“ 摆数”的儿童脑海中已经形成了与某个加数对应的手指图式 , 如“ 5” 对应一只手的 5 指, “ 7” 对应一只手 的 5 指和另一只手的 2 指, 而不需要借助逐一点数 来得出与加数对应的手指个数； 在这里也不排除个 别儿童是从记忆中直接提取答案的；2学校生运算错误的归因分析对学前儿童需要明白他们知道了什么？那么对 于“ 学后儿童”就需要明白他们知道的怎么样

12、？为 此对学后儿童进行了运算错误的归因分析；调研的对象 : 学校 1-5 年级的同学；调研的时间 : 一学年的期末考试终止后；调研的问题：期末考试试卷中的运算错题；调研的方式： 挑选试卷中显现的错例, 与显现错 误的同学本人逐一访谈；调研的结果如下：错例同学的阐述错误归因一年级：68-30=32 把 30中的 0看成 10,机械使用“ 破10 减十法” ,68 个位上的 8,68没有懂得减中十位上法的意义；的 6 再去减 30 十位 上的 3,最终就得 32 了；一年级：把 5+7 算成 13 了,凭记忆和感55+7=63 应当得 12；觉直接来3576运算 357 时,个位提取答案；记571

13、2,忆的偏差49 43 想成了 5713,集中在 7 加与 5813 几、 6 加几、混了；8 加几,特殊是 5+8 和5+7 尤为易错；二年级：3+2=5,受不进位加380+290=570 8+9=17,0+0=0, 法可以从十所以 380+290=570；位算起的影响,从百位开头运算了；说明“ 数感”“ 位值制” 的感悟需要继续培育；三年级：非常位 13-7=6,个“ 非常位” 上4.3-1.7=3.6 位直接不够减向个4-1 了,就得 3.6 ；位借 1,但是“ 个位” 上没退位；说明 同学对“ 十进位为位值 制” 的懂得和运用仍比较 模糊；三年级：40 7=280 同学把 72 看估算

14、 40成整数 70,72=280 运算时提取的是40 7=280；五年级：口算末位 13-9 想成同学提取 205 了；以内退位85.7+4.03-929 =89.73-9.29 =80.45 减法的记忆 显现错误；（1）找到了凭借记忆提取运算信息频繁出错 的缘由；同学在考试时, 留意力与平常比较要集中, 态度 也要仔细；但从以上错题可以看到,与“20 以内 进位加退位减”相关的错误带有普遍性和共性；特 别是“5+8” 和“5+7” 以及相应的减法最为集中；皮亚杰的数学熟悉论曾指出： 任何学习和任何记 忆必需以某些早先存在的结构为基础形成；所以“ 学后儿童” 对“ 运算的提取” 错误必定与他们

15、先 前的学习结构有关,可以把缘由定位在“20 以内 数的熟悉” 的学习过程中；（2）找到了退位减法比进位加法更易出错的原 因之一；同学的错误主要集中在20 以内退位减法上,原因确定是多方面的；但是前面谈到试验版教材将“ 20 以内进位加和退位减” 分在一年级上、下两册教材中；其主要目的是降低运算教学给新入学儿 童带来的压力和难度； 从数学本身的联系上看, 加法与减法有着密不行分的关系,“ 以加算减” 是一种比较有效的方法； 由于学习退位减法与进位加法 相隔的时间长了, 同学在学习的过程中要先提取记 忆,然后在记忆的基础上进行新的学习,这样的结 构不清晰不坚固； 也是造成储备信息模糊, 增大提

16、取错误率的缘由之一；（3）明确了十进位位值制计数法是儿童计数和 运算的基础；从“ 错例” 中可以看到,同学单纯用“ 算法” 来 解决运算,经常显现“ 错位加、错位减” ,“ 不进 位,忘退位” 等错误；究其缘由应当是对十进位位 值制的懂得、把握和运用不到位；所以,在“20 以内数的熟悉” 学习路线图中,要让儿童逐步懂得十进位位值制计数系统是以“ 十” 为基础的 , 同时懂得计数单位；要重视数的 组成,让儿童看到较大的数是通过合并较小的数而 产生的,让儿童依靠数的“ 十进制” 的基础结构,自己构造新的数；三、对“20 以内数的熟悉” 路线图的描画通过上述讨论,对“20 以内数的熟悉” 学习路线图

