21-22版 第1课时　奇偶性的概念

1、第1课时奇偶性的概念第三章3.2.2奇偶性1.了解函数奇偶性的定义.2掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3应用函数的奇偶性解决简单的求值问题.学习目标古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美.”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美.导语随堂演练课时对点练一、函数奇偶性的概念二、函数奇偶性的判断三、奇、偶函数的图象及应用内容索引四、利用函数的奇偶性求值一、函数奇偶性的概念问题1观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有

2、什么共同特征吗？提示这两个函数图象都关于y轴对称.问题2如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.x3210123f(x)x29410149g(x)2|x|1012101提示可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.问题3观察函数f(x)x和g(x) 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果.提示可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.知识梳理偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.奇函

3、数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.f(x)f(x)f(x)f(x)注意点：函数的奇偶性是函数的整体性质；先判断定义域是否关于原点对称，如果xI，都有xI，即便定义域关于原点对称，还需判断f(x)与f(x)的关系，若f(x)f(x)，则函数是偶函数，若f(x)f(x)，则函数是奇函数，若f(x)f(x)，则函数为非奇非偶函数；偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称；若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)0；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)0，x

4、D，D是关于原点对称的实数集.二、函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|x|；解函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)|x|x|f(x)，f(x)为偶函数.解函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数.解函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数.解函数f(x)的定义域为x|x0，xx|x0，都有xx|x0，f(x)是奇函数.反思感悟判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：(2)图象法：跟踪训练1判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)x2(x22).解f(x)

5、x2(x22)的定义域为R.f(x)f(x)，f(x)x2(x22)是偶函数.三、奇、偶函数的图象及应用例2已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.(1)请补全函数yf(x)的图象；解由题意作出函数图象如图.(2)根据图象写出函数yf(x)的单调递增区间；解由图可知，单调递增区间为(1,0)，(1，).(3)根据图象写出使f(x)0的x的取值集合.解由图可知，使f(x)0的x的取值集合为x|2x2，且x0.延伸探究若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解(1)由题意作出函数图象如图所示.(

6、2)由图可知，单调递增区间为(1,1).(3)由图可知，使f(x)0的x的取值集合为x|2x2.反思感悟巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.跟踪训练2定义在3，11,3上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示.解由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示.(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小.解观察图象，知f(3)1)是奇函数，则a等于A.1 B.0C.1 D.无法确定解析奇函数的定义域关于原点对称，a1

7、0，即a1.12342.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是解析选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.12343.(多选)下列函数是奇函数的是A.yx(x0,1) B.y3x2C.y D.yx|x|解析利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(x)f(x)，排除选项B.12344.已知函数yf(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是_.0解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于

8、y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则F(x)是A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析F(x)f(x)f(x)F(x)，又x(a，a)关于原点对称，F(x)是偶函数.2.若f(x)3x35xa1为奇函数，则a的值为A.0 B.1 C.1 D.212345678910111213141516解析f(x)为R上的奇函数，f(0)0，得a1.12345678910111213141516其图

9、象的对称轴为y轴.123456789101112131415164.如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，则f(2)f(1)的值为解析f(2)f(1)f(2)f(1)A.2 B.2 C.1 D.01234567891011121314151612345678910111213141516解析f(x)在R上为奇函数，f(x)f(x).f(x)f(x)f(x)f(x)0，故A正确.f(x)f(x)f(x)f(x)2f(x)，故B正确.当x0时，f(x)f(x)0，故C不正确.12345678910111213141516解析选项ABC中的函数满足定义域关于原点对称，且f(x)f(x)，由奇函数的定

10、义可知选ABC.123456789101112131415167.设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_.x|5x2或2x5解析因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解集.因为当x0,5时，f(x)0的解集为x|2x5，所以当x5,0时，f(x)0的解集为x|5x2.所以f(x)0的解集是x|5x2或20时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是_.3，1)(1,3解析因为当0 x3时，函数单调递增，由图象可知1f(x)3，由于函数f(x)是奇函数，所以当3x0时，3f(x)0时，x0，则f(x

11、)(x)2(x)x2xf(x)；当x0，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)，所以f(x)是偶函数.1234567891011121314151610.(1)如图，给出奇函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；12345678910111213141516解奇函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于原点的对称点为P(x，f(x)，图为图补充后的图象，易知f(3)2.12345678910111213141516(2)如图，给出偶函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.12345678910111213141516

12、解偶函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于y轴的对称点为P(x，f(x)，图为图补充后的图象，易知f(1)f(3).123456789101112131415综合运用1611.已知f(x)ax3bx2是定义在a1,3a上的奇函数，那么ab等于12345678910111213141516解析f(x)ax3bx2是定义在a1,3a上的奇函数，再由奇函数的定义得f(x)f(x)，12345678910111213141516解析若x是有理数，则x也是有理数，f(x)f(x)1；若x是无理数，则x也是无理数，f(x)f(x)0.函数f(x)是偶函数.13.(多选)设函数f(x)，g

13、(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数12345678910111213141516解析f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数.1234567891011121314151614.已知定义域为a4,2a2的奇函数f(x)2 021x35xb2，则f(a)f(b)的值为_.0解析奇函数的图象关于原点对称，所以a42a20，所以a2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)0，即b20，故b2，所以f(a)f(b)f(2)f(2)f(2)f(2)0.拓广探究12345678910111213141516故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，(1)求证：f(x)是奇函数；12345678910111213