衍生品定价的方法

1、衍生品定价mathstown南开大学数学科学学院白晓棠Contents衍生品定价的方法1博弈论方法2 资产组合复制法3 二叉树模型4.衍生品定价的方法前面我们讨论了期权价钱的上下限以及看涨看跌期权的平价公式欧式。一份期权的公平确实切的价钱应该为多少呢？例：看涨期权的公平价钱有一只股票现价为$100。在一年以后，股价可以是$90或$120。概率并未给定。即期利率是5%。一年后到期的执行价钱为$105的股票期权的公平价钱是多少？下面我们将用两种方法来回答这个问题，这两个方法是：博弈论方法、资产组合定价法。.博弈论方法在下面的三种方法中我们都假设股票在到期日的价钱只能是两种特定价钱中的一个。将如今视

2、为0时辰，到期日视为1时辰，本例中假设1时辰股价为$120或$90.V=期权的价钱；S=股票的价钱。构造资产组合：a股股票的期权和b股股票那么：0=aV+bS上升形状： 1=120-105a+120b下降形状： 1=a0+90b.博弈论方法选择a和b，使得并不取决于股票涨跌结果。这样，我们就有：120-105a+120b=a0+90b从上式可得15a=-30b，我们可以作出a=-2，b=1的投资选择，此时有0=-2V+11001=- 215+1120=90由于1.050= 1，故100-2V=90/1.05，即V=7.14.博弈论方法假设买卖商情愿以$7.25的价钱出卖或购买期权。博弈论定价方

3、法通知我们期权价钱被高估了。我们的战略：买入1股股票，卖出2股期权该头寸的本钱为100-7.252=85.5我们借入$85.5进展投资，一年后冲销该头寸得$90，故我们得到利润为：90-85.51.05=90-89.775=0.225Q:买卖商以$7的价钱出卖或购买期权，买卖战略？.博弈论方法假设在时辰t股票处于上涨的形状时价钱为Su，那么衍生品价钱为U；股票处于下跌的形状时价钱为Sd，那么衍生品价钱为D。 Su U S0 V0 Sd D 我们经过买1股股票衍生品和卖出a股股票构造资产组合。故资产组合的初始价值是： 0=V0-aS.博弈论方法选择a的值使得资产组合的价值与股票的最终形状无关，于

4、是上升时：u=U-aSu下降时：d=D-aSd令u=d得：U-aSu=D-aSd故而0=V0-aS0， 1=U-aSu于是V0=aS0+(U-aSu)e-rt.资产组合复制假设股票在0时辰为S0，该股票在t时辰有两种能够价钱： Su U S0 V0 Sd D构造资产组合：a单位的股票和b单位的债券，来复制期权，由于上升形状：u=aSu+bert=U下降形状：u=aSd+bert=D.资产组合复制于是有：于是衍生品的定价公式为：即.资产组合复制将上面表达式中的含有U的项和含有D的项分开，那么衍生品价钱为：忽略指数项，那么U的系数是而D的系数恰好为故衍生品价钱可记为.风险中度概率对于如今我们来思索

5、q的取值范围：假设q0，那么e-rtS01，那么1-q0，那么Su1且d1，价钱上升的概率为p，下降的概率为1-p。 uS0 S0 dS0相应地，期权价值分别为Vu和Vd。.二叉树模型由前面讨论的 ，我们有 。从而 。故对于单期的情形期权的合理价钱是可以确定。下面我们讨论多期二叉树，首先先思索二期的情形：为了研讨问题方便，我们假设股票从第一步的两个形状的一个开场，继续坚持与第一步一样的规律变动。即股票只能够以u因子增长，以d的因子下降。.二叉树模型故我们可以得到二期股票二叉树图.二叉树模型由于ud=du，故我们可以将刚刚的二叉树简化：.二叉树模型假设一项金融衍生品对于股票二叉树中的每一个最终结

6、果都有一个特定的价钱。三种能够的价钱是U、M和D，分别对应股票价值u2S0、 udS0和d2S0。.二叉树模型如何确定衍生品的价钱V0？关键是找到衍生品在第一期的价钱，假设分别为X和Y。那么我们可以利用前面讨论的结果先给出X和Y的值，从而确定V0 。.二叉树模型例 假设开场时，股价为$20，在两步二叉树中的每个单步二叉树中，股票价钱将上升10%或是下降10%。我们假设每个单步二叉树的时间步长是3个月，无风险年利率为12%。问执行价钱为$21的欧式看涨期权的价钱为多少？.二叉树模型股票价钱二叉树为：.二叉树模型u=1.1，d=0.9 ，r=0.12 ，t=0.25于是那么B点处期权价值为：.二叉