17、进行了如下的描画；（一）基本理念：儿童把握“ 数概念” 以详细形象概括为主要形式,逐步对“ 数概念” 进行一些抽象概括 , 但不能脱离 生活领域的基础；（二）结构及说明 1-5 第一部分： 10 以内数的熟悉（第一单元：的熟悉,其次单元： 6-10 的熟悉,第三单元： 10 以内数的加减法）其次部分： 11-20 的熟悉（第四单元： 11-20 各 数熟悉和不进位加法、不退位减法,第五单元：20 以内进位加法和退位减法）（三）突出的数学思想：对应思想、集合思想、符号化思想、比较思想、位值制、计数单位、统计思想、同化思想等等；（四）主要的数学模型：生活中的实物（实景）、图片、主题图、对应关 系图

18、、珠子图、点子图、学习用具 （小棒、计数器、数位桶、尺子等等）,手指运算器；（五）对路线图的几点说明1为什么先“ 认数” 再学“ 组成” 和运算 . 华东师大的孔企平教授在 学校数学课堂学习理 论及其应对课堂教学的启示中指出,先学“ 数的 组成” ,不仅可以突出序数和数序的概念,而且是 一种同化的过程, 即把数的组成延长下去就是加减 法；2为什么分为 1-5 和 6-9 两个阶段来熟悉数？一是考虑儿童已有的体会, 二是先学 1-5 ,用概念形成的方法初步形成数概念, 再用同化的方法来 学习 6-9 ,利于培育同学的思维才能；3为什么要单独学习 10？同学认数达到 10,即开头接触十进位位制计数

19、法,所以要突出“10 的熟悉” ,即是“ 位置制”熟悉的开头, 也是熟悉两位数和多位数的基础,更是加减法运算的基础；4为什么突出序数的熟悉？序数对同学来说比基数要困难,放在 1-5 的后面,以基数的含义为基础, 在丰富的现实背景和实际操作活动中,把同学的活动体会提升为“ 序数”概念；儿童能够清晰地区分第几和几个,也就有了“ 数感” 的最初意识；5为什么把 20 以内进位加法和退位减法放在一 起？在学习进位加法的时候先采纳直观形象的方法（情境图、集合图、操作学具等）,过渡到从形象 中进行抽象的方法（数位桶）,最终到达进位加法 的本质抽象（运算过程的图解）；儿童带着这样的 经受来学习退位减法, 会

20、把已有的体会消化后再释 放出来, 即用同化的方法进行学习, 有助于突破退 位减法的难点,把握“ 进位加” 与“ 退位减” 的互 逆关系,深化对算理的懂得；四、本讨论的应用 - 教学建议与教学片段设计（一）教学建议1遵循儿童的进展规律 , 加强实践操作活动, 感 受“ 数概念” 的形成过程；2遵循数学概念的结构体系,加强十进位位值 制计数法的教学, 为数概念的形成和算理的懂得打 下基础；3遵循儿童获得概念的一般规律,加强加减法 运算的懂得,由形成向同化进展；（二）教学活动设计举例： 计数和运算手指 操1片段一：手指计数第一阶段：认数左右手十个手指,可以从 其次阶段：表示数1 计到 10；右手伸直

21、食指表示 1,再伸直中指两根手指就表示 2,再伸直无名指三根手指表示3,连续伸直小指四根手指表示 4；把伸直的四根手指收回,伸直 大拇指表示 5；拇指和食指一起表示 6,依次加上中指、无名指、小指表示7、8、9；左手表示十位的数,方式和右手一样；这样,用两只手可以表示出 1-99；2片段二：手指运算 第一阶段： 10 以内加减法；采纳第一段手指计数的方法,运算 10 以内加减法；其次阶段： 20 以内加减法；采纳其次阶段手指表示数的方法,运算 20 以内加减法；如运算 9+3,左手伸出 5 根手指表示 9,右手伸出相应的三根手指表示3,看着手指想： 3 分成 1和 2,9 和 1 凑十,仍有

22、2,就是 12；又如运算 14-8,先按其次阶段手指表示数的方 法表示出 14,然后收回右手的 4,把左手食指表示的 1 个 10 换成双手表示的“就是剩下的 6；终止语10 个 1” ,再去掉 4,“ 20 以内数的熟悉” 只是学校数学学问体系中 的一点, 期望通过对这一点的讨论获得启示,推广 到更广的范畴内连续探究；综上所述,既然是儿童“20 以内数的熟悉” 学习路线图,就应当在他们的学习过程中进行实施和 验证；由此必定会产生新的问题, 需要不断的讨论、探究、查找,没有最适合只有更适合,期望获得不 断的进展；参考文献：1. 全日制义务训练数学课程标准（试验稿）北京师范高校出版社2022 年 2 月2.义务训练课程标准试验版教科书一年级上下