7、树模型C点处期权价值为0，故A点处期权价值为也可以根据我们之前推导的公式，一步求得.欧式看跌期权例 一个2年期欧式股票看跌期权，执行价钱为52，当前股价为50。我们假设价钱为两步二叉树，每个步长为1年，在每个单步二叉树中股票价钱或者按比例上升20%，或者按比例下降20%，假设无风险利率为5%，求此期权的价钱。.欧式看跌期权我们求得故.欧式看跌期权采用逐渐回推的方式也可得到类似的结果，股票期权的二叉树为：.美式期权定价还是刚刚的例子，假设为美式看涨期权应该如何定价？方法是从树图的末端向开场的起点倒推计算，在每个节点检验提早执行能否最正确，期权价值是如下两者中较大的：1、后继两点的期权价值期望的本

8、节点现值；2、提早执行的收益。我们将前面的例子按照美式期权计算，可以得到下面结论。.美式期权定价股票期权二叉树.美式期权定价例：为一美式看跌期权定价，S0=$100，X=$100， u=1.1，d=0.9，r=0.05，期权到期时间为t=3.解：先给出此股票的价钱二叉树.美式期权定价期权二叉树.美式期权定价我们曾经计算过此题的q=0.7564，这样经过连锁法我们可以得到后继两点的期权价值期望的本节点现值，比如时辰2最下方节点的连锁法值为e-0.05(10.90.7564+27.10.2436)=14.12由于是美式期权可以选择立刻执行，立刻行权期权值为：100-81=19我们要对比这两个值取最

9、大值作为美式期权此节点处的价值，也就是19美圆。.美式期权定价总结一下刚刚的过程，也就是说对于每个节点我们会得到下面的图：刚刚例子的详细数值为：.美式期权定价对一切的节点都进展相应的计算，得.奇特期权妨碍期权barrier option 分为敲出期权和敲入期权。我们调查一个欧式看涨敲出期权，3年后到期，执行价钱是$105，在价钱为$95美圆处设一个妨碍，即一旦股票价钱低于$95，那么无论其到期的价钱是多少，该期权都不再有任何价值。其他条件和刚刚是一样的，即S0=$100，u=1.1，d=0.9，r=0.05。.奇特期权我们可以绘出股票价钱的二叉树图，并在价钱$95处画一条虚线作为妨碍：.奇特期

10、权时辰3期权的价值为.奇特期权留意虚线下期权的取值，其它计算和前面是类似的依然用回推的方式得期权价钱二叉树图为：.妨碍期权刚刚求出的妨碍期权和之前我们求过的普通欧式期权相比，价钱发生了怎样的变化？他以为这种变化能否合理？妨碍期权普通归为两类，即敲出期权和敲入期权。 敲出期权是这当标的资产价钱到达一个特定妨碍程度时，该期权作废； 敲入期权当只需当标的资产价钱到达一个特定妨碍程度时，该期权才有效。 妨碍的设置接近正常价钱时，敲出期权价钱较普通期权的贴水越多。.妨碍期权普通来说，妨碍期权是以同一种资产的价钱同时作标的资产价钱和妨碍价钱的期权，这样的叫“内部妨碍期权；也有妨碍期权的妨碍价钱与标的价钱不

11、同的，这样的叫“外部妨碍期权。比如，在日本证券市场上，当美圆兑日元的汇率在80以上是，资产组合经理就会以15000点买入日经225指数的看涨期权，这样的看涨期权只需在美圆兑日元汇率低于79时才算敲出。.妨碍期权的运用对冲基金，卖空标的资产同时买入该资产的妨碍期权，妨碍的期权价钱比较低，当标的资产价钱突破妨碍时，他们就会大幅获益。美林证券出卖给一个某基金公司债券的敲入期权，债券涨到一定价钱时期权就会生效。当债券位于妨碍价钱附近时，基金公司竭力将债券价钱推高，而美林那么需打压债券价钱。.奇特期权亚式期权：是当今金融衍生品市场上买卖最为活泼的奇特期权之一。它的到期报答依赖于标的资产在一段特定时间(整

12、个期权有效期或其中部分时段)内的平均价钱。打包期权：由常规的欧式期权，远期合约，现金和标的资产等构成的证券组合。 回望期权：回望期权的收益依靠于标的资产在某个确定的时段(称为回望时段)中到达的最大或最小价钱(又称为回望价)。 .回望期权我们为一三个月后到期回望期权定价， S0=$100，X=$120， u=1.2，d=0.9，年r=0.05.我们先做出股价的二叉树图：.回望期权各途径下的最高价、概率、及期权价值。路径概率最高价期权价值uuuq3172.852.8uudq2(1-q)14424uduq2(1-q)129.69.6duuq2(1-q)129.69.6dudq(1-q)21080dduq(1-q)21000uddq(1-q)21200ddd(1-q)31000.回望期权计算q值：计算E(V3)故回望期权现价为：.总 结博弈法定价资产复制法定价风险中度定价二叉树模型欧式期权定价美式期权定价部分奇特期权定价.作 业1、一股票价钱模型参数是：S0=$16，u=2，d=0.5， 一欧式看涨